命題論理

3つの論理式の相対的な順番を変えないまま論理積をとるとき、論理積を作用させる順番とは関係なく最終的に得られる論理式は論理的に同値です。論理和についても同様です。

論理式どうしの論理和や論理積の値は、論理式の順序を入れ替えても変わりません。論理積と論理和が満たすこの性質を交換律と呼びます。

同じ論理式どうしの論理和と論理積はもとの論理式と同値です。論理積と論理和が満たすこの性質をベキ等律と呼びます。

与えられた論理式をそれと論理的に同値な別の論理式に置き換えることを同値変形と呼びます。

論理式 A,B に関して同等 A↔B が恒真式であるならば、A と B は論理的に同値であると言います。またこのとき、A と B はお互いに一方が他方であるための必要十分条件であると言います。

論理式 A,B に関して含意 A→B が恒真式であるとき、B は A であるための必要条件と言い、A は B であるための十分条件と言います。

論理式を構成する命題変数の値の組み合わせによらず、その論理式の値が常に 1 であるならば、その論理式を恒真式やトートロジーなどと呼びます。また、論理式を構成する命題変数の値の組み合わせによらず、その論理式の値が常に 0 であるならば、その論理式を恒偽式や矛盾式などと呼びます。恒真式や恒偽式ではない論理式を事実式と呼びます。

論理式が与えられたとき、その部分論理式をすべて特定できます。部分論理式の中には命題変数が含まれますが、命題変数の値が定まればこれまで定めた規則からすべての部分論理式の値が定まるため、結局、もとの論理式の値が定まります。つまり、論理式の値はそこに含まれる命題変数の値の組み合わせによって決まります。

同等は入力された論理式 A,B に対して、A と B の値が一致する場合にのみ 1 を値としてとる論理式を出力する論理演算です。

含意→は入力された論理式A,Bに対して、AとBの値がともに1である場合には1を値としてとり、A の値が0の場合にはBの値によらず常に1を値としてとる論理式A→Bを出力する論理演算です。

排他的論理和は入力された2つの論理式に対して、それらのどちらか一方の値だけが1である場合にのみ1を値としてとる論理式を出力する論理演算です。

論理和∨は入力された論理式A,Bに対して、それらの少なくとも1つの値が1である場合にのみ1を値としてとる論理式A∨Bを出力する論理演算です。