実数空間における基本近傍系（近傍基）と第1可算公理
実数空間の点の基本近傍系が存在する場合、その点との距離を測るためには基本近傍系に属する近傍があれば十分で、すべての近傍を議論の対象にする必要はありません。また、実数空間のそれぞれの点に対して可算な基本近傍系が存在します（第1可算公理）。
実数空間における点列コンパクト集合
実数空間の部分集合が与えられたとき、その集合の要素を項とする任意の点列がその集合の点に収束する部分列を持つとき、その集合を点列コンパクト集合と呼びます。ある集合が点列コンパクトであることと、その集合がコンパクトであることは必要十分です。
実数空間におけるハイネ・ボレルの被覆定理
実数空間の部分集合が有界な閉集合であることと、その集合がコンパクト集合であることは必要十分条件です。これをハイネ・ボレルの被覆定理と呼びます。
実数空間上のコンパクト集合の定義と具体例
実数空間の部分集合Aを覆う開集合族（開被覆）を任意に選んだとき、それに対して有限部分被覆が必ず存在する場合には、Aはコンパクト集合であると言います。
実数集合の孤立点
実数空間の部分集合 A が与えられたとき、A の点の中でも A の集積点でないものを A の孤立点と呼びます。
実数集合の集積点（極限点）・導集合
実数空間の部分集合 A が与えられたとき、点 a を中心とする任意の近傍が a とは異なる A の点を要素として持つ場合、この点 a を A の集積点と呼びます。
実数集合の触点・閉包
実数空間 R の部分集合 A が与えられたとき、点 a∈R の任意の近傍が A と交わるならば、a を A の触点と呼びます。また、A のすべての触点からなる集合を A の閉包と呼びます。
実数集合の境界点・境界
実数空間 R の部分集合 A が与えられたとき、点 a∈R の任意の近傍が A と A の補集合の双方と交わるならば、a を A の境界点と呼びます。また、A のすべての境界点からなる集合を A の境界と呼びます。
実数集合の外点・外部
実数空間 R の部分集合 A が与えられたとき、点 a∈R の近傍の中に A の補集合の部分集合であるようなものが存在するならば、a を A の外点と呼びます。また、A のすべての外点からなる集合を A の外部と呼びます。
実数集合の内点・内部
実数空間Rの部分集合Aが与えられたとき、点a∈Rの近傍の中にAの部分集合であるようなものが存在するならば、aをAの内点と呼びます。また、Aのすべての内点からなる集合をAの内部と呼びます。
実数空間における閉集合・閉集合系
実数空間Rの部分集合Aの補集合がR上の開集合であるならば、AをR上の閉集合と呼びます。
実数空間における開集合・開集合系
実数空間 R の部分集合 A に属するそれぞれの点に対して、その点を中心とする近傍の中に A の部分集合であるようなものが存在する場合、A を R 上の開集合と呼びます。
