ユークリッド空間における点
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において点（point）を表現するためには、その点の位置を表す\(n\)個の実数を成分とするベクトル\begin{equation*}x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を指定すれば十分です。
x\in \mathbb{R} \end{equation*}として表されます。
x=\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}として表されます。
x=\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}として表されます。
1次元ユークリッド空間における点と超平面の関係
1次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)における点は、1つの実数\begin{equation*}x\in \mathbb{R} \end{equation*}として表されますが、便宜上、これを\(x\)だけを要素として持つ1点集合\begin{equation*}\left\{ x\right\} \subset \mathbb{R} \end{equation*}と同一視します。一方、\(\mathbb{R} \)における超平面は、ゼロとは異なる点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}H\left( a,c\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\cdot x=c\right\}
\end{equation*}と表現される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。
\(\mathbb{R} \)における点（1点集合）は\(\mathbb{R} \)における超平面でもあります。
実は、上の命題の逆も成立します。つまり、\(\mathbb{R} \)における超平面は\(\mathbb{R} \)の点（1点集合）でもあります。
以上の2つの命題より、1次元ユークリッド空間において超平面と点（1点集合）は概念として一致することが明らかになりました。
一般に、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点を特定するためには、その点の座標\(x\)を指定する必要があります。上の命題によると、1次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)を議論の対象とする場合には1点集合\(\left\{ x\right\} \)は超平面\(H\left( a,c\right) \)と一致するため、法線ベクトル\(a\)とスカラー\(c\)を指定することを通じて点を特定することもできます。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】