集合の濃度

有限集合の部分集合の濃度

有限集合Aの部分集合Bもまた有限集合であるとともに、Bの濃度はAの濃度以下です。また、有限集合Aの真部分集合Bもまた有限集合であるとともに、Bの濃度はAの濃度よりも小さいです。

集合Aの濃度が集合Bの濃度以下であるともに両者の濃度が等しくない場合、Aの濃度はBの濃度よりも小さいと言います。濃度の狭義大小関係を二項関係とみなしたとき、これは非対称律、推移律および三分律を満たす狭義全順序関係です。

集合Aから集合Bへの単射が存在する場合、Aの濃度はBの濃度以下であると言います。濃度の大小関係を二項関係とみなしたとき、これは反射律・反対称律・推移律・完備律を満たす全順序関係です。

すべての自然数からなる集合と等しい濃度を持つ集合を可算集合や可付番集合と呼びます。可算集合には無限個の要素が含まれるため、すべての要素を数え尽くすことはできませんが、要素を1番目から順番に数えることはできます。

有限集合ではない集合、つまり無限個の要素を持つ集合を無限集合と呼びます。無限集合のすべての要素を数え上げることはできないため、無限集合の濃度を 1 つの自然数として表すことはできません。ただ、2 つの無限集合が与えられたとき、それらが等しい濃度を持つかどうかを調べることはできます。

有限個の要素を持つ集合を有限集合と呼びます。有限集合の濃度を有限濃度と呼びます。有限集合どうしの濃度が等しいことと、それらの集合に含まれる要素の個数が等しいことは必要十分です。

2つの集合の間に全単射が存在する場合には、それらの集合の濃度は等しいと言います。集合の濃度が等しいことを二項関係と解釈したとき、これは反射律・対称律・推移律を満たす同値関係です。

有限個の可算集合の直積は可算集合です。

可算集合は無限集合の中でも最小の濃度を持つ集合です。では、可算集合よりも大きい濃度を持つ無限集合は存在するのでしょうか。可算集合ではない無限集合を非可算集合と呼びます。非可算集合は存在することを対角線論法により証明します。