集合\(A\)上の同値関係\(R\)が与えられているものとします。このとき、\begin{equation*}R=R\circ R
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

集合\(A\)上の同値関係\(R\)が与えられているものとします。\(A\)が無限集合である場合には、\(R\)のもとでは異なる無限個の同値類が存在すると言えるでしょうか。この主張が正しい場合には証明を行い、主張が正しくない場合には反例を挙げてください。

すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)上の二項関係\(R\)が、任意の\(x,y\in \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow x^{2}\equiv y^{2}\ \left( \mathrm{mod}4\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されています。以下の問いに答えてください。（各10点）

1. \(R\)が\(\mathbb{Z} \)上の同値関係であることを示してください。
2. \(R\)のもとでの同値類をすべて特定してください。

集合\(A\)上の同値関係\(R\)が与えられているものとします。以下の問いに答えてください。（各10点）

1. \(\left\vert A\right\vert =12\)であるとともに、\(R\)のもとでの同値類はいずれも\(3\)個の要素を持つものとします。\(\left\vert R\right\vert \)を求めてください。
2. \(A\)が有限集合であるとともに、\(R\)のもとでの同値類はいずれも\(m\)個の要素を持つものとします。\(\left\vert R\right\vert \)を\(\left\vert A\right\vert \)と\(m\)を用いて表現してください。

集合\(A\)の部分集合族\(\mathfrak{A}\)が\(A\)の分割であるものとします。その上で、任意の\(x,y\in A\)に対して、\begin{equation*}R\left( x,y\right) \Leftrightarrow \exists X\in \mathfrak{A}:\left( x\in
X\wedge y\in X\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(A\)上の二項関係\(R\)を定義します。以下の問いに答えてください。（各10点）

1. \(R\)が\(A\)上の同値関係であることを示してください。
2. 以下の命題\begin{equation*}\forall X\in \mathfrak{A},\ \forall x\in X:\left[ x\right] =X
   \end{equation*}が成り立つことを示してください。ただし、\(\left[ x\right] \)は\(x\)を代表元とする同値類です。
3. \(\mathfrak{A}\)は\(R\)のもとでの\(A\)の商集合であること、すなわち、\begin{equation*}\mathfrak{A}=A/R\end{equation*}が成り立つことを示してください。