カントール集合
カントール集合を定義するとともに、3進展開を用いてカントール集合を特徴づけます。カントール集合は非空なコンパクト集合であるとともに、非可算集合であるような零集合でもあります。
ヴィタリの被覆定理
点集合のヴィタリ被覆の中から有限個の互いに素な区間を上手く選んだ上で、選んだ区間の和集合ともとの集合との差集合をとることにより、その差集合の測度をいくらでも小さくすることができます。これをヴィタリの被覆定理と呼びます。
ボレル測度の定義
ルベーグ外測度の定義域をボレル集合族に制限することにより得られる写像をボレル測度と呼びます。ルベーグ測度と同様に、ボレル測度もまたσ-加法測度としての性質を満たします。
拡大実数系上のボレル集合
拡大実数系上の開集合系から生成される最小のσ-代数をボレル集合族と呼びます。ボレル集合族は拡大実数系上の近傍系や特定の近傍系から生成することもできます。
ルベーグ非可測集合の存在と具体例
ルベーグ可測ではない集合を具体的に構成するとともに、その事実を用いてルベーグ外測度が加法性を満たさないことを確認します。
零集合
外測度の値がゼロであるような集合を零集合と呼びます。零集合はルベーグ可測です。零集合の基本的な性質について解説します。関連して「ほとんどいたるところ」という用語の意味を解説します。
ルベーグ測度の定義
ルベーグ外測度の定義域をルベーグ可測集合族に制限して得られる写像をルベーグ測度と呼びます。ルベーグ外測度とは異なり、ルベーグ測度はσ-加法測度としての性質を満たします。
ボレル集合の定義と具体例
ルベーグ可測集合族は実数空間Rの開集合系を部分集合として持つσ-代数ですが、他にも同様の性質を満たすRの部分集合族は存在するのでしょうか。ボレル集合族はそのような性質を満たすRの部分集合族の中で最小のものです。
ルベーグ可測集合の定義と具体例
ルベーグ外測度はσ-加法性を満たさないため、その定義域を適当なRの部分集合族へ縮小することを考えます。そのようなRの部分集合族の候補としてルベーグ集合族と呼ばれるものを導入します。これはσ-代数としての性質を満たします。
カラテオドリ拡張とルベーグ外測度
区間の長さを拡張することにより、任意の点集合の外延量を測定可能な測度概念を定義します。このような操作をカラテオドリ拡張と呼び、こうして得られる測度をルベーグ外測度やカラテオドリ外測度などと呼びます。ルベーグ外測度は外測度としての性質を満たします。
区間塊の長さ
区間塊は有限個の互いに素な区間の和集合として表される点集合ですが、それらの区間の総和として区間塊の長さを定義します。区間塊の長さはσ-加法測度としての性質を満たします。
区間塊
有限個の互いに素な区間の和集合として表される点集合を区間塊と呼びます。すべての区間塊からなる集合族は集合環としての性質を満たします。
