実数の乗法
公理主義的実数論では実数空間上に乗法と呼ばれる二項演算を定義した上で、それが可換群（アーベル群）としての性質を満たすことを公理として定めます。乗法に関する性質はいずれもそれらの公理から導かれて初めて正しいものとして認められます。
実数の減法
減法と呼ばれる二項演算は加法から間接的に定義されます。減法に関する性質もまた、加法の性質を規定する公理から証明されてはじめて正しいものとして認められます。
実数の加法
公理主義的実数論では実数空間上に加法と呼ばれる二項演算を定義した上で、それが可換群（アーベル群）としての性質を満たすことを公理として定めます。加法に関する性質はいずれもそれらの公理から導かれて初めて正しいものとして認められます。
拡大実数系と不定形
R に属するすべての実数と正負の無限大+∞,−∞からなる集合を拡大実数系と呼びます。
実数集合の上限・下限
実数空間 R の空でない部分集合 A が上に有界であるとともに、A の上界からなる集合 U(A) の最小値が存在するならば、それを A の上限と呼びます。また、A が下に有界であるとともに、A の下界からなる集合 L(A) の最大値が存在するならば、それを A の下限と呼びます。
実数集合の上界・下界
実数集合 R の空でない部分集合 A について、ある実数 a が A の任意の要素以上ならば、a を A の上界と呼びます。また、a が A の任意の要素以下ならば、a をAの 下界 と呼びます。
実数集合の最大値・最小値
実数集合 R の空でない部分集合 A について、そのある要素 a が A の任意の実数以上ならば、a を A の最大値と呼びます。また、a が A の任意の実数以下ならば、a を A の最小値と呼びます。
実数の狭義大小関係
実数の集合 R 上に定義された大小関係を用いて、狭義大小関係と呼ばれる新たな順序を間接的に定義します。狭義大小関係は非対称律、推移律、三分律を満たす狭義全順序です。
実数の大小関係
実数の集合 R 上に実数どうしの大小関係を比較する順序を定義した上で、それが全順序としての性質満たすことを公理として定めます。
公理主義的実数論
実数を無限小数として定義する場合、実数に関する議論はすべて無限小数に関する議論として行うことになるため不便です。そこで登場するのが公理主義という手法です。
無限小数としての実数
実数は有理数と無理数をあわせたもののことです。有理数は循環する無限小数であり無理数は循環しない無限小数ですから、実数とは循環するものとしないものを含めたすべての無限小数のことです。
