集合のスカラー倍
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)とスカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(A\)のそれぞれの点\(x\in A\)をスカラー\(\lambda \)倍して得られる点からなる集合を、\begin{equation*}\lambda A=\left\{ \lambda x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x\in A\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(A\)のスカラー\(\lambda \)倍（scalar multiplication）と呼びます。
例（集合のスカラー倍）
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)のスカラー\(1\)倍は、\begin{eqnarray*}1A &=&\left\{ 1x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x\in A\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x\in A\right\} \\
&=&A
\end{eqnarray*}であり、スカラー\(0\)倍は、\begin{eqnarray*}0A &=&\left\{ 0x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x\in A\right\} \\
&=&\left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}であり、スカラー\(-1\)倍は、\begin{equation*}-A=\left\{ -x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x\in A\right\}
\end{equation*}となります。
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x\in A\right\} \\
&=&A
\end{eqnarray*}であり、スカラー\(0\)倍は、\begin{eqnarray*}0A &=&\left\{ 0x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x\in A\right\} \\
&=&\left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}であり、スカラー\(-1\)倍は、\begin{equation*}-A=\left\{ -x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x\in A\right\}
\end{equation*}となります。
例（集合のスカラー倍）
\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{equation*}A=\left\{ \left( 0,0\right) ,\left( 1,1\right) ,\left( -1,-1\right) \right\}
\end{equation*}が与えられたとき、例えば、\begin{eqnarray*}
2A &=&\left\{ \left( 0,0\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( -2,-2\right)
\right\} \\
\frac{1}{2}A &=&\left\{ \left( 0,0\right) ,\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) ,\left( -\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right) \right\} \\
-A &=&\left\{ \left( 0,0\right) ,\left( -1,-1\right) ,\left( 1,1\right)
\right\}
\end{eqnarray*}などとなります。
\end{equation*}が与えられたとき、例えば、\begin{eqnarray*}
2A &=&\left\{ \left( 0,0\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( -2,-2\right)
\right\} \\
\frac{1}{2}A &=&\left\{ \left( 0,0\right) ,\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) ,\left( -\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right) \right\} \\
-A &=&\left\{ \left( 0,0\right) ,\left( -1,-1\right) ,\left( 1,1\right)
\right\}
\end{eqnarray*}などとなります。
例（集合のスカラー倍）
\(\mathbb{R} \)の部分集合である整数集合\begin{equation*}\mathbb{Z} =\left\{ \cdots ,-2,-1,0,1,2,\cdots \right\}\end{equation*}に対して、そのスカラー\(2\)倍である、\begin{equation*}2\mathbb{Z} =\left\{ \cdots ,-4,-2,0,2,4,\cdots \right\}
\end{equation*}はすべての偶数からなる集合です。
\end{equation*}はすべての偶数からなる集合です。
凸集合のスカラー倍は凸集合
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合が凸集合である場合、そのスカラー倍もまた凸集合になることが保証されます。
命題（凸集合のスカラー倍は凸集合）
ユークリッド空間の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)とスカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\(A\)が凸集合ならば\(\lambda A\)もまた凸集合である。
例（凸集合のスカラー倍は凸集合）
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が凸集合である場合、上の命題より、以下の集合\begin{equation*}-A=\left\{ -x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x\in A\right\}
\end{equation*}もまた凸集合です。
\end{equation*}もまた凸集合です。
例（有界開区間のスカラー倍）
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}をとります。これは\(\mathbb{R} \)上の凸集合であるため、先の命題より、スカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lambda \left( a,b\right) =\left\{ \lambda x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}もまた\(\mathbb{R} \)上の凸集合です。したがって、\begin{eqnarray*}-\left( a,b\right) &=&\left\{ -x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\} =\left( -b,-a\right) \\
\frac{1}{2}\left( a,b\right) &=&\left\{ \frac{1}{2}x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\} =\left( \frac{a}{2},\frac{b}{2}\right) \\
2\left( a,b\right) &=&\left\{ 2x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\} =\left( 2a,2b\right)
\end{eqnarray*}などはいずれも\(\mathbb{R} \)上の凸集合です。
\end{equation*}をとります。これは\(\mathbb{R} \)上の凸集合であるため、先の命題より、スカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lambda \left( a,b\right) =\left\{ \lambda x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}もまた\(\mathbb{R} \)上の凸集合です。したがって、\begin{eqnarray*}-\left( a,b\right) &=&\left\{ -x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\} =\left( -b,-a\right) \\
\frac{1}{2}\left( a,b\right) &=&\left\{ \frac{1}{2}x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\} =\left( \frac{a}{2},\frac{b}{2}\right) \\
2\left( a,b\right) &=&\left\{ 2x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\} =\left( 2a,2b\right)
\end{eqnarray*}などはいずれも\(\mathbb{R} \)上の凸集合です。
例（点の開近傍のスカラー倍）
点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)を任意に任意に選んだ上で、\(a\)を中心とする開近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left\Vert x-a\right\Vert <\varepsilon \right\}
\end{equation*}をとります。これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の凸集合であるため、先の命題より、スカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lambda N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ \lambda x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left\Vert x-a\right\Vert <\varepsilon \right\}
\end{equation*}もまた\(\mathbb{R} \)上の凸集合です。
\end{equation*}をとります。これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の凸集合であるため、先の命題より、スカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lambda N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ \lambda x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left\Vert x-a\right\Vert <\varepsilon \right\}
\end{equation*}もまた\(\mathbb{R} \)上の凸集合です。
演習問題
問題（集合のスカラー乗法の互換性）
集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\begin{equation*}\forall \lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb{R} :\lambda _{1}\left( \lambda _{2}A\right) =\left( \lambda _{1}\lambda
_{2}\right) A
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
_{2}\right) A
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
問題（対称的な凸集合）
集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)が凸集合であるとともに、\begin{equation*}-A=A
\end{equation*}という関係が成り立つ場合、\(A\)は対称的（symmetric）であると言います。\(A\)が対称的な非空集合である場合には、\begin{equation*}0\in A
\end{equation*}が成り立つことを示してください。ただし、\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)です。
\end{equation*}という関係が成り立つ場合、\(A\)は対称的（symmetric）であると言います。\(A\)が対称的な非空集合である場合には、\begin{equation*}0\in A
\end{equation*}が成り立つことを示してください。ただし、\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)です。
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