確認テスト I（確率）
確率に関する確認テストです。難易度は学部の中間試験程度です。
ベータ関数の定義と性質
ベータ関数と呼ばれる関数を定義するとともに、その基本的な性質について解説します。
ガンマ関数の定義と性質
ガンマ関数と呼ばれる関数を定義するとともに、その基本的な性質について解説します。ガンマ関数は階乗関数の一般化です。
ディンキン族定理（π-λ定理）
乗法族（π-族）とディンキン族（λ-族）および完全加法族（σ-代数）などの概念を定義するとともに、これらの概念の間に成立する関係について解説します。
可算個の事象族の独立性（可算個の事象族が生成するσ-代数どうしの独立性）
可算個の事象族の中から有限個の事象族を任意に選んだ場合にそれらが独立であるならば、もとの可算個の事象は独立であると言います。
コルモゴロフの0-1の法則（事象族の末尾事象の確率）
可算事象族の要素である無限個の事象の影響を受ける一方で、有限個の事象の影響を受けない事象を末尾事象と呼びます。可算事象族が独立である場合、その任意の末尾事象の確率は0または1のどちらか一方に定まります。これをコルモゴロフの0-1の法則と呼びます。
有限個の事象族の独立性（有限個の事象族が生成するσ-代数どうしの独立性）
有限個の事象族から選ばれた事象どうしが独立になることが保証される場合、それらの事象族は独立であると言います。有限個の事象族が独立であり、各々が積事象について閉じているとともに全体事象を要素として持つ場合、それらから生成されるσ-代数もまた独立になることが保証されます。
2つの事象族の独立性（2つの事象族が生成するσ-代数どうしの独立性）
2つの事象族から選ばれた事象どうしが独立になることが保証される場合、それらの事象族は独立であると言います。2つの事象族が独立であり、なおかつ各々が積事象について閉じている場合、それらから生成されるσ-代数もまた独立になることが保証されます。
ボレル・カンテリの第2補題（独立な事象列の上極限と下極限の確率・無限の猿定理）
可算個の独立な事象の確率の総和が無限大である場合、それらの事象の上極限の確率は1になるとともに、それらの事象の余事象の下極限の確率は0になります。これをボレル・カンテリの第2補題と呼びます。
可算個の事象の独立性（ペア独立性・相互独立性）
可算個の事象が与えられたとき、そこから有限個の事象を任意に選んだ場合にそれらが独立であるならば、もとの可算個の事象は独立であると言います。
ボレル・カンテリの第1補題（事象列の上極限と下極限の確率）
可算個の事象の確率の総和が有限な実数である場合、それらの事象の上極限の確率は0になるとともに、それらの事象の余事象の下極限の確率は1になります。これをボレル・カンテリの第1補題と呼びます。
零事象・ほとんど確実な事象
可測事象の確率が0である場合、そのような事象を零事象と呼びます。また、可測事象の確率が1である場合、そのような事象をほぼ確実な事象と呼びます。
