命題論理

論理式A,B,Cが任意に与えられたとき、前提がA,Bで結論がCであるような推論が妥当である場合、前提がAで結論がB→Cであるような推論もまた妥当になります。これは含意導入と呼ばれる推論規則です。

論理式A,Bが任意に与えられたとき、「AならばBである」と「Aである」という2つの前提から「Bである」という結論を導く推論規則を含意除去やモーダスポネンスなどと呼びます。

既知の事柄を前提とした上で、未知の事柄に関して結論を導き出すことを推論と呼びます。また、前提がすべて真である場合に結論が必ず真であるならば、その推論は妥当であると言います。妥当な推論を推論式と呼びます。

論理式 A,B に対して、B→A を含意 A→B の逆と呼び、￢A→￢B を A→B の裏と呼び、￢B→￢A を A→B の対偶と呼びます。含意とその対偶は同値であり、含意の逆と裏は同値です。

含意、同等、排他的論理和はいずれも否定、論理積、論理和を用いて間接的に定義可能です。

論理式 A の否定 ￢A もまた論理式であるため、さらにその否定 ￢(￢A) を考えることができます。これを ￢￢A で表し A の二重否定と呼びます。A とその二重否定 ￢￢A は論理的に同値です。

任意の論理式から排中律と呼ばれる恒真式を構成できます。これは、論理式はそれぞれの解釈において真か偽のどちらか一方であるという主張です。状況によっては排中律が成り立たないように思われますが、この問題を解決する手法としてファジィ理論や述語論理などがあります。

任意の論理式から矛盾律と呼ばれる恒偽式を構成できます。これは、論理式は任意の解釈において、真であると同時に偽であるような状況は起こりえないことを主張しています。

論理演算において命題定数は零元や単位元としての性質を備えます。

論理積の否定は否定の論理和と論理的に同値であり、論理和の否定は否定の論理積と論理的に同値です。これをド・モルガンの法則と呼びます。ド・モルガンの法則は任意個の論理式の関係としても拡張可能です。

論理式 A が与えられたとき、それと任意の論理式 B との論理積 A∧B をとります。その上で両者の論理和 A∨(A∧B) をとると A∧B が吸収されて A と同値な論理式へ戻ります。また、この命題において論理積と論理和の関係を入れ替えたものも成り立ちます。

論理積と論理和の間には分配律と呼ばれる関係が成り立ちます。つまり、論理和との論理積は論理積どうしの論理和と論理的に同値であり、論理積との論理和は論理和どうしの論理積と論理的に同値です。