超平面
ユークリッド空間上の非ゼロベクトル\(a=\left(a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a\cdot x=c
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=c
\end{equation*}を満たす点\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)\in \mathbb{R} ^{n}\)からなる集合を超平面（hyperplane）と呼び、これを、\begin{eqnarray*}H\left( a,c\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ a\cdot x=c\right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=c\right\}
\end{eqnarray*}で表記します。超平面\(H\left( a,c\right) \)を規定する非ゼロベクトル\(a\)を法線ベクトル（normal vector）と呼びます。また、超平面を規定する方程式\begin{equation*}a\cdot x=c
\end{equation*}を超平面の方程式（equation of a hyperplane）と呼びます。
\end{equation*}と表されます。例えば、\begin{eqnarray*}
H\left( 1,2\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1\cdot x=2\right\} \\
&=&\left\{ 2\right\}
\end{eqnarray*}となります。後に示すように、\(\mathbb{R} \)における超平面は、数直線上の点と概念として一致します。
=c\right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}=c\right\}
\end{eqnarray*}と表されます。例えば、\begin{eqnarray*}
H\left( \left( 1,2\right) ,3\right) &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right)
\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( 1,2\right) \cdot \left( x_{1},x_{2}\right) =3\right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}+2x_{2}=3\right\}
\end{eqnarray*}となります。後に示すように、\(\mathbb{R} ^{2}\)における超平面は、平面上の直線と概念として一致します。
x_{1},x_{2},x_{3}\right) =c\right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=c\right\}
\end{eqnarray*}と表されます。例えば、\begin{eqnarray*}
H\left( \left( 1,2,3\right) ,4\right) &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right)
\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( 1,2,3\right) \cdot \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right)
=4\right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=4\right\}
\end{eqnarray*}となります。後に示すように、\(\mathbb{R} ^{3}\)における超平面は、空間上の平面と概念として一致します。
法線ベクトルは超平面と垂直
超平面\(H\left( a,c\right) \)を規定する非ゼロベクトル\(a\)を法線ベクトルと呼びますが、これは超平面と垂直なベクトルです。
=c\right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}=c\right\}
\end{eqnarray*}と表されます。後に示すように、\(\mathbb{R} ^{2}\)における超平面は平面上の直線と概念として一致するため、法線ベクトル\(a\)は超平面\(H\left( a,c\right) \)に相当する直線と垂直なべクトルです。
x_{1},x_{2},x_{3}\right) =c\right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=c\right\}
\end{eqnarray*}と表されます。後に示すように、\(\mathbb{R} ^{3}\)における超平面は空間上の平面と概念として一致するため、法線ベクトル\(a\)は超平面\(H\left( a,c\right) \)に相当する平面と垂直なベクトルです。
点と超平面の距離
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の超平面\(H\left( a,c\right) \)と、この超平面に属さない点\(x_{1}\)をそれぞれ任意に選びます。点\(x_{1}\)から超平面\(H\left( a,c\right) \)へ下ろした垂線の足を点\(x_{0}\)で表記します。ベクトル\(x_{1}-x_{0}\)は超平面\(H\left( a,c\right) \)と直交します。加えて、\(x_{1}\)は\(H\left( a,c\right) \)に属さない点であるため\(x_{1}-x_{0}\)は非ゼロベクトルです。したがって、\(x_{1}-x_{0}\)は\(H\left( a,c\right) \)の法線ベクトルの1つであるとともに、この法線ベクトル\(x_{1}-x_{0}\)の長さは点\(x_{1}\)と超平面\(H\left( a,c\right) \)の距離に相当します。
\end{equation*}となる。
超平面\(H\left( a,c\right) \)の法線ベクトル\(a\)が単位ベクトルである場合、すなわち、\begin{equation*}\left\Vert a\right\Vert =1
\end{equation*}が成り立つ場合、原点\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)と超平面\(H\left( a,c\right) \)の距離は、上の命題より、\begin{eqnarray*}\frac{\left\vert a\cdot 0-c\right\vert }{\left\Vert a\right\Vert } &=&\frac{\left\vert a\cdot 0-c\right\vert }{1}\quad \because
\left\Vert a\right\Vert =1 \\
&=&\left\vert c\right\vert
\end{eqnarray*}となります。つまり、超平面\(H\left( a,c\right) \)を規定するスカラー\(c\)は、法線ベクトル\(a\)が単位ベクトルであるような超平面\(H\left( a,c\right) \)と原点\(0\)の距離に相当します。
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