確率変数の絶対値は確率変数

確率変数の絶対値は確率変数

標本空間と事象空間からなる可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)と、実数空間とボレル集合からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\right) \)が与えられた状況において、写像\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。すると、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left\vert X\right\vert \left( \omega \right) =\left\vert X\left( \omega
\right) \right\vert
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\left\vert X\right\vert :\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義できます。

写像\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が確率変数である場合には、写像\(\left\vert X\right\vert:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)もまた確率変数になることが保証されます。

拡大実数値確率変数の絶対値は拡大実数値確率変数

標本空間と事象空間からなる可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)と、拡大実数系とボレル集合からなる可測空間\(\left( \overline{\mathbb{R} },\overline{\mathcal{B}}\right) \)が与えられた状況において、写像\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。すると、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の拡大実数値\begin{equation*}\left\vert X\right\vert \left( \omega \right) =\left\vert X\left( \omega
\right) \right\vert
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\left\vert X\right\vert :\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できます。ただし、拡大実数系の定義より、無限大の絶対値は、\begin{equation*}
\left\vert +\infty \right\vert =\left\vert -\infty \right\vert =+\infty
\end{equation*}であることに注意してください。

写像\(X:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が拡大実数値確率変数である場合には、写像\(\left\vert X\right\vert :\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)もまた拡大実数値確率変数になることが保証されます。