教材一覧
教材一覧
教材検索

連続型の確率分布

連続型の一様分布

目次

次のページ:
Twitterで共有
メールで共有

連続型の一様分布

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に対して確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が定義されており、その値域\(X\left( \Omega \right) \)が\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間\begin{eqnarray*}X\left( \Omega \right) &=&\left[ a,b\right] \\
&=&\left\{ X\in \mathbb{R} \ |\ a\leq X\leq b\right\}
\end{eqnarray*}であるものとします。つまり、\(X\)は連続型の確率変数です。その上で、\(X\)の確率分布を描写する確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{b-a} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。以上の定義は、\(f\)は\(X\left( \Omega \right) \)上において一定の値\(\frac{1}{b-a}\)をとる定数関数であることを意味します。以上の条件が満たされる場合、確率変数\(X\)はパラメータ\(a,b\)の連続型一様分布(continuous uniform distribution with parameter \(a,b\))にしたがうといい、そのことを、\begin{equation*}X\sim U\left( a,b\right)
\end{equation*}で表記します。

例(連続型一様分布)
確率変数\(X\)がパラメータ\(0,1\)の連続型一様分布にしたがう場合、すなわち、\begin{equation*}X\sim U\left( 0,1\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(X\)は標準一様分布(standard unifrom distribution)にしたがうと言います。この場合、\(X\)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。

例(連続型一様分布)
「エレベータが到着するのを待つ」という試行において、待ち時間が\(0\)秒から\(60\)秒までの間であるならば、標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left[ 0,60\right] \end{equation*}となります。待ち時間を与える確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\omega
\end{equation*}を定めるため、その値域は、\begin{equation*}
X\left( \Omega \right) =\Omega =\left[ 0,60\right] \end{equation*}です。したがって\(X\)は連続型の確率変数です。エレベータの現在位置を知る術がなく、確率変数\(X\)はパラメータ\(0,60\)の一様分布にしたがうものと仮定します。つまり、\begin{equation*}X\sim U\left( 0,60\right)
\end{equation*}を仮定します。この場合、確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{60} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。したがって、例えば、待ち時間が\(30\)秒以下である確率は、\begin{eqnarray*}P\left( 0\leq X\leq 30\right) &=&\int_{0}^{30}f\left( x\right) dx \\
&=&\int_{0}^{30}\frac{1}{60}dx\quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\left[ \frac{x}{60}\right] _{0}^{30}\quad \because \text{定数関数の積分} \\
&=&\frac{30}{60}-\frac{0}{60} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。また、待ち時間が\(15\)秒以上\(30\)秒以下である確率は、\begin{eqnarray*}P\left( 15\leq X\leq 30\right) &=&\int_{15}^{30}f\left( x\right) dx \\
&=&\int_{15}^{30}\frac{1}{60}dx\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left[ \frac{x}{60}\right] _{15}^{30}\quad \because \text{定数関数の積分} \\
&=&\frac{30}{60}-\frac{15}{60} \\
&=&\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}となります。

連続型の一様分布にしたがう確率変数の確率密度関数が確率密度関数の公理を満たすことを確認しておきます。

命題(連続型一様分布の確率密度関数)
確率変数\(X\)がパラメータ\(a,b\)の連続型一様分布にしたがう場合には、すなわち、\begin{equation*}X\sim U\left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(X\)の確率密度関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{eqnarray*}&&\left( b\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :f\left( x\right) \geq 0 \\
&&\left( c\right) \ \int_{-\infty }^{+\infty }f\left( x\right) dx=1
\end{eqnarray*}をともに満たす。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

 

連続型一様分布にしたがう確率変数の分布関数

確率変数\(X\)が連続型一様分布にしたがう場合の分布関数は以下の通りです。

命題(連続型一様分布の分布関数)
確率変数\(X\)がパラメータ\(a,b\)の連続型一様分布にしたがう場合には、すなわち、\begin{equation*}X\sim U\left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(X\)の分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<a\right) \\
\frac{x-a}{b-a} & \left( if\ a\leq x\leq b\right) \\
1 & \left( if\ x>b\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(連続型一様分布の分布関数)
確率変数\(X\)が標準一様分布にしたがう場合、すなわち、\begin{equation*}X\sim U\left( 0,1\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、上の命題より、\(X\)の分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。

例(連続型一様分布の分布関数)
先のエレベーターの例において、確率変数\(X\)はパラメータ\(0,60\)の連続型一様分布にしたがいます。つまり、\begin{equation*}X\sim U\left( 0,60\right)
\end{equation*}です。したがって、上の命題より、\(X\)の分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
\frac{x}{60} & \left( if\ 0\leq x\leq 60\right) \\
1 & \left( if\ x>60\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。したがって、例えば、待ち時間が\(30\)秒以下である確率は、\begin{eqnarray*}P\left( 0\leq X\leq 30\right) &=&F\left( 30\right) \\
&=&\frac{30}{60} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}であり、また、待ち時間が\(15\)秒以上\(30\)秒以下である確率は、\begin{eqnarray*}P\left( 15\leq X\leq 30\right) &=&F\left( 30\right) -F\left( 15\right) \\
&=&\frac{30}{60}-\frac{15}{60} \\
&=&\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}となります。

 

連続型一様分布にしたがう確率変数の期待値

確率変数\(X\)が連続型一様分布にしたがう場合の期待値は以下の通りです。

命題(連続型一様分布の期待値)
確率変数\(X\)がパラメータ\(a,b\)の連続型一様分布にしたがう場合には、すなわち、\begin{equation*}X\sim U\left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(X\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( X\right) =\frac{a+b}{2}
\end{equation*}となる。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(連続型一様分布の期待値)
確率変数\(X\)が標準一様分布にしたがう場合、すなわち、\begin{equation*}X\sim U\left( 0,1\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、上の命題より、\(X\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( X\right) =\frac{1}{2}
\end{equation*}となります。

例(連続型一様分布の期待値)
先のエレベーターの例において、確率変数\(X\)はパラメータ\(0,60\)の連続型一様分布にしたがいます。つまり、\begin{equation*}X\sim U\left( 0,60\right)
\end{equation*}です。したがって、上の命題より、\(X\)の期待値は、\begin{eqnarray*}E\left( X\right) &=&\frac{0+60}{2} \\
&=&30
\end{eqnarray*}となります。

 

連続型一様分布にしたがう確率変数の分散

確率変数\(X\)が連続型一様分布にしたがう場合の分散は以下の通りです。

命題(連続型一様分布の分散)
確率変数\(X\)がパラメータ\(a,b\)の連続型一様分布にしたがう場合には、すなわち、\begin{equation*}X\sim U\left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(X\)の分散は、\begin{equation*}\mathrm{Var}\left( X\right) =\frac{\left( b-a\right) ^{2}}{12}
\end{equation*}となる。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(連続型一様分布の分散)
確率変数\(X\)が標準一様分布にしたがう場合、すなわち、\begin{equation*}X\sim U\left( 0,1\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、上の命題より、\(X\)の分散は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Var}\left( X\right) &=&\frac{\left( 1-0\right) ^{2}}{12} \\
&=&\frac{1}{12}
\end{eqnarray*}となります。

例(連続型一様分布の分散)
先のエレベーターの例において、確率変数\(X\)はパラメータ\(0,60\)の連続型一様分布にしたがいます。つまり、\begin{equation*}X\sim U\left( 0,60\right)
\end{equation*}です。したがって、上の命題より、\(X\)の分散は、\begin{eqnarray*}\mathrm{Var}\left( X\right) &=&\frac{\left( 60-0\right) ^{2}}{12} \\
&=&300
\end{eqnarray*}となります。

次のページ:
Twitterで共有
メールで共有
DISCUSSION

質問とコメント