等差数列とその部分和および極限
隣り合う項が共通の差を持つ数列を等差数列と呼びます。等差数列を定義するとともに、その部分和を明らかにした上で、等差数列が収束する・発散するための条件を明らかにします。
数列の絶対値の極限
数列が収束するとき、その一般項の絶対値を一般項とする数列も収束します。以上の事実を利用することにより、数列が有限な実数へ収束すること・しないことを判定できます。
数列の平方根の極限
非負の実数を項とする数列が収束するとき、その一般項の平方根を一般項とする数列も収束します。また、非負の実数を項とする数列が正の無限大へ発散するとき、その一般項の平方根を一般項とする数列も正の無限大へ発散します。
コーシー列と実数の連続性
コーシー列の収束定理とアルキメデスの性質がともに成り立つことは、実数の連続性の公理と必要十分であることを示します。
部分列と実数の連続性
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理はカントールの縮小区間定理と必要十分です。したがって、ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理とアルキメデスの性質が成り立つことは実数の連続性と必要十分です。
区間列と実数の連続性
実数空間が全順序体としての公理を満たすことを認める場合、実数の連続性の公理と、カントールの縮小区間定理およびアルキメデスの性質が成り立つことは必要十分になります。
有界単調数列と実数の連続性
上に有界な単調増加数列の収束定理や下に有界な単調減少数列の収束定理などはいずれも実数の連続性の公理と必要十分であることを示します。
定数数列の極限
すべての項が等しい数列を定数数列（定数列）と呼びます。定数列は有限な実数へ収束します。
コーシー列と収束列の関係（コーシー列の収束定理）
実数の連続性を認める場合、数列が有限な実数へ収束することと、その数列がコーシー列であることは必要十分になります。
コーシー列（基本列）
項が先に進むにつれて項の変化がどこまでも小さくなっていく数列をコーシー列と呼びます。コーシー列の概念を厳密に定義した上で、コーシー列と収束列の関係を議論します。また、数列がコーシー列であるための判定条件について解説します。
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
収束する数列の任意の部分列は収束する一方、収束しない数列に関しては、収束する部分列を持つ場合とそうでない場合の両方が起こり得ます。一方、数列が有界である場合には、それ自身が収束するかどうかを問わず、収束する部分列が必ず存在します。これをボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理と呼びます。
数列の部分列の定義と具体例
数列から無限個の項を抜き出して順番を保ったまま並べてできる数列をもとの数列の部分列と呼びます。
