多変数のベクトル値関数と多変数関数の合成関数の偏微分
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の値域が多変数の実数値関数\(g:\mathbb{R} ^{m}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には、それぞれのベクトル\(x\in X\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right)
=g\left( f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) ,\cdots ,f_{m}\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \right)
\end{equation*}を値として定める合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)の成分関数です。以上を踏まえた上で、合成関数\(g\circ f\)を構成する関数\(f,g\)に関して以下の2つの条件が成り立つものとします。
1つ目の条件は、多変数のベクトル値関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であるということです。つまり、関数\(f\)は点\(a\)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに、そこでの変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数\begin{equation*}\frac{\partial f\left( a\right) }{\partial x_{k}}=\left. \frac{\partial
f\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert _{x=a}
\end{equation*}が\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルとして定まるということです。
多変数のベクトル値関数\(f\)が先の点\(a\)に対して定める値\(f\left( a\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルですが、合成関数の定義より、この点\(f\left( a\right) \)は多変数関数\(g\)の定義域\(Y\)上の点です。そこで、2つ目の条件として、関数\(g\)は点\(f\left( a\right) \)において全微分可能であるものとします。ただし、全微分係数が存在する場合には勾配ベクトルと一致するため、以上の仮定は、関数\(g\)が点\(f\left( a\right) \)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに、そこでの勾配ベクトル\begin{equation*}\nabla g\left( f\left( a\right) \right) =\left. \nabla g\left( x\right)
\right\vert _{x=f\left( a\right) }
\end{equation*}が\(\mathbb{R} ^{n}\)上のベクトルとして定まるということです。
以上の条件が満たされる場合には、合成関数\(g\circ f\)もまた点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることが保証されるとともに、そこでの変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数が、\begin{eqnarray*}\frac{\partial \left( g\circ f\right) \left( a\right) }{\partial x_{k}}
&=&\nabla g\left( f\left( a\right) \right) \cdot \frac{\partial f\left(
a\right) }{\partial x_{k}} \\
&=&\left. \nabla g\left( x\right) \right\vert _{x=f\left( a\right) }\cdot
\left. \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert _{x=a}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \left( g\circ f\right) \left( a\right) }{\partial x_{k}}
&=&\left( \frac{\partial g\left( f_{1}\left( a\right) ,\cdots ,f_{m}\left(
a\right) \right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial g\left(
f_{1}\left( a\right) ,\cdots ,f_{m}\left( a\right) \right) }{\partial x_{m}}\right) \cdot \left( \frac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial x_{k}},\cdots ,\frac{\partial f_{m}\left( a\right) }{\partial x_{k}}\right) \\
&=&\frac{\partial g\left( f_{1}\left( a\right) ,\cdots ,f_{m}\left( a\right)
\right) }{\partial x_{1}}\cdot \frac{\partial f_{1}\left( a\right) }{\partial x_{k}}+\cdots +\frac{\partial g\left( f_{1}\left( a\right) ,\cdots
,f_{m}\left( a\right) \right) }{\partial x_{m}}\cdot \frac{\partial
f_{m}\left( a\right) }{\partial x_{k}} \\
&=&\sum_{i=1}^{m}\left( \frac{\partial g\left( f_{1}\left( a\right) ,\cdots
,f_{m}\left( a\right) \right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{\partial
f_{i}\left( a\right) }{\partial x_{k}}\right) \\
&=&\sum_{i=1}^{m}\left( \left. \frac{\partial g\left( x_{1},\cdots
,x_{m}\right) }{\partial x_{i}}\right\vert _{\left( x_{1},\cdots
,x_{m}\right) =\left( f_{1}\left( a\right) ,\cdots ,f_{m}\left( a\right)
\right) }\cdot \left. \frac{\partial f_{i}\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right\vert _{x=a}\right)
\end{eqnarray*}という有限な実数として定まることが保証されます。
&=&\nabla g\left( f\left( a\right) \right) \cdot \frac{\partial f\left(
a\right) }{\partial x_{k}} \\
&=&\left. \nabla g\left( x\right) \right\vert _{x=f\left( a\right) }\cdot
\left. \frac{\partial }{\partial x_{k}}f\left( x\right) \right\vert _{x=a}
\end{eqnarray*}となる。
つまり、点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能な多変数のベクトル値関数\(f\)と、点\(f\left( a\right) \)において全微分可能な多変数関数\(g\)の合成関数であるような多変数関数\(g\circ f\)が与えられたとき、\(g\circ f\)もまた点\(a\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であることが保証されるとともに、\(f\)の点\(a\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数\(f_{x_{k}}^{\prime }\left( a\right) \)と、\(g\)の点\(f\left( a\right) \)における勾配ベクトル\(\nabla g\left( f\left( a\right) \right) \)の内積をとれば、\(g\circ f\)の点\(a\)における変数\(x_{k}\)に関する偏微分係数\(\left(g\circ f\right) _{x_{k}}^{\prime }\left( a\right) \)が得られることを上の命題は保証しています。
&=&\nabla g\left( f\left( x\right) \right) \cdot \frac{\partial }{\partial
x_{k}}f\left( x\right) \\
&=&\left. \nabla g\left( y\right) \right\vert _{y=f\left( x\right) }\cdot
\frac{\partial }{\partial x_{k}}f\left( x\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial \left( g\circ f\right) \left( x\right) }{\partial x_{k}}
&=&\left( \frac{\partial g\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left(
x\right) \right) }{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial g\left(
f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left( x\right) \right) }{\partial x_{m}}\right) \cdot \left( \frac{\partial f_{1}\left( x\right) }{\partial x_{k}},\cdots ,\frac{\partial f_{m}\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right) \\
&=&\frac{\partial g\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left( x\right)
\right) }{\partial x_{1}}\cdot \frac{\partial f_{1}\left( x\right) }{\partial x_{k}}+\cdots +\frac{\partial g\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots
,f_{m}\left( x\right) \right) }{\partial x_{m}}\cdot \frac{\partial
f_{m}\left( x\right) }{\partial x_{k}} \\
&=&\sum_{i=1}^{m}\left( \frac{\partial g\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots
,f_{m}\left( x\right) \right) }{\partial x_{i}}\cdot \frac{\partial
f_{i}\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right) \\
&=&\sum_{i=1}^{m}\left( \left. \frac{\partial g\left( y_{1},\cdots
,y_{m}\right) }{\partial y_{i}}\right\vert _{\left( y_{1},\cdots
,y_{m}\right) =\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left( x\right)
\right) }\cdot \frac{\partial f_{i}\left( x\right) }{\partial x_{k}}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。これを連鎖公式（chain rule）と呼びます。
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で変数\(x\)に関して偏微分可能であり、\(g\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で全微分可能であるため、先の命題より合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で変数\(x\)に関して偏微分可能であり、変数\(x\)に関する偏導関数\(\frac{\partial \left( g\circ f\right) }{\partial x}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{\partial \left( g\circ f\right) \left( x,y\right) }{\partial x}
&=&\nabla g\left( f\left( x,y\right) \right) \cdot \frac{\partial f\left(
x,y\right) }{\partial x}\because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \nabla g\left( v,w\right) \right\vert _{\left( v,w\right) =f\left(
x,y\right) }\cdot \frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x} \\
&=&\left. \left( \frac{\partial }{\partial v}vw,\frac{\partial }{\partial w}vw\right) \right\vert _{\left( v,w\right) =\left( x+y,x-y\right) }\cdot
\left( \frac{d}{dx}\left( x+y\right) ,\frac{d}{dx}\left( x-y\right) \right)
\quad \because f,g\text{の定義} \\
&=&\left. \left( w,v\right) \right\vert _{\left( v,w\right) =\left(
x+y,x-y\right) }\cdot \left( 1,1\right) \\
&=&\left( x-y,x+y\right) \cdot \left( 1,1\right) \\
&=&\left( x-y\right) +\left( x+y\right) \\
&=&2x
\end{eqnarray*}を定めます。その一方で、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x,y\right) &=&g\left( f\left( x,y\right)
\right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( x+y,x-y\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( x+y\right) \left( x-y\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}定めるため、これを\(x\)について偏微分すると、\begin{eqnarray*}\frac{\partial \left( g\circ f\right) \left( x,y\right) }{\partial x} &=&\frac{\partial }{\partial x}\left( x+y\right) \left( x-y\right) \\
&=&\left( x-y\right) +\left( x+y\right) \\
&=&2x
\end{eqnarray*}となりますが、これは先の結果と整合的です。
多変数のベクトル値関数と多変数関数の合成関数の勾配ベクトル
先の命題より、勾配ベクトルに関する以下の命題が得られます。
\begin{array}{c}
\nabla g\left( f\left( a\right) \right) \cdot \frac{\partial f\left(
a\right) }{\partial x_{1}} \\
\vdots \\
\nabla g\left( f\left( a\right) \right) \cdot \frac{\partial f\left(
a\right) }{\partial x_{n}}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left. \nabla g\left( x\right) \right\vert _{x=f\left( a\right) }\cdot
\left. \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{1}}\right\vert _{x=a}
\\
\vdots \\
\left. \nabla g\left( x\right) \right\vert _{x=f\left( a\right) }\cdot
\left. \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{n}}\right\vert _{x=a}\end{array}\right)
\end{equation*}となる。
\begin{array}{c}
\nabla g\left( f\left( x\right) \right) \cdot \frac{\partial f\left(
x\right) }{\partial x_{1}} \\
\vdots \\
\nabla g\left( f\left( x\right) \right) \cdot \frac{\partial f\left(
x\right) }{\partial x_{n}}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left. \nabla g\left( y\right) \right\vert _{y=f\left( x\right) }\cdot \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{1}} \\
\vdots \\
\left. \nabla g\left( y\right) \right\vert _{y=f\left( x\right) }\cdot \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial x_{n}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めます。これが勾配ベクトルに関する連鎖公式です。
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で偏微分可能であり、\(g\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で全微分可能であるため、先の命題より合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で偏微分可能であり、勾配ベクトル場\(\nabla \left( g\circ f\right) :\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\nabla \left( g\circ f\right) \left( x,y\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\nabla g\left( f\left( x,y\right) \right) \cdot \frac{\partial f\left(
x,y\right) }{\partial x} \\
\nabla g\left( f\left( x,y\right) \right) \cdot \frac{\partial f\left(
x,y\right) }{\partial y}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left. \nabla g\left( v,w\right) \right\vert _{\left( v,w\right) =f\left(
x,y\right) }\cdot \frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial x} \\
\left. \nabla g\left( v,w\right) \right\vert _{\left( v,w\right) =f\left(
x,y\right) }\cdot \frac{\partial f\left( x,y\right) }{\partial y}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left. \left( \frac{\partial }{\partial v}vw,\frac{\partial }{\partial w}vw\right) \right\vert _{\left( v,w\right) =\left( x+y,x-y\right) }\cdot
\left( \frac{d}{dx}\left( x+y\right) ,\frac{d}{dx}\left( x-y\right) \right)
\\
\left. \left( \frac{\partial }{\partial v}vw,\frac{\partial }{\partial w}vw\right) \right\vert _{\left( v,w\right) =\left( x+y,x-y\right) }\cdot
\left( \frac{d}{dy}\left( x+y\right) ,\frac{d}{dy}\left( x-y\right) \right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left. \left( w,v\right) \right\vert _{\left( v,w\right) =\left(
x+y,x-y\right) }\cdot \left( 1,1\right) \\
\left. \left( w,v\right) \right\vert _{\left( v,w\right) =\left(
x+y,x-y\right) }\cdot \left( 1,-1\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left( x-y,x+y\right) \cdot \left( 1,1\right) \\
\left( x-y,x+y\right) \cdot \left( 1,-1\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left( x-y\right) +\left( x+y\right) \\
\left( x-y\right) -\left( x+y\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2x \\
-2y\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。その一方で、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x,y\right) &=&g\left( f\left( x,y\right)
\right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( x+y,x-y\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( x+y\right) \left( x-y\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}定めるため、これを偏微分すると、\begin{eqnarray*}
\nabla \left( g\circ f\right) \left( x,y\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{\partial }{\partial x}\left( x+y\right) \left( x-y\right) \\
\frac{\partial }{\partial y}\left( x+y\right) \left( x-y\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\left( x-y\right) +\left( x+y\right) \\
\left( x-y\right) -\left( x+y\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2x \\
-2y\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは先の結果と整合的です。
演習問題
\end{equation*}として記述されているものとします。ただし、ベクトル\(f\left( x,y\right) \)の向きは力が作用する方向に、\(f\left( x,y\right) \)の長さは力の大きさにそれぞれ対応しています。関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、そのノルム\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数の偏微分公式（連鎖公式）を用いる方法と、合成関数\(g\circ f\)を特定してから偏微分をとる方法のそれぞれについて、勾配ベクトル場\(\nabla \left( g\circ f\right) \)求めた上で、結果が一致することを確認してください。
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