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離散型の確率分布

離散型の一様分布

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離散型の一様分布

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に対して確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が定義されており、その値域\(X\left( \Omega \right) \)が非空の有限集合であるものとします。つまり、\(X\)は離散型の確率変数です。その上で、\(X\)の確率分布を描写する確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{\left\vert X\left( \Omega \right) \right\vert } & \left( if\ x\in
X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。ただし、\(\left\vert X\left( \Omega \right)\right\vert \)は集合\(X\left( \Omega \right) \)に属する要素の個数です。仮定より\(X\left( \Omega \right) \)は非空の有限集合であるため\(\left\vert X\left( \Omega \right)\right\vert \)は自然数であることに注意してください。以上の定義は、\(X\)がそれぞれの値をとる確率がいずれも\(\frac{1}{\left\vert X\left( \Omega \right) \right\vert }\)で等しいことを意味します。以上の条件が満たされる場合、確率変数\(X\)は離散型一様分布(discrete uniform distribution)にしたがうといいます。

離散型一様分布にしたがう確率変数\(X\)の値域\(X\left( \Omega \right) \)は非空かつ有限な\(\mathbb{R} \)の部分集合ですが、より具体的に、\begin{equation*}x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}
\end{equation*}を満たす有限\(n\)個の実数\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\right\}
\end{equation*}と表される場合には、\begin{equation*}
\left\vert X\left( \Omega \right) \right\vert =n
\end{equation*}となるため、\(X\)の確率分布を描写する確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{n} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。このとき、確率変数\(X\)はパラメータ\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\)の離散型一様分布(discrete uniform distribution with parameter \(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\))にしたがうといい、そのことを、\begin{equation*}X\sim U\left( x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\right)
\end{equation*}で表記します。

例(離散型一様分布)
「以下の標本空間\(\Omega \)から1つの数字をランダムに選ぶ」という試行について考えます。\begin{equation*}\Omega =\left\{ \frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right\}
\end{equation*}選んだ数字を与える確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\omega
\end{equation*}を定めます。このとき、\begin{equation*}
X\left( \Omega \right) =\Omega
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(X\left( \Omega \right) \)は\(5\)個の有理数からなる集合であるため、仮に、それぞれの数が等しい確率で選ばれるのであれば、確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{5} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めますが、これは、確率変数\(X\)がパラメータ\(\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\)の離散型一様分布にしたがうこと、すなわち、\begin{equation*}X\sim U\left( \frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right)
\end{equation*}であることを意味します。

離散型一様分布にしたがう確率変数\(X\)の値域\(X\left( \Omega \right) \)は非空かつ有限な\(\mathbb{R} \)の部分集合ですが、より具体的に、\(a\leq b\)を満たす整数\(a,b\in \mathbb{Z} \)を用いて、\begin{eqnarray*}X\left( \Omega \right) &=&\left[ a,b\right] \cap \mathbb{Z} \\
&=&\left\{ a,a+1,\cdots ,b-1,b\right\}
\end{eqnarray*}と表されるものとします。つまり、\(X\left( \Omega\right) \)は\(a\)以上\(b\)以下の整数からなる集合です。この場合には、\begin{equation*}\left\vert X\left( \Omega \right) \right\vert =b-a+1
\end{equation*}となるため、\(X\)の確率分布を描写する確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{b-a+1} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。このとき、確率変数\(X\)はパラメータ\(a,b\)の離散型一様分布(discrete uniform distribution with parameter \(a,b\))にしたがうといい、そのことを、\begin{equation*}X\sim U\left( a,b\right)
\end{equation*}で表記します。

例(離散型一様分布)
「\(-5\)から\(5\)までの整数の中から1つの整数をランダムに選ぶ」という試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\right\}
\end{equation*}です。選んだ数字を与える確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\omega
\end{equation*}を定めます。このとき、\begin{equation*}
X\left( \Omega \right) =\Omega
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(X\left( \Omega \right) \)は\(-5\)以上\(5\)以下の合計\(5-\left( -5\right) +1=11\)個の整数からなる集合です。仮に、すべての整数が等しい確率で選ばれるのであれば、確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{11} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めますが、これは、確率変数\(X\)がパラメータ\(-5,5\)の離散型一様分布にしたがうこと、すなわち、\begin{equation*}X\sim U\left( -5,5\right)
\end{equation*}であることを意味します。

例(離散型一様分布)
「産まれた子供の性別を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \text{男},\text{女}\right\}
\end{equation*}です。男の子の人数を与える確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \omega =\text{男}\right) \\
0 & \left( if\ \omega =\text{女}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。このとき、\begin{equation*}
X\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}が成り立ちます。仮に、男女が等確率で産まれるのであれば、確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{2} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めますが、これは、確率変数\(X\)がパラメータ\(0,1\)の離散型一様分布にしたがうこと、すなわち、\begin{equation*}X\sim U\left( 0,1\right)
\end{equation*}であることを意味します。

離散型一様分布にしたがう確率変数\(X\)の値域\(X\left( \Omega \right) \)は非空かつ有限な\(\mathbb{R} \)の部分集合ですが、より具体的に、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,2,\cdots ,n-1,n\right\}
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(X\left( \Omega\right) \)は\(1\)以上\(n\)以下の整数からなる集合です。この場合には、\begin{equation*}\left\vert X\left( \Omega \right) \right\vert =n
\end{equation*}となるため、\(X\)の確率分布を描写する確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{n} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。このとき、確率変数\(X\)はパラメータ\(n\)の離散型一様分布(discrete uniform distribution with parameter \(n\))にしたがうといい、そのことを、\begin{equation*}X\sim U\left( n\right)
\end{equation*}で表記します。定義より、確率変数\(X\)がパラメータ\(n\)の離散型一様分布にしたがうことと、\(X\)がパラメータ\(1,n\)の離散型一様分布にしたがうことは必要十分です。

例(離散型一様分布)
「1個のサイコロを投げて出た目を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\end{equation*}です。出た目数を与える確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\omega
\end{equation*}を定めます。このとき、\begin{equation*}
X\left( \Omega \right) =\Omega =\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\end{equation*}が成り立ちます。仮に、サイコロに歪みがなくそれぞれの目が等確率で出るのであれば、確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{6} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めますが、これは、確率変数\(X\)がパラメータ\(6\)の離散型一様分布にしたがうこと、すなわち、\begin{equation*}X\sim U\left( 6\right)
\end{equation*}であることを意味します。

ベルヌーイ分布にしたがう確率変数の確率関数が確率関数の公理を満たすことを確認しておきます。

命題(離散型一様分布の確率関数)
確率変数\(X\)が離散型の一様分布にしたがう場合には、\(X\)の確率関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :0\leq f\left( x\right) \leq 1 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{x\in X\left( \Omega \right) }f\left( x\right) =1
\end{eqnarray*}をともに満たす。

証明

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上の命題は最も一般的な離散型一様分布にしたがう確率変数を対象にしたものであるため、パラメータ\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\)の離散型一様分布やパラメータ\(a,b\)の離散型一様分布、パラメータ\(n\)の離散型一様分布に関する主張も内包しています。

 

離散型一様分布にしたがう確率変数の分布関数

確率変数\(X\)がパラメータ\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\)の離散型一様分布にしたがう場合の分布関数は以下の通りです。

命題(離散型一様分布にしたがう確率変数の分布関数)
確率変数\(X\)がパラメータ\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\)の離散型一様分布にしたがう場合、すなわち、\begin{equation*}X\sim U\left( x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\right)
\end{equation*}である場合には、\(X\)の分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<x_{1}\right) \\
\frac{k}{n} & \left( if\ x_{k}\leq x<x_{k+1}\wedge k\in \left\{ 1,2,\cdots
,n-1\right\} \right) \\
1 & \left( if\ x\geq x_{n}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める。

証明

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以上の結果を具体的に表現すると、\begin{equation*}
F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<x_{1}\right) \\
\frac{1}{n} & \left( if\ x_{1}\leq x<x_{2}\right) \\
\frac{2}{n} & \left( if\ x_{2}\leq x<x_{3}\right) \\
& \vdots \\
\frac{n-1}{n} & \left( if\ x_{n-1}\leq x<x_{n}\right) \\
1 & \left( if\ x\geq x_{n}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。

例(離散型一様分布にしたがう確率変数の分布関数)
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)がパラメータ\(\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\)の離散型一様分布にしたがうものとします。つまり、\begin{equation*}X\sim U\left( \frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right)
\end{equation*}であるということです。この場合、先の命題より、\(X\)の分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<\frac{1}{5}\right) \\
\frac{1}{5} & \left( if\ \frac{1}{5}\leq x<\frac{1}{4}\right) \\
\frac{2}{5} & \left( if\ \frac{1}{4}\leq x<\frac{1}{3}\right) \\
\frac{3}{5} & \left( if\ \frac{1}{3}\leq x<\frac{1}{2}\right) \\
\frac{4}{5} & \left( if\ \frac{1}{2}\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。

確率変数\(X\)がパラメータ\(a,b\)の離散型一様分布にしたがう場合の分布関数は以下の通りです。

命題(離散型一様分布にしたがう確率変数の分布関数)
確率変数\(X\)がパラメータ\(a,b\)の離散型一様分布にしたがう場合、すなわち、\begin{equation*}X\sim U\left( a,b\right)
\end{equation*}である場合には、\(X\)の分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<a\right) \\
\frac{\left\vert \left\lfloor x\right\rfloor \right\vert }{b-a+1} & \left(
if\ a\leq x<b\right) \\
1 & \left( if\ x\geq b\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める。ただし、\(\left\lfloor x\right\rfloor :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{Z} \)は床関数であり、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\left\lfloor x\right\rfloor \leq x<\left\lfloor x\right\rfloor +1
\end{equation*}を満たすものとして定義される。

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以上の結果を具体的に表現すると、\begin{equation*}
F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<a\right) \\
\frac{1}{b-a+1} & \left( if\ a\leq x<a+1\right) \\
\frac{2}{b-a+1} & \left( if\ a+1\leq x<a+2\right) \\
& \vdots \\
\frac{b-a}{b-a+1} & \left( if\ b-1\leq x<b\right) \\
1 & \left( if\ x\geq b\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。

例(離散型一様分布にしたがう確率変数の分布関数)
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)がパラメータ\(-5,5\)の離散型一様分布にしたがうものとします。つまり、\begin{equation*}X\sim U\left( -5,5\right)
\end{equation*}であるということです。この場合、先の命題より、\(X\)の分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<-5\right) \\
\frac{\left\vert \left\lfloor x\right\rfloor \right\vert }{n} & \left( if\
-5\leq x<5\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 5\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。具体的には、\begin{equation*}
F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<-5\right) \\
\frac{1}{11} & \left( if\ -5\leq x<-4\right) \\
\frac{2}{11} & \left( if\ -4\leq x<-3\right) \\
& \vdots \\
\frac{10}{11} & \left( if\ 4\leq x<5\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 5\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。

確率変数\(X\)がパラメータ\(n\)の離散型一様分布にしたがう場合の分布関数は以下の通りです。

命題(離散型一様分布にしたがう確率変数の分布関数)
確率変数\(X\)がパラメータ\(n\)の離散型一様分布にしたがう場合、すなわち、\begin{equation*}X\sim U\left( n\right)
\end{equation*}である場合には、\(X\)の分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<1\right) \\
\frac{\left\lfloor x\right\rfloor }{n} & \left( if\ 1\leq x<n\right) \\
1 & \left( if\ x\geq n\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める。ただし、\(\left\lfloor x\right\rfloor :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{Z} \)は床関数であり、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\left\lfloor x\right\rfloor \leq x<\left\lfloor x\right\rfloor +1
\end{equation*}を満たすものとして定義される。

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例(離散型一様分布にしたがう確率変数の分布関数)
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)がパラメータ\(6\)の離散型一様分布にしたがうものとします。つまり、\begin{equation*}X\sim U\left( 6\right)
\end{equation*}であるということです。この場合、先の命題より、\(X\)の分布関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<1\right) \\
\frac{\left\lfloor x\right\rfloor }{n} & \left( if\ 1\leq x<6\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 6\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。具体的には、\begin{equation*}
F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<1\right) \\
\frac{1}{6} & \left( if\ 1\leq x<2\right) \\
\frac{2}{6} & \left( if\ 2\leq x<3\right) \\
\frac{3}{6} & \left( if\ 3\leq x<4\right) \\
\frac{4}{6} & \left( if\ 4\leq x<5\right) \\
\frac{5}{6} & \left( if\ 5\leq x<6\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 6\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。

 

離散型一様分布にしたがう確率変数の期待値

確率変数\(X\)がパラメータ\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\)の離散型一様分布にしたがう場合の期待値は以下の通りです。

命題(離散型一様分布にしたがう確率変数の期待値)
確率変数\(X\)がパラメータ\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\)の離散型一様分布にしたがう場合、すなわち、\begin{equation*}X\sim U\left( x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\right)
\end{equation*}である場合には、\(X\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( X\right) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}
\end{equation*}となる。

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例(離散型一様分布にしたがう確率変数の期待値)
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)がパラメータ\(\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\)の離散型一様分布にしたがうものとします。つまり、\begin{equation*}X\sim U\left( \frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},1\right)
\end{equation*}であるということです。この場合、先の命題より、\(X\)の期待値は、\begin{eqnarray*}E\left( X\right) &=&\frac{1}{5}\left( \frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+1\right) \\
&=&\frac{137}{300}
\end{eqnarray*}となります。

確率変数\(X\)がパラメータ\(a,b\)の離散型一様分布にしたがう場合の期待値は以下の通りです。

命題(離散型一様分布にしたがう確率変数の期待値)
確率変数\(X\)がパラメータ\(a,b\)の離散型一様分布にしたがう場合、すなわち、\begin{equation*}X\sim U\left( a,b\right)
\end{equation*}である場合には、\(X\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( X\right) =\frac{a+b}{2}
\end{equation*}となる。

証明