微分を用いた1変数の準凸関数の判定
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が準凸関数であることは、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in I,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :f\left(
\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \leq \max \left\{
f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、定義にもとづいて関数が準凸であることを示す作業は煩雑になりがちです。
関数\(f\)が\(C^{1}\)級（連続微分可能）である場合、すなわち\(f\)が微分可能であるとともに導関数\(f^{\prime }\)が連続である場合、それが準凸関数であることを以下のように特徴づけることができます。
命題（連続微分可能な準凸関数）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)は\(C^{1}\)級であるものとする。このとき、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in I:\left[ f\left( x_{2}\right) \leq f\left(
x_{1}\right) \Rightarrow \left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left(
x_{1}\right) \leq 0\right] \end{equation*}が成り立つことは、\(f\)は準凸関数であるための必要十分条件である。
x_{1}\right) \Rightarrow \left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left(
x_{1}\right) \leq 0\right] \end{equation*}が成り立つことは、\(f\)は準凸関数であるための必要十分条件である。
例（連続微分可能な準凸関数）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{++}\)は区間です。\(f\)は自然対数関数であるため\(C^{2}\)級であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。そこで、\begin{equation*}
f\left( x_{2}\right) \leq f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}を満たす点\(x_{1},x_{2}\in I\)を任意に選びます。\(f\)は狭義単調増加であるため、このとき、\begin{equation}x_{2}\leq x_{1} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。すると、\begin{eqnarray*}
\left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) &=&\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}}\quad \because \left( 1\right) \\
&\leq &0\quad \because x_{1}>0\text{および}\left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より\(f\)は準凸関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{++}\)は区間です。\(f\)は自然対数関数であるため\(C^{2}\)級であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。そこで、\begin{equation*}
f\left( x_{2}\right) \leq f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}を満たす点\(x_{1},x_{2}\in I\)を任意に選びます。\(f\)は狭義単調増加であるため、このとき、\begin{equation}x_{2}\leq x_{1} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。すると、\begin{eqnarray*}
\left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) &=&\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}}\quad \because \left( 1\right) \\
&\leq &0\quad \because x_{1}>0\text{および}\left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より\(f\)は準凸関数です。
例（連続微分可能な準凸関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。\(f\)は多項式関数であるため\(C^{2}\)級であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =3x^{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。そこで、\begin{equation*}
f\left( x_{2}\right) \leq f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}を満たす点\(x_{1},x_{2}\in I\)を任意に選びます。\(f\)は狭義単調増加であるため、このとき、\begin{equation}x_{2}\leq x_{1} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。すると、\begin{eqnarray*}
\left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) &=&\left(
x_{2}-x_{1}\right) \cdot 3x^{2}\quad \because \left( 1\right) \\
&\leq &0\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より\(f\)は準凸関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。\(f\)は多項式関数であるため\(C^{2}\)級であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =3x^{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。そこで、\begin{equation*}
f\left( x_{2}\right) \leq f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}を満たす点\(x_{1},x_{2}\in I\)を任意に選びます。\(f\)は狭義単調増加であるため、このとき、\begin{equation}x_{2}\leq x_{1} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。すると、\begin{eqnarray*}
\left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) &=&\left(
x_{2}-x_{1}\right) \cdot 3x^{2}\quad \because \left( 1\right) \\
&\leq &0\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より\(f\)は準凸関数です。
例（連続微分可能な準凸関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。\(f\)は多項式関数であるため\(C^{2}\)級であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =2 \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。そこで、\begin{equation*}
f\left( x_{2}\right) \leq f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}を満たす点\(x_{1},x_{2}\in I\)を任意に選びます。\(f\)は狭義単調増加であるため、このとき、\begin{equation}x_{2}\leq x_{1} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。すると、\begin{eqnarray*}
\left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) &=&\left(
x_{2}-x_{1}\right) \cdot 2\quad \because \left( 1\right) \\
&\leq &0\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より\(f\)は準凸関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。\(f\)は多項式関数であるため\(C^{2}\)級であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =2 \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。そこで、\begin{equation*}
f\left( x_{2}\right) \leq f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}を満たす点\(x_{1},x_{2}\in I\)を任意に選びます。\(f\)は狭義単調増加であるため、このとき、\begin{equation}x_{2}\leq x_{1} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。すると、\begin{eqnarray*}
\left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) &=&\left(
x_{2}-x_{1}\right) \cdot 2\quad \because \left( 1\right) \\
&\leq &0\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より\(f\)は準凸関数です。
先の命題は区間上に定義された\(C^{1}\)級の関数が準凸であるための必要十分条件を与えているため、与えられた関数が準凸でないことを示す際にも利用できます。具体的には、区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)は\(C^{1}\)級である一方で、\begin{equation*}\exists x_{1},x_{2}\in I:\left[ f\left( x_{2}\right) \leq f\left(
x_{1}\right) \wedge \left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left(
x_{1}\right) >0\right]
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)は準凸関数ではありません。
命題（連続微分可能な非準凸関数）
全区間上に定義された正弦関数\begin{equation*}
\sin \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}に注目します。定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。正弦関数は\(C^{2}\)級であり、導関数\(\sin ^{\prime }\left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\sin ^{\prime }\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めます。2つの点\(\pi ,-\pi \in \mathbb{R} \)に注目すると、\begin{equation*}\sin \left( \pi \right) =\sin \left( -\pi \right)
\end{equation*}である一方で、\begin{equation*}
\left( -\pi -\pi \right) \cdot \cos \left( \pi \right) >0
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より\(\sin \left( x\right) \)は準凸関数ではありません。
\sin \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}に注目します。定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。正弦関数は\(C^{2}\)級であり、導関数\(\sin ^{\prime }\left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\sin ^{\prime }\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めます。2つの点\(\pi ,-\pi \in \mathbb{R} \)に注目すると、\begin{equation*}\sin \left( \pi \right) =\sin \left( -\pi \right)
\end{equation*}である一方で、\begin{equation*}
\left( -\pi -\pi \right) \cdot \cos \left( \pi \right) >0
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より\(\sin \left( x\right) \)は準凸関数ではありません。
微分を用いた1変数の準凹関数の判定
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が準凹関数であることは、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in I,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\min
\left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} \leq f\left(
\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。準凸関数に関する先の議論において不等号の向きを逆にすればそのまま準凹関数に関する議論になります。したがって、\(C^{1}\)級（連続微分可能）の関数が準凹関数であることを以下のような形で特徴づけられます。
命題（連続微分可能な準凹関数）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)は\(C^{1}\)級であるものとする。このとき、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in I:\left[ f\left( x_{2}\right) \geq f\left(
x_{1}\right) \Rightarrow \left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left(
x_{1}\right) \geq 0\right] \end{equation*}が成り立つことは、\(f\)は準凹関数であるための必要十分条件である。
x_{1}\right) \Rightarrow \left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left(
x_{1}\right) \geq 0\right] \end{equation*}が成り立つことは、\(f\)は準凹関数であるための必要十分条件である。
例（連続微分可能な準凹関数）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{++}\)は区間です。\(f\)は自然対数関数であるため\(C^{2}\)級であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。そこで、\begin{equation*}
f\left( x_{2}\right) \geq f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}を満たす点\(x_{1},x_{2}\in I\)を任意に選びます。\(f\)は狭義単調増加であるため、このとき、\begin{equation}x_{2}\geq x_{1} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。すると、\begin{eqnarray*}
\left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) &=&\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}}\quad \because \left( 1\right) \\
&\geq &0\quad \because x_{1}>0\text{および}\left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より\(f\)は準凹関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{++}\)は区間です。\(f\)は自然対数関数であるため\(C^{2}\)級であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。そこで、\begin{equation*}
f\left( x_{2}\right) \geq f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}を満たす点\(x_{1},x_{2}\in I\)を任意に選びます。\(f\)は狭義単調増加であるため、このとき、\begin{equation}x_{2}\geq x_{1} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。すると、\begin{eqnarray*}
\left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) &=&\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}}\quad \because \left( 1\right) \\
&\geq &0\quad \because x_{1}>0\text{および}\left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より\(f\)は準凹関数です。
例（連続微分可能な準凹関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。\(f\)は多項式関数であるため\(C^{2}\)級であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =3x^{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。そこで、\begin{equation*}
f\left( x_{2}\right) \geq f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}を満たす点\(x_{1},x_{2}\in I\)を任意に選びます。\(f\)は狭義単調増加であるため、このとき、\begin{equation}x_{2}\geq x_{1} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。すると、\begin{eqnarray*}
\left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) &=&\left(
x_{2}-x_{1}\right) \cdot 3x^{2}\quad \because \left( 1\right) \\
&\geq &0\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より\(f\)は準凹関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。\(f\)は多項式関数であるため\(C^{2}\)級であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =3x^{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。そこで、\begin{equation*}
f\left( x_{2}\right) \geq f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}を満たす点\(x_{1},x_{2}\in I\)を任意に選びます。\(f\)は狭義単調増加であるため、このとき、\begin{equation}x_{2}\geq x_{1} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。すると、\begin{eqnarray*}
\left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) &=&\left(
x_{2}-x_{1}\right) \cdot 3x^{2}\quad \because \left( 1\right) \\
&\geq &0\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より\(f\)は準凹関数です。
例（連続微分可能な準凹関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。\(f\)は多項式関数であるため\(C^{2}\)級であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =2 \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。そこで、\begin{equation*}
f\left( x_{2}\right) \geq f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}を満たす点\(x_{1},x_{2}\in I\)を任意に選びます。\(f\)は狭義単調増加であるため、このとき、\begin{equation}x_{2}\geq x_{1} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。すると、\begin{eqnarray*}
\left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) &=&\left(
x_{2}-x_{1}\right) \cdot 2\quad \because \left( 1\right) \\
&\geq &0\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より\(f\)は準凹関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。\(f\)は多項式関数であるため\(C^{2}\)級であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =2 \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。そこで、\begin{equation*}
f\left( x_{2}\right) \geq f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}を満たす点\(x_{1},x_{2}\in I\)を任意に選びます。\(f\)は狭義単調増加であるため、このとき、\begin{equation}x_{2}\geq x_{1} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。すると、\begin{eqnarray*}
\left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) &=&\left(
x_{2}-x_{1}\right) \cdot 2\quad \because \left( 1\right) \\
&\geq &0\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より\(f\)は準凹関数です。
先の命題は区間上に定義された\(C^{1}\)級の関数が準凹であるための必要十分条件を与えているため、与えられた関数が準凹でないことを示す際にも利用できます。具体的には、区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)は\(C^{1}\)級である一方で、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in I:\left[ f\left( x_{2}\right) \geq f\left(
x_{1}\right) \wedge \left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left(
x_{1}\right) <0\right]
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)は準凹関数ではありません。
命題（連続微分可能な非準凹関数）
全区間上に定義された正弦関数\begin{equation*}
\sin \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}に注目します。定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。正弦関数は\(C^{2}\)級であり、導関数\(\sin ^{\prime }\left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\sin ^{\prime }\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めます。2つの点\(\pi ,-\pi \in \mathbb{R} \)に注目すると、\begin{equation*}\sin \left( \pi \right) =\sin \left( -\pi \right)
\end{equation*}である一方で、\begin{equation*}
\left( \pi -\left( -\pi \right) \right) \cdot \cos \left( -\pi \right) <0
\end{equation*}
が成り立つため、先の命題より\(\sin \left( x\right) \)は準凹関数ではありません。
\sin \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}に注目します。定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。正弦関数は\(C^{2}\)級であり、導関数\(\sin ^{\prime }\left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\sin ^{\prime }\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めます。2つの点\(\pi ,-\pi \in \mathbb{R} \)に注目すると、\begin{equation*}\sin \left( \pi \right) =\sin \left( -\pi \right)
\end{equation*}である一方で、\begin{equation*}
\left( \pi -\left( -\pi \right) \right) \cdot \cos \left( -\pi \right) <0
\end{equation*}
が成り立つため、先の命題より\(\sin \left( x\right) \)は準凹関数ではありません。
演習問題
問題（準凸関数・準凹関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が準凸関数かつ準凹関数であることを微分を用いた判定条件を用いて示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が準凸関数かつ準凹関数であることを微分を用いた判定条件を用いて示してください。
問題（準凸関数・準凹関数）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が準凸関数かつ準凹関数であることを微分を用いた判定条件を用いて示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が準凸関数かつ準凹関数であることを微分を用いた判定条件を用いて示してください。
問題（準凸関数・準凹関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\(a\not=0\)を満たす定数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =ax+b
\end{equation*}として表されるものとします。\(f\)が準凸関数かつ準凹関数であることを微分を用いた判定条件を用いて示してください。
\end{equation*}として表されるものとします。\(f\)が準凸関数かつ準凹関数であることを微分を用いた判定条件を用いて示してください。
問題（準凸関数・準凹関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は準凸関数である一方で準凹関数ではないことを微分を用いた判定条件を用いて示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は準凸関数である一方で準凹関数ではないことを微分を用いた判定条件を用いて示してください。
問題（凸関数と準凹関数の関係）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)は\(C^{1}\)級であるものとします。これまでの議論から明らかになったように、\begin{equation}\forall x_{1},x_{2}\in I:f\left( x_{2}\right) \geq \left( x_{2}-x_{1}\right)
\cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) +f\left( x_{1}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことは\(f\)が凸関数であるための必要十分条件であり、\begin{equation}\forall x_{1},x_{2}\in I:\left[ f\left( x_{2}\right) \leq f\left(
x_{1}\right) \Rightarrow \left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left(
x_{1}\right) \leq 0\right] \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことは\(f\)が準凸関数であるための必要十分条件です。凸関数は準凸関数であるため、\(\left( 1\right) \)が成り立つ場合には\(\left(2\right) \)もまた成り立つはずです。これを証明してください。
\cdot f^{\prime }\left( x_{1}\right) +f\left( x_{1}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことは\(f\)が凸関数であるための必要十分条件であり、\begin{equation}\forall x_{1},x_{2}\in I:\left[ f\left( x_{2}\right) \leq f\left(
x_{1}\right) \Rightarrow \left( x_{2}-x_{1}\right) \cdot f^{\prime }\left(
x_{1}\right) \leq 0\right] \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことは\(f\)が準凸関数であるための必要十分条件です。凸関数は準凸関数であるため、\(\left( 1\right) \)が成り立つ場合には\(\left(2\right) \)もまた成り立つはずです。これを証明してください。
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