有界変動関数と単調関数の関係（ジョルダンの定理）
関数が有界閉区間上で有界変動であることと、その関数が2つの（狭義）単調増加関数の差として表されることは必要十分条件です。
有界変動関数の全変動の加法性
関数が有界閉区間上で有界変動であることと、それぞれの小区間において有界変動であることが必要十分です。しかも、それぞれの小区間における全変動の総和をとれば、もとの区間における全変動が得られます。
有界変動関数どうしの商
有界変動関数の逆数として定義される関数や、有界変動関数どうしの商として定義される関数が有界変動になるための条件を明らかにします。
有界変動関数どうしの積
有界変動関数どうしの積として定義される関数もまた有界変動です。
有界変動関数どうしの差
有界変動関数どうしの差として定義される関数もまた有界変動です。さらに、その関数の全変動は、個々の関数の全変動の和以下になります。
有界変動関数どうしの和
有界変動関数どうしの和として定義される関数もまた有界変動です。さらに、その関数の全変動は、個々の関数の全変動の和以下になります。
有界変動関数の定数倍
有界変動関数の定数倍として定義される関数もまた有界変動です。さらに、もとの関数の全変動の定数倍をとれば、その関数の定数倍の全変動が得られます。
有界変動関数と有界関数の関係
有界変動関数は有界関数です。対偶より、有界ではない関数は有界変動関数ではありません。その一方で、有界関数は有界変動関数であるとは限りません。
有界変動関数
関数の定義域である有界閉区間をどのような形で分割した場合においても、それぞれの小区間における関数の値の差の総和が有限な値に収まる場合、その関数は有界変動であると言います。
関数の上極限・下極限と片側上極限・下極限の関係
関数の上極限は右上極限と左上極限のうちの大きい方と一致します。また、関数の下極限は右下極限と左下極限のうちの小さい方と一致します。
無限大における上極限と下極限を用いた関数の収束判定
関数の無限大における上極限と下極限がともに有限であるとともに両者が一致することは、その関数が無限大において有限な実数へ収束するための必要十分条件です。その場合、極限は上極限や下極限と一致します。
無限大における関数の上極限と下極限
無限大における関数の極限を一般化することにより、無限大における関数の上極限ないし下極限と呼ばれる概念を定義します。
