集合

演習問題:集合

命題関数の真理集合として集合を定義するアプローチはラッセルのパラドクスと呼ばれる矛盾を引き起こします。そこで、公理主義のもとで集合を定義するアプローチを採用する場合があります。

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集合

選択公理

無限個の非空集合が与えられたとき、それぞれの集合から要素を 1 つずつ順番に選び出そうとしても、集合の個数は無限であるため、そのような操作が可能であるかどうかは必ずしも明らかではありません。そのような理念上の操作が可能であることを認めることを選択公理と呼びます。

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集合

一般の集合族の直積

集合族を構成するそれぞれの集合の要素からなる添字集合によって添字付けられた成文の族をすべて集めてできる集合を集合族の直積と呼びます。

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集合

可算集合族の直積

可算集合族を構成するそれぞれの集合の要素からなる無限列をすべて集めてできる集合を可算集合族の直積と呼びます。

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集合

有限集合族の直積

有限集合族を構成するそれぞれの集合の要素からなる n-組 をすべて集めてできる集合を有限集合族の直積と呼びます。

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集合

集合の直積

2 つの集合 X,Y の要素からなる順序対をすべて集めてできる集合を X と Y の直積と呼び、これを X×Y で表します。

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集合

演習問題:集合族

本節では集合族について学びました。演習問題を通じて理解度を確認してください。次節では直積集合について学びます。

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集合

命題の証明:集合族

本節では集合族について学びました。本文に登場した命題を証明します。次節では直積集合について学びます。

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集合

集合族演算の法則

通常の集合演算に関して成り立つ法則が、集合族の集合演算においても成り立ちます。ここでは集合族演算に関する結合律、分配律、ド・モルガンの法則を示します。

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