有界な集合

ユークリッド空間の部分集合が有界であることの意味は、順序という概念を前提にせずとも、距離を用いて表現できることを示します。

集合の直径

ユークリッド距離を用いて、ユークリッド空間の部分集合の直径を定義します。

集合の間の距離

ユークリッド距離を用いて、ユークリッド空間の部分集合どうしの距離を定義します。

ユークリッド空間

n 次元空間上にユークリッド距離と呼ばれる概念を定義するとき、その空間を n 次元ユークリッド空間と呼びます。ユークリッド距離は絶対値を一般化した概念です。

命題の証明:実順序ベクトル空間

本節では実順序ベクトル空間について学びました。本文中に登場した命題を証明します。次節ではユークリッド空間について学びます。

上限・下限

n次元空間上の非空な部分集合に対して、その上限や下限を定義します。1次元空間においては、実数の連続性の公理より、上に有界な部分集合には上限が、下に有界な部分集合には下限が必ず存在します。この事実を利用すると、多次元空間の部分集合についても同様のことを保証できます。

上界・下界

n次元空間上の非空な部分集合に対して、その上界や下界を定義します。n次元空間の部分集合が上界と下界をともに持つとき、その集合は有界であると言います。有界であることは直方体やノルムなど様々な概念を用いて表現可能です。

極大元・極小元

n次元空間上の非空な部分集合に対して、その極大元や極小元を定義します。1次元空間においてこれらは最大元や最小元と等しい概念ですが、多次元空間において両者は異なる概念です。

最大元・最小元

n次元空間の非空な部分集合に対して、その最大元や最小元を定義します。最大元や最小元は存在するとは限りませんが、存在する場合にはそれぞれ一意的です。

実順序ベクトル空間

スカラー場として実数空間を採用した上で、n次元空間上にベクトル加法、スカラー乗法、順序などを定義したとき、これらは順序ベクトル空間としての性質を満たします。これを実順序ベクトル空間と呼びます。