確率変数列の上極限・下極限・極限は確率変数

確率変数列の上極限は確率変数

標本空間と事象空間からなる可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて、標本空間\(\Omega \)を定義域として共有する確率変数列\begin{equation*}\left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、この確率変数列の一般項は\(\Omega \)上に定義された確率変数\begin{equation*}X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。加えて、これらの確率変数はいずれも有界であるものとします。

標本点\(\omega \in \Omega \)を選んで固定します。番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\(n\)番目以降の確率変数\(X_{n},X_{n+1},\cdots \)の実現値からなる集合\begin{equation*}\left\{ X_{n}\left( \omega \right) ,X_{n+1}\left( \omega \right) ,\cdots
\right\}
\end{equation*}が得られます。すべての確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots \)が有界である状況を想定しているため、これは非空かつ上に有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であり、したがって、その上限\begin{equation*}\sup \left\{ X_{n}\left( \omega \right) ,X_{n+1}\left( \omega \right)
,\cdots \right\}
\end{equation*}が1つの実数として定まることが保証されます。

それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)について先の上限を特定することにより、数列\begin{gather*}\sup \left\{ X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left( \omega \right) ,\cdots
\right\} \\
\sup \left\{ X_{2}\left( \omega \right) ,X_{3}\left( \omega \right) ,\cdots
\right\} \\
\vdots
\end{gather*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ \sup \left\{ X_{n}\left( \omega \right) ,X_{n+1}\left( \omega
\right) ,\cdots \right\} \right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が得られるため、その極限\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup \left\{ X_{n}\left( \omega \right)
,X_{n+1}\left( \omega \right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。すべての確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots \)が有界である状況を想定しているため、この極限は有限な実数として定まることに注意してください。これを標本点\(\omega \in \Omega \)のもとでの確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の実現値からなる数列\(\left\{ X_{n}\left( \omega \right) \right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の上極限（limit superior）と呼び、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\sup X_{n}\left( \omega \right)
=\lim_{n\rightarrow \infty }\sup \left\{ X_{n}\left( \omega \right)
,X_{n+1}\left( \omega \right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}で表記します。

このような事情を踏まえると、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、数列\(\left\{ X_{n}\left( \omega \right) \right\}_{n\in \mathbb{N} }\)の上極限\begin{eqnarray*}\left( \lim_{n\rightarrow \infty }\sup X_{n}\right) \left( \omega \right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\sup X_{n}\left( \omega \right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\sup \left\{ X_{n}\left( \omega \right)
,X_{n+1}\left( \omega \right) ,\cdots \right\}
\end{eqnarray*}を値として定める写像\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義できます。これをもとの確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の上極限（limit superior）と呼びます。

有界な確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が与えられれば、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\left( \sup_{n\in \mathbb{N} }X_{n}\right) \left( \omega \right) =\sup \left\{ X_{1}\left( \omega \right)
,X_{2}\left( \omega \right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
\sup_{n\in \mathbb{N} }X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\left( \inf_{n\in \mathbb{N} }X_{n}\right) \left( \omega \right) =\inf \left\{ X_{1}\left( \omega \right)
,X_{2}\left( \omega \right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
\inf_{n\in \mathbb{N} }X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}がそれぞれ定義可能です。これらの写像を用いることにより、確率変数列の上極限を以下のように表現することもできます。

有界な確率変数列の上極限は確率変数になることが保証されます。

確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots \)が有界であるとは限らない場合にも同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

標本空間と事象空間からなる可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて、標本空間\(\Omega \)を定義域として共有する確率変数列\begin{equation*}\left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、この確率変数列の一般項は\(\Omega \)上に定義された確率変数\begin{equation*}X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。先とは異なり、これらの確率変数は有界であるとは限らない状況を想定します。

標本点\(\omega \in \Omega \)を選んで固定します。番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\(n\)番目以降の確率変数\(X_{n},X_{n+1},\cdots \)の実現値からなる集合\begin{equation*}\left\{ X_{n}\left( \omega \right) ,X_{n+1}\left( \omega \right) ,\cdots
\right\}
\end{equation*}が得られます。先とは異なり確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots \)は有界であるとは限らないため、これは上に有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるとは限らず、したがって、その上限\begin{equation*}\sup \left\{ X_{n}\left( \omega \right) ,X_{n+1}\left( \omega \right)
,\cdots \right\}
\end{equation*}が1つの実数として定まるとは限りません。つまり、上限が正の無限大になり得るということです。

それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)について先の上限を特定することにより、拡大実数列\begin{gather*}\sup \left\{ X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left( \omega \right) ,\cdots
\right\} \\
\sup \left\{ X_{2}\left( \omega \right) ,X_{3}\left( \omega \right) ,\cdots
\right\} \\
\vdots
\end{gather*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ \sup \left\{ X_{n}\left( \omega \right) ,X_{n+1}\left( \omega
\right) ,\cdots \right\} \right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が得られるため、その極限\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup \left\{ X_{n}\left( \omega \right)
,X_{n+1}\left( \omega \right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。先とは異なり確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots \)は有界であるとは限らないため、この極限は有限な実数として定まるとは限らないことに注意してください。これを標本点\(\omega \in \Omega \)のもとでの確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の実現値からなる拡大実数列\(\left\{ X_{n}\left( \omega \right) \right\}_{n\in \mathbb{N} }\)の上極限（limit superior）と呼び、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\sup X_{n}\left( \omega \right)
=\lim_{n\rightarrow \infty }\sup \left\{ X_{n}\left( \omega \right)
,X_{n+1}\left( \omega \right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}で表記します。

このような事情を踏まえると、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、拡大実数列\(\left\{ X_{n}\left(\omega \right) \right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の上極限\begin{eqnarray*}\left( \lim_{n\rightarrow \infty }\sup X_{n}\right) \left( \omega \right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\sup X_{n}\left( \omega \right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\sup \left\{ X_{n}\left( \omega \right)
,X_{n+1}\left( \omega \right) ,\cdots \right\}
\end{eqnarray*}を値として定める写像\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup X_{n}:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できます。これをもとの確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の上極限（limit superior）と呼びますが、これは拡大実数値確率変数になることが保証されます。証明は先の命題と同様です。

確率変数列の下極限は確率変数

標本空間と事象空間からなる可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて、標本空間\(\Omega \)を定義域として共有する確率変数列\begin{equation*}\left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、この確率変数列の一般項は\(\Omega \)上に定義された確率変数\begin{equation*}X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。加えて、これらの確率変数はいずれも有界であるものとします。

標本点\(\omega \in \Omega \)を選んで固定します。番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\(n\)番目以降の確率変数\(X_{n},X_{n+1},\cdots \)の実現値からなる集合\begin{equation*}\left\{ X_{n}\left( \omega \right) ,X_{n+1}\left( \omega \right) ,\cdots
\right\}
\end{equation*}が得られます。すべての確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots \)が有界である状況を想定しているため、これは非空かつ下に有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であり、したがって、その上限\begin{equation*}\inf \left\{ X_{n}\left( \omega \right) ,X_{n+1}\left( \omega \right)
,\cdots \right\}
\end{equation*}が1つの実数として定まることが保証されます。

それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)について先の下限を特定することにより、数列\begin{gather*}\inf \left\{ X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left( \omega \right) ,\cdots
\right\} \\
\inf \left\{ X_{2}\left( \omega \right) ,X_{3}\left( \omega \right) ,\cdots
\right\} \\
\vdots
\end{gather*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ \inf \left\{ X_{n}\left( \omega \right) ,X_{n+1}\left( \omega
\right) ,\cdots \right\} \right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が得られるため、その極限\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \left\{ X_{n}\left( \omega \right)
,X_{n+1}\left( \omega \right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。すべての確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots \)が有界である状況を想定しているため、この極限は有限な実数として定まることに注意してください。これを標本点\(\omega \in \Omega \)のもとでの確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の実現値からなる数列\(\left\{ X_{n}\left( \omega \right) \right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の下極限（limit inferior）と呼び、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\inf X_{n}\left( \omega \right)
=\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \left\{ X_{n}\left( \omega \right)
,X_{n+1}\left( \omega \right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}で表記します。

このような事情を踏まえると、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、数列\(\left\{ X_{n}\left( \omega \right) \right\}_{n\in \mathbb{N} }\)の下極限\begin{eqnarray*}\left( \lim_{n\rightarrow \infty }\inf X_{n}\right) \left( \omega \right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\inf X_{n}\left( \omega \right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \left\{ X_{n}\left( \omega \right)
,X_{n+1}\left( \omega \right) ,\cdots \right\}
\end{eqnarray*}を値として定める写像\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義できます。これをもとの確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の下極限（limit inferior）と呼びます。

有界な確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が与えられれば、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\left( \sup_{n\in \mathbb{N} }X_{n}\right) \left( \omega \right) =\sup \left\{ X_{1}\left( \omega \right)
,X_{2}\left( \omega \right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
\sup_{n\in \mathbb{N} }X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\left( \inf_{n\in \mathbb{N} }X_{n}\right) \left( \omega \right) =\inf \left\{ X_{1}\left( \omega \right)
,X_{2}\left( \omega \right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
\inf_{n\in \mathbb{N} }X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}がそれぞれ定義可能です。これらの写像を用いることにより、確率変数列の上極限を以下のように表現することもできます。

有界な確率変数列の下極限は確率変数になることが保証されます。

確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots \)が有界であるとは限らない場合にも同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

標本空間と事象空間からなる可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて、標本空間\(\Omega \)を定義域として共有する確率変数列\begin{equation*}\left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、この確率変数列の一般項は\(\Omega \)上に定義された確率変数\begin{equation*}X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。先とは異なり、これらの確率変数は有界であるとは限らない状況を想定します。

標本点\(\omega \in \Omega \)を選んで固定します。番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\(n\)番目以降の確率変数\(X_{n},X_{n+1},\cdots \)の実現値からなる集合\begin{equation*}\left\{ X_{n}\left( \omega \right) ,X_{n+1}\left( \omega \right) ,\cdots
\right\}
\end{equation*}が得られます。先とは異なり確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots \)は有界であるとは限らないため、これは下に有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるとは限らず、したがって、その下限\begin{equation*}\inf \left\{ X_{n}\left( \omega \right) ,X_{n+1}\left( \omega \right)
,\cdots \right\}
\end{equation*}が1つの実数として定まるとは限りません。つまり、下限が負の無限大になり得るということです。

それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)について先の下限を特定することにより、拡大実数列\begin{gather*}\inf \left\{ X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left( \omega \right) ,\cdots
\right\} \\
\inf \left\{ X_{2}\left( \omega \right) ,X_{3}\left( \omega \right) ,\cdots
\right\} \\
\vdots
\end{gather*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ \inf \left\{ X_{n}\left( \omega \right) ,X_{n+1}\left( \omega
\right) ,\cdots \right\} \right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が得られるため、その極限\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \left\{ X_{n}\left( \omega \right)
,X_{n+1}\left( \omega \right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。先とは異なり確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots \)は有界であるとは限らないため、この極限は有限な実数として定まるとは限らないことに注意してください。これを標本点\(\omega \in \Omega \)のもとでの確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の実現値からなる拡大実数列\(\left\{ X_{n}\left( \omega \right) \right\}_{n\in \mathbb{N} }\)の下極限（limit inferior）と呼び、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\inf X_{n}\left( \omega \right)
=\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \left\{ X_{n}\left( \omega \right)
,X_{n+1}\left( \omega \right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}で表記します。

このような事情を踏まえると、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、拡大実数列\(\left\{ X_{n}\left(\omega \right) \right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の下極限\begin{eqnarray*}\left( \lim_{n\rightarrow \infty }\inf X_{n}\right) \left( \omega \right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\inf X_{n}\left( \omega \right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \left\{ X_{n}\left( \omega \right)
,X_{n+1}\left( \omega \right) ,\cdots \right\}
\end{eqnarray*}を値として定める写像\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf X_{n}:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できます。これをもとの確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の下極限（limit inferior）と呼びますが、これは拡大実数値確率変数になることが保証されます。証明は先の命題と同様です。

確率変数列の極限は確率変数

標本空間と事象空間からなる可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて、標本空間\(\Omega \)を定義域として共有する確率変数列\begin{equation*}\left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、この確率変数列の一般項は\(\Omega \)上に定義された確率変数\begin{equation*}X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。

標本点\(\omega \in \Omega \)を選んで固定すれば、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の要素である個々の確率変数の実現値からなる数列\begin{equation*}X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left( \omega \right) ,\cdots
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ X_{n}\left( \omega \right) \right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が得られます。数列が得られれば有限な実数へ収束するか検討できます。どの標本点が実現した場合においても、この数列が有限な実数へ収束することが保証される場合には、つまり、\begin{equation*}
\forall \omega \in \Omega :\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega
\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合には、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、数列\(\left\{ X_{n}\left( \omega \right) \right\} \)の極限に相当する有限な実数\begin{equation*}\left( \lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\right) \left( \omega \right)
=\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega \right)
\end{equation*}を値として定める写像\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能ですが、これは確率変数になることが保証されます。

拡大実数値確率変数列の上極限は拡大実数値確率変数

標本空間と事象空間からなる可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて、標本空間\(\Omega \)を定義域として共有する拡大実数値確率変数列\begin{equation*}\left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、この確率変数列の一般項は\(\Omega \)上に定義された拡大実数値確率変数\begin{equation*}X_{n}:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}です。

標本点\(\omega \in \Omega \)を選んで固定します。番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\(n\)番目以降の拡大実数値確率変数\(X_{n},X_{n+1},\cdots \)の実現値からなる集合\begin{equation*}\left\{ X_{n}\left( \omega \right) ,X_{n+1}\left( \omega \right) ,\cdots
\right\}
\end{equation*}が得られます。これは非空な\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合であるため、したがって、その上限\begin{equation*}\sup \left\{ X_{n}\left( \omega \right) ,X_{n+1}\left( \omega \right)
,\cdots \right\}
\end{equation*}が1つの拡大実数値として定まることが保証されます。

それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)について先の上限を特定することにより、拡大実数列\begin{gather*}\sup \left\{ X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left( \omega \right) ,\cdots
\right\} \\
\sup \left\{ X_{2}\left( \omega \right) ,X_{3}\left( \omega \right) ,\cdots
\right\} \\
\vdots
\end{gather*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ \sup \left\{ X_{n}\left( \omega \right) ,X_{n+1}\left( \omega
\right) ,\cdots \right\} \right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が得られるため、その極限\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup \left\{ X_{n}\left( \omega \right)
,X_{n+1}\left( \omega \right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。これは1つの拡大実数として定まることに注意してください。これを標本点\(\omega \in \Omega \)のもとでの拡大実数列確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の実現値からなる拡大実数列\(\left\{ X_{n}\left( \omega \right) \right\}_{n\in \mathbb{N} }\)の上極限（limit superior）と呼び、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\sup X_{n}\left( \omega \right)
=\lim_{n\rightarrow \infty }\sup \left\{ X_{n}\left( \omega \right)
,X_{n+1}\left( \omega \right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}で表記します。

このような事情を踏まえると、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、拡大実数列\(\left\{ X_{n}\left(\omega \right) \right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の上極限\begin{eqnarray*}\left( \lim_{n\rightarrow \infty }\sup X_{n}\right) \left( \omega \right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\sup X_{n}\left( \omega \right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\sup \left\{ X_{n}\left( \omega \right)
,X_{n+1}\left( \omega \right) ,\cdots \right\}
\end{eqnarray*}を値として定める写像\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sup X_{n}:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できます。これをもとの拡大実数列確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\}_{n\in \mathbb{N} }\)の上極限（limit superior）と呼びますが、これもまた拡大実数列確率変数になることが保証されます。証明は先の命題と同様です。

拡大実数値確率変数列の下極限は拡大実数値確率変数

標本空間と事象空間からなる可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて、標本空間\(\Omega \)を定義域として共有する拡大実数値確率変数列\begin{equation*}\left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、この確率変数列の一般項は\(\Omega \)上に定義された拡大実数値確率変数\begin{equation*}X_{n}:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}です。

標本点\(\omega \in \Omega \)を選んで固定します。番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\(n\)番目以降の拡大実数値確率変数\(X_{n},X_{n+1},\cdots \)の実現値からなる集合\begin{equation*}\left\{ X_{n}\left( \omega \right) ,X_{n+1}\left( \omega \right) ,\cdots
\right\}
\end{equation*}が得られます。これは非空な\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合であるため、したがって、その下限\begin{equation*}\inf \left\{ X_{n}\left( \omega \right) ,X_{n+1}\left( \omega \right)
,\cdots \right\}
\end{equation*}が1つの拡大実数値として定まることが保証されます。

それぞれの番号\(n\in \mathbb{N} \)について先の下限を特定することにより、拡大実数列\begin{gather*}\inf \left\{ X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left( \omega \right) ,\cdots
\right\} \\
\inf \left\{ X_{2}\left( \omega \right) ,X_{3}\left( \omega \right) ,\cdots
\right\} \\
\vdots
\end{gather*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ \inf \left\{ X_{n}\left( \omega \right) ,X_{n+1}\left( \omega
\right) ,\cdots \right\} \right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が得られるため、その極限\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \left\{ X_{n}\left( \omega \right)
,X_{n+1}\left( \omega \right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。これは1つの拡大実数として定まることに注意してください。これを標本点\(\omega \in \Omega \)のもとでの拡大実数列確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の実現値からなる拡大実数列\(\left\{ X_{n}\left( \omega \right) \right\}_{n\in \mathbb{N} }\)の下極限（limit inferior）と呼び、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\inf X_{n}\left( \omega \right)
=\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \left\{ X_{n}\left( \omega \right)
,X_{n+1}\left( \omega \right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}で表記します。

このような事情を踏まえると、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、拡大実数列\(\left\{ X_{n}\left(\omega \right) \right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の下極限\begin{eqnarray*}\left( \lim_{n\rightarrow \infty }\inf X_{n}\right) \left( \omega \right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\inf X_{n}\left( \omega \right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\inf \left\{ X_{n}\left( \omega \right)
,X_{n+1}\left( \omega \right) ,\cdots \right\}
\end{eqnarray*}を値として定める写像\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\inf X_{n}:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できます。これをもとの拡大実数列確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\}_{n\in \mathbb{N} }\)の下極限（limit inferior）と呼びますが、これもまた拡大実数列確率変数になることが保証されます。証明は先の命題と同様です。

拡大実数値確率変数列の極限は拡大実数値確率変数

標本空間と事象空間からなる可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて、標本空間\(\Omega \)を定義域として共有する拡大実数値確率変数列\begin{equation*}\left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、この確率変数列の一般項は\(\Omega \)上に定義された拡大実数値確率変数\begin{equation*}X_{n}:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}です。

標本点\(\omega \in \Omega \)を選んで固定すれば、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の要素である個々の確率変数の実現値からなる拡大実数列\begin{equation*}X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left( \omega \right) ,\cdots
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ X_{n}\left( \omega \right) \right\} _{n\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が得られます。拡大実数が得られれば何らかの拡大実数へ収束するか検討できます。どの標本点が実現した場合においても、この拡大実数列が何らかの拡大実数へ収束することが保証される場合には、つまり、\begin{equation*}
\forall \omega \in \Omega :\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega
\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ場合には、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、拡大実数列\(\left\{ X_{n}\left( \omega \right) \right\} \)の極限に相当する拡大実数\begin{equation*}\left( \lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\right) \left( \omega \right)
=\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}\left( \omega \right)
\end{equation*}を値として定める写像\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n}:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能ですが、これは拡大実数値確率変数になることが保証されます。証明は先の命題と同様です。