ルベーグ測度

ルベーグ外測度の定義域をルベーグ可測集合族に制限して得られる写像をルベーグ測度と呼びます。ルベーグ外測度とは異なり、ルベーグ測度はσ-加法測度としての性質を満たします。

ボレル集合

ルベーグ可測集合族は実数空間Rの開集合系を部分集合として持つσ-代数ですが、他にも同様の性質を満たすRの部分集合族は存在するのでしょうか。ボレル集合族はそのような性質を満たすRの部分集合族の中で最小のものです。

代表的な可測集合

ルベーグ集合族はσ-代数としての性質を満たすRの部分集合族であることが明らかになりましたが、具体的にはどのような点集合がルベーグ可測なのでしょうか。区間や区間塊、開集合、閉集合、有限集合、可算集合などはいずれもルベーグ可測です。

ルベーグ可測集合

ルベーグ外測度はσ-加法性を満たさないため、その定義域を適当なRの部分集合族へ縮小することを考えます。そのようなRの部分集合族の候補としてルベーグ集合族と呼ばれるものを導入します。これはσ-代数としての性質を満たします。

カラテオドリ拡張と外測度

区間の長さを拡張することにより、任意の点集合の外延量を測定可能な測度概念を定義します。このような操作をカラテオドリ拡張と呼び、こうして得られる測度をルベーグ外測度やカラテオドリ外測度などと呼びます。ルベーグ外測度は外測度としての性質を満たします。

演習問題:区間塊の長さ

本節では区間塊の長さについて解説しました。演習問題を通じて理解度を確認してください。次節では外測度について学びます。

命題の証明:区間塊の長さ

本節では区間塊の長さについて解説しました。登場した命題を証明します。次節では外測度について学びます。

区間塊の長さ

区間塊は有限個の互いに素な区間の和集合として表される点集合ですが、それらの区間の総和として区間塊の長さを定義します。区間塊の長さはσ-加法測度としての性質を満たします。

区間塊

有限個の互いに素な区間の和集合として表される点集合を区間塊と呼びます。すべての区間塊からなる集合族は集合環としての性質を満たします。

演習問題:区間の長さ

本節では区間の長さについて解説しました。演習問題を通じて理解度を確認してください。次節では区間塊について学びます。

命題の証明:区間の長さ

本節では区間の長さについて解説しました。登場した命題を証明します。次節では区間塊について学びます。

区間の長さ

区間の外延量を表現する集合関数を定義します。この集合関数はσ-加法測度としての性質を満たすことを示します。