コンパクト集合の演算
任意個のコンパクト集合の共通部分はコンパクト集合であり、有限個のコンパクト集合の和集合はコンパクト集合です。
コンパクト集合
ユークリッド空間の部分集合Aを覆う開集合族（開被覆）を任意に選んだとき、それに対して有限部分被覆が必ず存在する場合には、Aはコンパクト集合であると言います。
ユークリッド空間における境界点・境界
ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、点 a の任意の近傍が A と A の補集合の双方と交わるならば、a を A の境界点と呼びます。また、A のすべての境界点からなる集合を A の境界と呼びます。
ユークリッド空間における外点・外部
ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、点 a を中心とする開近傍の中に A の補集合の部分集合になるものが存在するならば、a を A の外点と呼びます。また、A のすべての外点を集めてできる集合を A の外部と呼びます。
点列を用いた開集合・閉集合の判定
ユークリッド空間の部分集合が閉集合であること・閉集合でないことの判定を点列を用いて行う方法について解説します。
ユークリッド空間における点の近傍・近傍系
ユークリッド空間における点の近傍、近傍系、およびユークリッド空間の近傍系という概念を定義します。これは数直線上の有界開区間を一般化した概念です。
ユークリッド空間における内点・内部
ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、点 a を中心とする開近傍の中に A の部分集合になるものが存在するならば、a を A の内点と呼びます。また、A のすべての内点を集めてできる集合を A の内部と呼びます。集合 A とその内部が一致することは、A が開集合であるための必要十分条件です。
ユークリッド空間における閉集合・閉集合系
ユークリッド空間の部分集合Aが与えられたとき、Aの補集合がユークリッド空間上の開集合である場合には、Aをユークリッド空間上の閉集合であるといいます。また、ユークリッド空間上のすべての閉集合からなる集合族を閉集合系と呼びます。
ユークリッド空間における開集合・開集合系
ユークリッド空間の部分集合Aが与えられたとき、Aのそれぞれの点aについて、aを中心とする開近傍の中にAの部分集合であるようなものが存在するのであれば、Aをユークリッド空間上の開集合と呼びます。また、ユークリッド空間上の開集合をすべて集めてできる集合系を開集合系と呼びます。
