ユークリッド空間

点集合の上界・下界

n次元空間上の非空な部分集合に対して、その上界や下界を定義します。n次元空間の部分集合が上界と下界をともに持つとき、その集合は有界であると言います。有界であることは直方体やノルムなど様々な概念を用いて表現可能です。

スカラー場として実数空間を採用した上で、n次元空間上にベクトル加法、スカラー乗法、順序などを定義したとき、これらは順序ベクトル空間としての性質を満たします。これを実順序ベクトル空間と呼びます。

n次元空間上に定義される標準的狭義順序と呼ばれる二項関係は狭義順序である一方で狭義全順序ではありません。

実ベクトル空間上にノルムという概念を導入すると、その空間はノルム空間としての性質を満たすことが示されます。つまり、ノルムは非負性、定性、斉次性、劣加法性を満たします。

実ベクトル空間上に内積と呼ばれる概念を導入したとき、その空間は内積空間としての性質を満たします。つまり、内積は非負性、定性、第一引数に関する加法性および斉次性、そして対称性を満たします。

実数空間をスカラー場とするn次元空間上にベクトル加法とスカラー乗法を定義したとき、これを実ベクトル空間と呼びます。

実数空間をスカラー場とするn次元空間上に定義されたスカラー乗法を用いて、スカラー除法と呼ばれる演算を間接的に定義します。

係数として実数空間を採用した上で、それとn次元空間の上にスカラー乗法と呼ばれる演算を定義します。

ベクトル加法を用いてベクトル減法と呼ばれる演算を間接的に定義します。

n次元空間の2つの点 x,y が与えられたとき、それらの対応する成分どうしを足すことにより得られる新たな点をxとyのベクトル和と呼びます。ベクトル和を与える演算をベクトル加法と呼びます。

有限n個の実数空間の直積集合をn次元空間と呼びます。これは実数のn組（成分が実数であるようなn次元ベクトル）をすべて集めてできる集合です。