非分割財の分配問題における非介入的メカニズム

非介入的メカニズム

非分割財の分配問題が環境\begin{equation*}
\left( I,H,\left\{ \succsim _{i}\right\} _{i\in I},A,\left\{ \succsim
_{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \right\} _{i\in I}\right)
\end{equation*}として表現されているものとします。ただし、\(I\)はプレイヤー集合、\(H\)は商品集合、\(\succsim _{i}\)はプレイヤー\(i\)が商品どうしを比較する選好関係、\(A\)は配分集合、\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)はプレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好関係です。特に、任意のプレイヤー\(i\in I\)に関して非外部性と私的価値を仮定する（私的価値モデル）場合には、任意の2つの配分\(a_{I},a_{I}^{\prime }\in A\)に対して以下の関係\begin{equation*}a_{I}\succsim _{i}^{A}[\succsim _{I}]\ a_{I}^{\prime }\Leftrightarrow
a_{i}\succsim _{i}a_{i}^{\prime }
\end{equation*}が成り立つため、プレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好\(\succsim_{i}^{A}[\succsim _{I}]\)について考えるかわりに、プレイヤー\(i\)が商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)について考えても一般性は失われません。

非分割財の分配問題におけるメカニズム\(\phi \)が何らかの純粋戦略の組を均衡として遂行可能であるものとします。ただし、表明原理より、正直戦略の組が均衡になるケース、すなわち誘因両立的なメカニズムに対象を限定しても一般性は失われません。市場の状態が\(\succsim _{I}\)である場合、誘因両立的なメカニズム\(\phi \)のもとではエージェントたちは正直戦略にもとづいて\(\succsim _{I}\)を申告し、その申告に対してメカニズムは配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)を定めます。一方、エージェント\(i\)だけが正直戦略から逸脱して選好\(\hat{\succsim}_{i}\)を表明した場合、それに対してメカニズムは配分\(\phi \left( \hat{\succsim}_{i},\succsim _{-i}\right) \)を定めます。その上で、以下の条件\begin{equation*}\phi \left( \succsim _{I}\right) \not=\phi \left( \hat{\succsim}_{i},\succsim _{-i}\right) \Rightarrow \phi _{i}\left( \succsim _{I}\right)
\not=\phi _{i}\left( \hat{\succsim}_{i},\succsim _{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つ状況を想定します。つまり、エージェント\(i\)だけが正直戦略から逸脱した場合に全体の配分が変化する場合には、エージェント\(i\)が得る財もまた変化してしまうということです。このような状況が必ず成立する場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in I,\ \forall \succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I},\ \forall \hat{\succsim}_{i}\in \mathcal{R}_{i}:\left[ \phi \left( \succsim _{I}\right)
\not=\phi \left( \hat{\succsim}_{i},\succsim _{-i}\right) \Rightarrow \phi
_{i}\left( \succsim _{I}\right) \not=\phi _{i}\left( \hat{\succsim}_{i},\succsim _{-i}\right) \right] \end{equation*}が成り立つ場合には、このようなメカニズム\(\phi \)は非介入性（non-bossiness）を満たすと言います。つまり、メカニズム\(\phi \)が非介入性を満たす場合には、全体の配分を変化させるためにエージェントが偽りの選好を表明すると、そのエージェントに割り当てられる商品もまた必ず変化してしまいます。言い換えると、それぞれのエージェントは、自身が得る商品に影響を与えずに全体の配分に影響を与えることはできないということです。先の命題の対偶をとると、\begin{equation*}\forall i\in I,\ \forall \succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I},\ \forall \hat{\succsim}_{i}\in \mathcal{R}_{i}:\left[ \phi _{i}\left( \succsim _{I}\right)
=\phi _{i}\left( \hat{\succsim}_{i},\succsim _{-i}\right) \Rightarrow \phi
\left( \succsim _{I}\right) =\phi \left( \hat{\succsim}_{i},\succsim
_{-i}\right) \right] \end{equation*}を得ます。つまり、メカニズム\(\phi \)が非介入性を満たすこととは、エージェントが偽りの選好を表明しても自身が得る商品が変化しない場合には、他のエージェントたちが得る商品もまた変化しないことを意味します。

メカニズム\(\phi \)に均衡が存在することを前提としない場合にはどうなるでしょうか。この場合、メカニズム\(\phi \)が非介入的であることとは、エージェント\(i\)およびエージェントたちが申告する選好プロファイル\(\hat{\succsim}_{I}\)および\(\hat{\succsim}_{i}\)と一致するとは限らないエージェントの選好\(\succsim _{i}^{\prime }\)をそれぞれ任意に与えられた状況において、エージェント\(i\)だけが\(\hat{\succsim}_{i}\)から逸脱して\(\succsim _{i}^{\prime }\)を申告した場合に全体の配分が変化する場合には、エージェント\(i\)が得る財もまた変化してしまうこと、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in I,\ \forall \hat{\succsim}_{I}\in \mathcal{R}_{I},\ \forall
\succsim _{i}^{\prime }\in \mathcal{R}_{i}:\left[ \phi \left( \hat{\succsim}_{I}\right) \not=\phi \left( \succsim _{i}^{\prime },\hat{\succsim}_{-i}\right) \Rightarrow \phi _{i}\left( \hat{\succsim}_{I}\right) \not=\phi
_{i}\left( \succsim _{i}^{\prime },\hat{\succsim}_{-i}\right) \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。これは誘因両立的なメカニズム\(\phi \)が非介入的であるための条件と実質的に等しいです。

介入的メカニズム

メカニズム\(\phi \)が非介入性を満たさない場合にはどのような問題が生じるのでしょうか。メカニズム\(\phi \)が非介入性を満たさない場合には、先の命題の否定である、\begin{equation*}\exists i\in I,\ \exists \succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I},\ \exists \hat{\succsim}_{i}\in \mathcal{R}_{i}:\left[ \phi \left( \succsim _{I}\right)
=\phi \left( \hat{\succsim}_{i},\succsim _{-i}\right) \vee \phi _{i}\left(
\succsim _{I}\right) \not=\phi _{i}\left( \hat{\succsim}_{i},\succsim
_{-i}\right) \right] \end{equation*}が成り立ちます。このようなメカニズム\(\phi \)は介入性（bossiness）を満たすと言います。このとき、\begin{equation*}\exists i\in I,\ \exists \succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I},\ \exists \hat{\succsim}_{i}\in \mathcal{R}_{i}:\left[ \phi _{i}\left( \succsim _{I}\right)
=\phi _{i}\left( \hat{\succsim}_{i},\succsim _{-i}\right) \Rightarrow \phi
\left( \succsim _{I}\right) \not=\phi \left( \hat{\succsim}_{i},\succsim
_{-i}\right) \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists i\in I,\ \exists \succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I},\ \exists \hat{\succsim}_{i}\in \mathcal{R}_{i}:\left\{ \phi _{i}\left( \succsim
_{I}\right) =\phi _{i}\left( \hat{\succsim}_{i},\succsim _{-i}\right)
\Rightarrow \left[ \exists j\in I\backslash \left\{ i\right\} :\phi
_{j}\left( \succsim _{I}\right) \not=\phi _{j}\left( \hat{\succsim}_{i},\succsim _{-i}\right) \right] \right\}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、あるエージェント\(i\)がある状態\(\succsim _{I}\)において正直戦略から逸脱してある選好\(\hat{\succsim}_{i}\)を表明してもなお自身に割り当てられる商品は変化しないにも関わらず、他の少なくとも1人のエージェントに割り当てられる商品は変化してしまいます。エージェント\(i\)が自分の申告を変えても自分の割り当ては変わらないのに、別のエージェント\(j\)の割り当てだけが不利に変えられてしまう可能性があるということです。メカニズムが介入的である場合、このような嫌がらせが可能になってしまいます。

演習問題