指数が自然数である場合の累乗
実数が底であり、指数が自然数であるような累乗を定義した上で、それが指数法則と呼ばれる命題を満たすことを示します。
数直線上の距離（1次元ユークリッド空間）
数直線上の2つの点の間の距離という概念を定義した上で、距離の性質について解説します。距離が定義された数直線を1次元ユークリッド空間と呼びます。
絶対値の定義と性質
実数の絶対値と呼ばれる概念を定義した上で、その代表的な性質について解説します。
区間の定義
実数の特別な部分集合である区間という概念を定義します。
有理数の稠密性
2つの異なる実数を任意に選んだとき、それらの間には必ず有理数が存在します。このような性質を有理数の稠密性と呼びます。
アルキメデスの性質
実数の連続性より、すべての自然数からなる集合 N は上に有界ではないことが示されます。これをアルキメデスの原理と呼びます。
上限性質・下限性質
実数空間の非空かつ上に有界な部分集合は上限を持ちます。これを上限性質と呼びます。また、実数空間の非空かつ下に有界な部分集合は下限を持ちます。これを下限性質と呼びます。上限性質や下限性質はデデキントの公理と必要十分であるため、実数の連続性を特徴づける公理として採用することができます。
実数全順序体
公理主義的実数論では、実数空間が加法、乗法、大小関係に関して全順序体であることを公理として定めます。実数に関するあらゆる命題はそれらの公理から証明されてはじめて正しいものとして認められます。
実数の連続性（実数のデデキント切断）
実数を特徴づける公理として、それが加法と乗法、そして大小関係について全順序体であるものと定めました。しかし、こうした性質は有理数についても成立します。数としての実数を特徴づける性質は連続性です。連続性をデデキントの切断と呼ばれる概念を用いて解説します。
数の体系
数の概念が自然数から整数、そして有理数へと拡張されてきた背景には、もとの数の範囲では不可能であった演算を可能にするという動機があります。また、数直線上に点を隙間なく並べるためには数の概念を有理数から実数へ拡張する必要があります。
実数体
公理主義的実数論では実数空間上に加法および乗法と呼ばれる二項演算を定義した上で、それらが体としての性質を満たすことを公理として定めます。演算に関する性質はいずれもそれらの公理から導かれて初めて正しいものとして認められます。
実数の除法
除法と呼ばれる二項演算は乗法から間接的に定義されます。除法に関する性質もまた、乗法の性質を規定する公理から証明されてはじめて正しいものとして認められます。
