シリアル・ディクテーターシップの公理化

SDメカニズムの性質

非分割財の分配問題が環境\begin{equation*}
\left( I,H,\left\{ \succsim _{i}\right\} _{i\in I},A,\left\{ \succsim
_{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \right\} _{i\in I}\right)
\end{equation*}として表現されているものとします。ただし、\(I\)はプレイヤー集合、\(H\)は商品集合、\(\succsim _{i}\)はプレイヤー\(i\)が商品どうしを比較する選好関係、\(A\)は配分集合、\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)はプレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好関係です。特に、任意のプレイヤー\(i\in I\)に関して非外部性と私的価値を仮定する（私的価値モデル）場合には、任意の2つの配分\(a_{I},a_{I}^{\prime }\in A\)に対して以下の関係\begin{equation*}a_{I}\succsim _{i}^{A}[\succsim _{I}]\ a_{I}^{\prime }\Leftrightarrow
a_{i}\succsim _{i}a_{i}^{\prime }
\end{equation*}が成り立つため、プレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好\(\succsim_{i}^{A}[\succsim _{I}]\)について考えるかわりに、プレイヤー\(i\)が商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)について考えても一般性は失われません。

非分割財の分配問題におけるメカニズムとは、エージェントたちが申告する選好からなる組\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)に対して、何らかの配分\begin{equation*}\phi \left( \succsim _{I}\right) =\left( \phi _{i}\left( \succsim
_{I}\right) \right) _{i\in I}\in A
\end{equation*}を1つずつ選ぶ写像\begin{equation*}
\phi :\mathcal{R}_{I}\rightarrow A
\end{equation*}として定式化されます。メカニズムを設計することとは、この写像\(\phi \)の具体的な形状を定めることを意味します。非分割財の分配問題における代表的なメカニズムとしてシリアル・ディクテーターシップ（SDメカニズム）について解説しましたが、以下で簡単に復習します。

SDメカニズムについて分析する際には、多くの場合、私的価値モデルを分析対象にします。つまり、エージェントの選好について非外部性と私的価値の仮定を置くということです。この場合、任意のエージェント\(i\in I\)と任意の配分\(a_{I},a_{I}^{\prime }\in A\)に対して以下の関係\begin{equation*}a_{I}\succsim _{i}^{A}[\succsim _{I}]\ a_{I}^{\prime }\Leftrightarrow
a_{i}\succsim _{i}a_{i}^{\prime }
\end{equation*}が成り立つため、エージェント\(i\)が配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}[\succsim _{I}]\)について考えるかわりに、エージェント\(i\)が商品どうしを比較する選好\(\succsim_{i}\)について考えても一般性は失われません。さらに、それぞれのエージェント\(i\)が商品どうしを比較する\(\succsim _{i}\)が完備性、推移性、さらに狭義選好の仮定を満たすものとします。この場合、エージェント\(i\)は商品集合\(H\)の要素であるすべての商品を狭義選好\(\succ _{i}\)だけを用いて一列に並べることができます。つまり、すべての商品を最も望ましいものから最も望ましくないものまで順番に並べることができ、なおかつ、その中に同じ程度望ましい複数の商品は存在しないことを仮定するということです。

SDメカニズムとは、エージェントたちに優先順位を割り当てた上で、その順位にしたがってエージェントたちに、それぞれの時点において残されている商品の中から最も望ましい商品を1つずつ割り当てるメカニズムです。

エージェント集合\(I\)に属するエージェントたちに割り当てる優先順位を全単射\begin{equation*}f:\left\{ 1,\cdots ,\left\vert I\right\vert \right\} \rightarrow I
\end{equation*}として表現します。つまり、\(I\)に属するエージェントの中でも、優先順位が\(m\in \left\{ 1,\cdots,\left\vert I\right\vert \right\} \)であるようなエージェントは、\begin{equation*}f\left( m\right) \in I
\end{equation*}であるということです。このような優先順位をすべて集めることにより得られる集合を、\begin{equation*}
\mathcal{F}
\end{equation*}で表記します。\(f\in \mathcal{F}\)です。特に、\(\left\vert I\right\vert =n\)である場合、すなわち\(n\)人のエージェントが存在する場合には、エージェントたちに順位を割り当てるパターンは全部で\(n!\)通り存在するため、\begin{equation*}\left\vert \mathcal{F}\right\vert =n!
\end{equation*}が成り立ちます。

何らかの優先順位\(f\in \mathcal{F}\)に選んだとき、この\(f\)にもとづくSDメカニズムを、\begin{equation*}\phi ^{f}:\mathcal{R}_{I}\rightarrow A
\end{equation*}で表記するものと定めます。このメカニズム\(\phi ^{f}\)を以下のように定義します。

1. 【ステップ\(1\)】エージェントたちが申告する選好の組が\(\succsim_{I}=\left( \succsim _{i}\right) _{i\in I}\)であるものとする。また、初期時点の商品集合を\(H_{1}=H\)で表記する。順位\(1\)のエージェント\(f\left( 1\right)\in I\)について、その人が申告した選好\(\succsim _{f\left(1\right) }\)のもとで、商品集合\(H_{1}\)に属する商品の中で最も望ましい商品が\(h\)であるならば、エージェント\(f\left( 1\right) \)に商品\(h\)を与える。残された商品からなる集合を\(H_{2}\)で表記する。
2. 【ステップ\(2\)】順位\(2\)のエージェント\(f\left( 2\right)\in I\)について、その人が申告した選好\(\succsim _{f\left(2\right) }\)のもとで、商品集合\(H_{2}\)に属する商品の中で最も望ましい商品が\(h\)であるならば、エージェント\(f\left( 2\right) \)に商品\(h\)を与える。残された商品からなる集合を\(H_{3}\)で表記する。
3. 【ステップ\(k\)】以上のプロセスを繰り返す。各ステップ\(k\)の内容は以下のように一般化される。まず、ステップ\(k\)の冒頭に残っている商品からなる集合が\(H_{k}\)であるものとする。順位\(k\)のエージェント\(f\left( k\right) \in I\)について、その人が申告した選好\(\succsim _{f\left( k\right) }\)のもとで、商品集合\(H_{k}\)に属する商品の中で最も望ましい商品が\(h\)であるならば、エージェント\(f\left( k\right) \)に商品\(h\)を与える。残された商品からなる集合を\(H_{k+1}\)で表記する。\(H_{k+1}\not=\phi \)ならば次のステップへ進み、\(H_{k+1}=\phi \)ならばプロセスを終了する。
4. プロセスの終了後、それぞれのエージェント\(i\in I\)には商品が1つずつ与えられているため、それを\(\phi _{i}^{f}\left(\succsim _{I}\right) \)と定める。その結果、SDメカニズム\(\phi ^{f}\)が定める配分\(\phi ^{f}\left(\succsim _{I}\right) \)が得られる。

一定の条件のもとでは、SDメカニズムは以下のような望ましい性質を備えることを示しました。

SDメカニズムの公理化

SDメカニズムは耐戦略性、耐共謀性、狭義事後効率性、非介入性、中立性を満たすことが明らかになりました。逆に、メカニズムがこの中の耐戦略性、非介入性、中立性を満たす場合、そのメカニズムはSDメカニズムにならざるを得ません。つまり、そのメカニズムはSDメカニズムと一致する、もしくはSDメカニズムが出力する配分と同一の配分を常に出力します。

まずは以下の補題を示します。

以上の補題を踏まえた上で以下を示します。

以上より、メカニズムがSDメカニズムであることと、そのメカニズムが耐戦略性、非介入性、中立性を満たすことが必要十分であることが明らかになりました。

商品数がエージェント数を上回る場合

これまではエージェントの人数と商品の個数が一致するケース、すなわち、\begin{equation*}
\left\vert I\right\vert =\left\vert H\right\vert
\end{equation*}が成り立つ状況を想定しましたが、商品の個数がエージェントの人数よりも多いケース、すなわち、\begin{equation*}
\left\vert I\right\vert <\left\vert H\right\vert
\end{equation*}が成り立つ場合にも同様の主張が成り立ちます。

まずは以下の補題を示します。

以上の命題を踏まえた上で以下を示します。

以上より、商品の個数がエージェントの人数よりも多い場合にも、メカニズムがSDメカニズムであることと、そのメカニズムが耐戦略性、非介入性、中立性を満たすことが必要十分であることが明らかになりました。

中立性の役割

SDメカニズムは耐戦略性、非介入性、中立性という3つの性質によって特徴づけられることが明らかになりました。加えて、SDメカニズムは耐共謀性と狭義事後効率性を満たします。では、中立性を要求しない場合、以上の諸性質の中のいくつかを満たすメカニズムは存在するのでしょうか。

中立性を満たさない一方で、耐戦略性、非介入性、狭義事後効率性を満たすSDメカニズムとは異なるメカニズムの具体例は以下の通りです。

非介入性の役割

SDメカニズムは耐戦略性、非介入性、中立性という3つの性質によって特徴づけられることが明らかになりました。加えて、SDメカニズムは耐共謀性と狭義事後効率性を満たします。では、非介入性を要求しない場合、以上の諸性質の中のいくつかを満たすメカニズムは存在するのでしょうか。

非介入性を満たさない一方で、耐戦略性と中立性を満たすSDメカニズムとは異なるメカニズムの具体例は以下の通りです。

演習問題