同相写像・位相同型（同相）な距離空間

同相写像

非空な集合\(X\)と関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)からなる組\(\left( X,d\right) \)が距離空間であることとは、関数\(d\)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすこととして定義されます。この場合、\(d\)を距離関数と呼びます。

2つの距離空間\(\left( X,d_{X}\right),\left( Y,d_{Y}\right) \)に加えて、写像\begin{equation*}f:X\rightarrow Y
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、この写像\(f\)は一方の距離空間\(X\)上に存在する点\(x\in X\)を、もう一方の距離空間\(Y\)上の点\(f\left(x\right) \in Y\)へ変換します。

写像\(f:X\rightarrow Y\)は連続かつ全単射であるものとします。写像が全単射であることと、その写像の逆写像が存在することは必要十分であるため、この場合には逆写像\begin{equation*}f^{-1}:Y\rightarrow X
\end{equation*}が存在します。逆写像もまた全単射であるため、\(f^{-1}\)もまた全単射です。その一方で、連続な全単射\(f\)の逆写像\(f^{-1}\)は連続であるとは限りません。以下の例より明らかです。

写像\(f:X\rightarrow Y\)が連続かつ全単射である場合でも、その逆写像\(f^{-1}:Y\rightarrow X\)は連続であるとは限らないことが明らかになりました。そこで、逆写像\(f^{-1}\)もまた連続である場合には、もとの写像\(f\)を同相写像（homeomorphism）と呼びます。

改めて整理すると、距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)から距離空間\(\left( Y,d_{Y}\right) \)への写像\(f:X\rightarrow Y\)が同相写像であることは、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は全単射である} \\
&&\left( b\right) \ f\text{は連続写像である} \\
&&\left( c\right) \ f^{-1}\text{は連続写像である}
\end{eqnarray*}がすべて成り立つこととして定義されます。

位相同型（同相）であるような距離空間

2つの距離空間\(\left( X,d_{X}\right),\left( Y,d_{Y}\right) \)に対して同相写像\(f:X\rightarrow Y\)が存在するならば、すなわち、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は全単射である} \\
&&\left( b\right) \ f\text{は連続写像である} \\
&&\left( c\right) \ f^{-1}\text{は連続写像である}
\end{eqnarray*}を満たす写像\(f:X\rightarrow Y\)が存在する場合には、\(\left( X,d_{X}\right) \)は\(\left( Y,d_{Y}\right) \)と位相同型（topological equivalent）であるとか同相（homeomorphic）であるなどと言い、そのことを、\begin{equation*}X\cong Y
\end{equation*}で表記します。

位相同型関係（同相関係）は同値関係

距離空間を要素として持つ集合族を、\begin{equation*}
\mathcal{X}=\left\{ X\ |\ X\text{は距離空間}\right\}
\end{equation*}で表記します。任意の距離空間\(X,Y\in \mathcal{X}\)について、以下の関係\begin{equation*}\left( X,Y\right) \in R\Leftrightarrow X\cong Y
\end{equation*}を満たすものとして\(\mathcal{X}\)上の二項関係\begin{equation*}R\subset \mathcal{X\times X}
\end{equation*}を定義します。つまり、2つの距離空間\(X,Y\)について、\(X\)が\(Y\)と位相同型である場合、そしてその場合にのみ\(\left( X,Y\right) \in R\)が成り立つものとして\(\mathcal{X}\)上の二項関係\(R\)を定義するということです。この二項関係\(R\)を位相同型関係\(\cong \)と同一視することにより、位相同型関係\(\cong \)を\(\mathcal{X}\)上の二項関係とみなすことができます。では、位相同型関係\(\cong \)はどのような性質を満たす二項関係でしょうか。

距離空間族\(\mathcal{X}\)上に定義された位相同型関係\(\cong \)は\(\mathcal{X}\)上の同値関係です。つまり、\(\cong \)は反射律、対称律、推移律に相当する以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( H_{1}\right) \ \forall X\in \mathcal{X}:X\cong Y \\
&&\left( H_{2}\right) \ \forall X,Y\in \mathcal{X}:\left( X\cong
Y\Rightarrow Y\cong X\right) \\
&&\left( H_{3}\right) \ \forall X,Y,Z\in \mathcal{X}:\left( X\cong Y\wedge
Y\cong Z\Rightarrow X\cong Z\right)
\end{eqnarray*}を満たします。

反射律\(\left( H_{1}\right) \)は、任意の距離空間\(X\)は自身\(X\)と位相同型であることを意味します。

反対称律\(\left( H_{2}\right) \)は、距離空間\(X,Y\)を任意に選んだとき、\(X\)が\(Y\)と位相同型である場合には、\(Y\)が\(X\)と位相同型であることが保証されることを意味します。

推移律\(\left( H_{3}\right) \)は、距離空間\(X,Y,Z\)を任意に選んだとき、\(X\)が\(Y\)と位相同型かつ\(Y\)が\(Z\)と位相同型である場合には、\(X\)が\(Z\)と位相同型であることが保証されることを意味します。

位相同型関係\(\cong \)は同値関係であるため、距離空間\(X\in \mathcal{X}\)を任意に選んだとき、それを代表元とする同値類\begin{equation*}\left[ X\right] =\left\{ Y\in \mathcal{X}\ |\ X\cong Y\right\}
\end{equation*}が得られます。これは距離空間\(X\)と位相同型であるような距離空間を要素とする集合族です。さらに、\(\mathcal{X}\)の\(\cong \)による商集合が、\begin{equation*}\mathcal{X}\backslash \cong =\left\{ \left[ X\right] \ |\ X\in \mathcal{X}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、商集合の性質より、これは\(\mathcal{X}\)の分割です。つまり、「位相同型である」という基準からすべての距離空間を複数のグループに分類したとき、それぞれの距離空間は何らかのグループに属するとともに、異なる複数のグループに属する距離空間は存在しないことが保証されます。

位相同型な距離空間の位相的構造は等しい

2つの距離空間\(X,Y\)が位相同型であるものとします。つまり、同相写像\(f:X\rightarrow Y\)が存在するということです。同相写像の定義より、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f:X\rightarrow Y\text{は全単射である} \\
&&\left( b\right) \ f:X\rightarrow Y\text{は連続写像である} \\
&&\left( c\right) \ f^{-1}:Y\rightarrow X\text{は連続写像である}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

条件\(\left( a\right) \)は、\(X\)の要素と\(Y\)の要素の間には1対1の関係が成立することを意味します。具体的には、\begin{eqnarray*}\forall x &\in &X,\ \exists y\in Y:y=f\left( x\right) \\
\forall y &\in &Y,\ \exists x\in X:x=f^{-1}\left( y\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

条件\(\left( b\right) ,\left( c\right) \)は、\(X\)上の開集合と\(Y\)上の開集合の間には1対1の関係が成立することを意味します。\(X,Y\)の開集合系を\(\mathcal{O}\left( X\right) ,\mathcal{O}\left(Y\right) \)でそれぞれ表記します。\(Y\)上の開集合\(B\in \mathcal{O}\left( Y\right) \)を任意に選んだとき、\(\left( b\right) \)より\(f\)は連続写像であるため\(f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{O}\left( X\right) \)が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{O}\left( Y\right) ,\ \exists A\in \mathcal{O}\left(
X\right) :A=f^{-1}\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。つまり、\(Y\)上のそれぞれの開集合に対して、\(X\)上の開集合が1つずつ定まるということです。逆に、\(X\)上の開集合\(A\in \mathcal{O}\left( X\right) \)を任意に選んだとき、\(\left( c\right) \)より\(f^{-1}\)は連続写像であるため\(\left( f^{-1}\right) ^{-1}\left( A\right)\in \mathcal{O}\left( Y\right) \)が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}\forall A\in \mathcal{O}\left( X\right) ,\ \exists B\in \mathcal{O}\left(
Y\right) :B=\left( f^{-1}\right) ^{-1}\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。つまり、\(X\)上のそれぞれの開集合に対して、\(Y\)上の開集合が1つずつ定まるということです。以上より、\(X\)上の開集合と\(Y\)上の開集合の間には1対1の関係が成立することが明らかになりました。

以上の議論より、2つの距離空間\(X,Y\)が位相同型である場合には、両者の要素の間には1対1の関係が成立するだけでなく、両者の開集合の間にも1対1の関係が成立することが明らかになりました。したがって、\(X,Y\)のどちらか一方の距離空間において、開集合系を用いて何らかの概念を定義した上で、その概念に関する何らかの命題を導いた場合、もう一方の距離空間においても同様の主張が成り立つことが保証されます。このような意味において、位相同型であるような2つの距離空間は等しい位相的構造を持っていると言えます。詳細は後述します。

演習問題