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離散型の確率分布

ベルヌーイ分布

目次

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ベルヌーイ分布の確率質量関数

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に対して確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が定義されており、その値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}であるものとします。つまり、\(X\)は\(0\)か\(1\)の2つの値のみをとり得る離散型の確率変数であるということです。この場合、問題としている試行をベルヌーイ試行(Bernoullitrial)と呼びます。その上で、\(X\)の確率分布を描写する確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}0\leq p\leq 1
\end{equation*}を満たす定数\(p\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
p & \left( if\ x=1\right) \\
1-p & \left( if\ x=0\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(X\)が\(1\)を値としてとる確率が\(p\)であり、\(X\)が\(0\)を値としてとる確率が\(1-p\)であるということです。以上の条件が満たされる場合、確率変数\(X\)はパラメーター\(p\)のベルヌーイ分布(Bernoulli distribution with parameter \(p\))にしたがうといい、そのことを、\begin{equation*}X\sim Bi\left( 1,p\right)
\end{equation*}で表記します。

例(ベルヌーイ分布の確率質量関数)
「1枚のコインを投げて出た面を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \text{表},\text{裏}\right\}
\end{equation*}です。表が出る回数を与える確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \omega =\text{表}\right) \\
0 & \left( if\ \omega =\text{裏}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。このような確率変数\(X\)に注目する場合、先の試行はベルヌーイ試行とみなされます。仮に、コインに歪みがなく表と裏が等確率で出るのであれば、確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{2} & \left( if\ x=1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ x=0\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めますが、これは、確率変数\(X\)がパラメータ\(\frac{1}{2}\)のベルヌーイ分布にしたがうこと、すなわち、\begin{equation*}X\sim Bi\left( 1,\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}であることを意味します。一方、コインに偏りがあり、表が出る確率が裏が出る確率の2倍であるならば、確率関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{2}{3} & \left( if\ x=1\right) \\
\frac{1}{3} & \left( if\ x=0\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めますが、これは、確率変数\(X\)がパラメータ\(\frac{2}{3}\)のベルヌーイ分布にしたがうこと、すなわち、\begin{equation*}X\sim Bi\left( 1,\frac{2}{3}\right)
\end{equation*}であることを意味します。逆に、裏が出る確率が表が出る確率の2倍であるならば、確率関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{3} & \left( if\ x=1\right) \\
\frac{2}{3} & \left( if\ x=0\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めますが、これは、確率変数\(X\)がパラメータ\(\frac{1}{3}\)のベルヌーイ分布にしたがうこと、すなわち、\begin{equation*}X\sim Bi\left( 1,\frac{1}{3}\right)
\end{equation*}であることを意味します。

例(ベルヌーイ分布の確率質量関数)
「産まれた子供の性別を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \text{男},\text{女}\right\}
\end{equation*}です。男の子の人数を与える確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \omega =\text{男}\right) \\
0 & \left( if\ \omega =\text{女}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。このような確率変数\(X\)に注目する場合、先の試行はベルヌーイ試行とみなされます。仮に、男の子と女の子が等しい確率で産まれるのであれば、確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{2} & \left( if\ x=1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ x=0\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めますが、これは、確率変数\(X\)がパラメータ\(\frac{1}{2}\)のベルヌーイ分布にしたがうこと、すなわち、\begin{equation*}X\sim Bi\left( 1,\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}であることを意味します。

例(ベルヌーイ分布の確率質量関数)
「試験の結果を観察する」という試行の標本空間は、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \text{合格},\text{不合格}\right\}
\end{equation*}です。合格回数を与える確率関数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \omega =\text{合格}\right) \\
0 & \left( if\ \omega =\text{不合格}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。このような確率変数\(X\)に注目する場合、先の試行はベルヌーイ試行とみなされます。仮に、\(\frac{1}{3}\)の確率で試験に合格するのであれば、確率関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{3} & \left( if\ x=1\right) \\
\frac{2}{3} & \left( if\ x=0\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めますが、これは、確率変数\(X\)がパラメータ\(\frac{1}{3}\)のベルヌーイ分布にしたがうこと、すなわち、\begin{equation*}X\sim Bi\left( 1,\frac{1}{3}\right)
\end{equation*}であることを意味します。

例(ベルヌーイ分布の確率質量関数)
「\(1\)から\(10\)までの整数の中から1つの整数をランダムに選ぶ」という試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\right\}
\end{equation*}です。確率関数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \omega \text{が偶数}\right) \\
0 & \left( if\ \omega \text{が奇数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このような確率変数\(X\)に注目する場合、先の試行はベルヌーイ試行とみなされます。仮に、すべての整数が等しい確率で出るのであれば、確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{2} & \left( if\ x=1\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ x=0\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めますが、これは、確率変数\(X\)がパラメータ\(\frac{1}{2}\)のベルヌーイ分布にしたがうこと、すなわち、\begin{equation*}X\sim Bi\left( 1,\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}であることを意味します。

ベルヌーイ分布にしたがう確率変数の確率質量関数が確率質量関数としての性質を満たすことを確認しておきます。

命題(ベルヌーイ分布の確率質量関数)
確率変数\(X\)がパラメータ\(p\in \left[ 0,1\right] \)のベルヌーイ分布にしたがう場合、すなわち、\begin{equation*}X\sim Bi\left( 1,p\right)
\end{equation*}である場合には、確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :f_{X}\left( x\right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{x\in X\left( \Omega \right) }f_{X}\left( x\right)
=1
\end{eqnarray*}をともに満たす。

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ベルヌーイ分布の分布関数

ベルヌーイ分布にしたがう確率変数の分布関数は以下の通りです。

命題(ベルヌーイ分布の分布関数)
確率変数\(X\)がパラメータ\(p\in \left[ 0,1\right] \)のベルヌーイ分布にしたがう場合、すなわち、\begin{equation*}X\sim Bi\left( 1,p\right)
\end{equation*}である場合には、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める。

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例(ベルヌーイ分布の分布関数)
確率変数\(X\)がパラメータ\(\frac{1}{2}\)のベルヌーイ分布にしたがうものとします。つまり、\begin{equation*}X\sim Bi\left( 1,\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}であるということです。この場合、先の命題より、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。

例(ベルヌーイ分布の分布関数)
確率変数\(X\)がパラメータ\(\frac{1}{3}\)のベルヌーイ分布にしたがうものとします。つまり、\begin{equation*}X\sim Bi\left( 1,\frac{1}{3}\right)
\end{equation*}であるということです。この場合、先の命題より、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
\frac{2}{3} & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。

 

ベルヌーイ分布にしたがう確率変数の期待値

ベルヌーイ分布にしたがう確率変数の期待値は以下の通りです。

命題(ベルヌーイ分布にしたがう確率変数の期待値)
確率変数\(X\)がパラメータ\(p\in \left[ 0,1\right] \)のベルヌーイ分布にしたがう場合、すなわち、\begin{equation*}X\sim Bi\left( 1,p\right)
\end{equation*}である場合には、\(X\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( X\right) =p
\end{equation*}となる。

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例(ベルヌーイ分布にしたがう確率変数の期待値)
確率変数\(X\)がパラメータ\(\frac{1}{2}\)のベルヌーイ分布にしたがうものとします。つまり、\begin{equation*}X\sim Bi\left( 1,\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}であるということです。この場合、先の命題より、\(X\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( X\right) =\frac{1}{2}
\end{equation*}となります。

例(ベルヌーイ分布にしたがう確率変数の期待値)
確率変数\(X\)がパラメータ\(\frac{1}{3}\)のベルヌーイ分布にしたがうものとします。つまり、\begin{equation*}X\sim Bi\left( 1,\frac{1}{3}\right)
\end{equation*}であるということです。この場合、先の命題より、\(X\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( X\right) =\frac{1}{3}
\end{equation*}となります。

 

ベルヌーイ分布にしたがう確率変数の分散

ベルヌーイ分布にしたがう確率変数の分散は以下の通りです。

命題(ベルヌーイ分布にしたがう確率変数の分散)
確率変数\(X\)がパラメータ\(p\in \left[ 0,1\right] \)のベルヌーイ分布にしたがう場合、すなわち、\begin{equation*}X\sim Bi\left( 1,p\right)
\end{equation*}である場合には、\(X\)の分散は、\begin{equation*}\mathrm{Var}\left( X\right) =p\left( 1-p\right)
\end{equation*}となる。

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例(ベルヌーイ分布にしたがう確率変数の分散)
確率変数\(X\)がパラメータ\(\frac{1}{2}\)のベルヌーイ分布にしたがうものとします。つまり、\begin{equation*}X\sim Bi\left( 1,\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}であるということです。この場合、先の命題より、\(X\)の分散は、\begin{equation*}\mathrm{Var}\left( X\right) =\frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{2}\right) =\frac{1}{4}
\end{equation*}となります。

例(ベルヌーイ分布にしたがう確率変数の分散)
確率変数\(X\)がパラメータ\(\frac{1}{3}\)のベルヌーイ分布にしたがうものとします。つまり、\begin{equation*}X\sim Bi\left( 1,\frac{1}{3}\right)
\end{equation*}であるということです。この場合、先の命題より、\(X\)の分散は、\begin{equation*}\mathrm{Var}\left( X\right) =\frac{1}{3}\left( 1-\frac{1}{3}\right) =\frac{2}{9}
\end{equation*}となります。

 

ベルヌーイ分布のモーメント母関数

ベルヌーイ分布にしたがう確率変数はモーメント母関数を持ちます。具体的には以下の通りです。

命題(ベルヌーイ分布にしたがう確率変数のモーメント母関数)
確率変数\(X\)がパラメータ\(p\in \left[ 0,1\right] \)のベルヌーイ分布にしたがう場合、すなわち、\begin{equation*}X\sim Bi\left( 1,p\right)
\end{equation*}である場合には、モーメント母関数\(M_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}M_{X}\left( t\right) =1-p+e^{t}p
\end{equation*}を定める。

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例(ベルヌーイ分布にしたがう確率変数のモーメント母関数)
確率変数\(X\)がパラメータ\(\frac{1}{2}\)のベルヌーイ分布にしたがうものとします。つまり、\begin{equation*}X\sim Bi\left( 1,\frac{1}{2}\right)
\end{equation*}であるということです。この場合、先の命題より、モーメント母関数\(M_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}M_{X}\left( t\right) &=&1-\frac{1}{2}+\frac{e^{t}}{2} \\
&=&\frac{1+e^{t}}{2}
\end{eqnarray*}を定めます。

例(ベルヌーイ分布にしたがう確率変数のモーメント母関数)
確率変数\(X\)がパラメータ\(\frac{1}{3}\)のベルヌーイ分布にしたがうものとします。つまり、\begin{equation*}X\sim Bi\left( 1,\frac{1}{3}\right)
\end{equation*}であるということです。この場合、先の命題より、モーメント母関数\(M_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}M_{X}\left( t\right) &=&1-\frac{1}{3}+\frac{e^{t}}{3} \\
&=&\frac{2+e^{t}}{3}
\end{eqnarray*}を定めます。

 

演習問題

問題(ベルヌーイ分布)
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}であるとともに、確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
p^{x}\left( 1-p\right) ^{1-x} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right)
\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(0\leq p\leq 1\)です。この確率変数\(X\)はパラメータ\(p\)のベルヌーイ分布にしたがうこと、すなわち、\begin{equation*}X\sim Bi\left( 1,p\right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

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問題(ベルヌーイ分布)
「ある工場が生産した製品の中から1個をランダムに抽出するして不良品かどうか検査する」という試行の標本空間を、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \text{不良品},\text{不良品ではない}\right\}
\end{equation*}とおきます。さらに、確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\omega \in \omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \omega \text{は不良品}\right) \\
0 & \left( if\ \omega \text{は不良品ではない}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。不良品である確率は\(0.05\)である場合、この