非分割財の分配問題における耐共謀メカニズム

耐共謀メカニズム

非分割財の分配問題が環境\begin{equation*}
\left( I,H,\left\{ \succsim _{i}\right\} _{i\in I},A,\left\{ \succsim
_{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \right\} _{i\in I}\right)
\end{equation*}として表現されているものとします。ただし、\(I\)はプレイヤー集合、\(H\)は商品集合、\(\succsim _{i}\)はプレイヤー\(i\)が商品どうしを比較する選好関係、\(A\)は配分集合、\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)はプレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好関係です。特に、任意のプレイヤー\(i\in I\)に関して非外部性と私的価値を仮定する（私的価値モデル）場合には、任意の2つの配分\(a_{I},a_{I}^{\prime }\in A\)に対して以下の関係\begin{equation*}a_{I}\succsim _{i}^{A}[\succsim _{I}]\ a_{I}^{\prime }\Leftrightarrow
a_{i}\succsim _{i}a_{i}^{\prime }
\end{equation*}が成り立つため、プレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好\(\succsim_{i}^{A}[\succsim _{I}]\)について考えるかわりに、プレイヤー\(i\)が商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)について考えても一般性は失われません。

メカニズム\(\phi \)のもとでのベイジアンゲーム\(G\left( \phi \right) \)において、それぞれのエージェント\(i\in I\)の純粋戦略は写像\(s_{i}:\mathcal{R}_{i}\rightarrow \mathcal{R}_{i}\)として定式化されます。この純粋戦略\(s_{i}\)のもとで、エージェント\(i\)は自分のタイプが\(\succsim _{i}\in \mathcal{R}_{i}\)の場合に行動\(s_{i}\left( \succsim _{i}\right) \in \mathcal{R}_{i}\)を選択します。エージェント\(i\)の純粋戦略\(s_{i}\)が正直戦略であることは、以下の条件\begin{equation*}\forall \succsim _{i}\in \mathcal{R}_{i}:s_{i}\left( \succsim _{i}\right)
=\succsim _{i}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、エージェント\(i\)は正直戦略\(s_{i}\)のもとで常に自身のタイプ\(\succsim _{i}\)をそのまま正直に申告するということです。メカニズム\(\phi \)が誘因両立的であることとは、メカニズムのもとでのベイジアンゲーム\(G\left( \phi \right) \)においてすべてのエージェントが正直戦略を選択することが均衡になることを意味します。この場合、それぞれの状態\(\succsim _{I}\)において、エージェントたちが申告する選好からなる組は、\begin{eqnarray*}s_{I}\left( \succsim _{I}\right) &=&\left( s_{i}\left( \succsim _{i}\right)
\right) _{i\in I} \\
&=&\left( \succsim _{i}\right) _{i\in I}\quad \because \text{正直戦略の定義} \\
&=&\succsim _{I}
\end{eqnarray*}となり、これは真の状態と一致するため、結果として、情報の非対称性が解消されます。

メカニズム\(\phi \)が誘因両立的である場合には、それぞれのエージェントは真のタイプとは異なるタイプを申告しても得できません。それでもなお、複数のエージェントが互いに協力して偽りのタイプを申告することにより、彼らが集団として得できる可能性は残されています。逆に、そのような余地さえも存在しない場合には、そのようなメカニズムは耐共謀的（group-strategyproof）であると言います。以降ではメカニズムが耐共謀的であることの意味を定式化します。

事後均衡耐共謀的なメカニズム

メカニズム\(\phi \)のもとでのベイジアンゲーム\(G\left( \phi \right) \)において、提携\(T\subset I\)と、彼らが選択する純粋戦略からなる組\(s_{T}=\left( s_{i}\right) _{i\in I}\)および他のエージェントたちが選択する純粋戦略からなる組\(s_{-T}=\left(s_{i}\right) _{i\in I\backslash T}\)を選びます。状態\(\succsim _{I}=\left( \succsim _{T},\succsim_{-T}\right) \)が与えられたとき、提携\(T\)のメンバーが先の\(s_{T}\)を採用するならば彼らは選好\(s_{T}\left(\succsim _{T}\right) =\left( s_{i}\left( \succsim _{i}\right) \right) _{i\in T}\)を申告し、他のエージェントたちが先の\(s_{-T}\)を採用するならば彼らは選好\(s_{-T}\left( \succsim _{-T}\right)=\left( s_{i}\left( \succsim _{i}\right) \right) _{i\in I\backslash T}\)を申告するため、メカニズム\(\phi \)は以下の配分\begin{equation}\phi \left( s_{T}\left( \succsim _{T}\right) ,s_{-T}\left( \succsim
_{-T}\right) \right) \in A \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。一方、他のエージェントたちがやはり\(s_{-T}\)を採用する一方で、提携\(T\)のメンバーが\(s_{T}\left( \succsim _{T}\right) \)と一致するとは限らない何らかの選好\(\hat{\succsim}_{T}=\left( \hat{\succsim}_{i}\right) _{i\in T}\)を申告する場合、メカニズム\(\phi \)は以下の配分\begin{equation}\phi \left( \hat{\succsim}_{T},s_{-T}\left( \succsim _{-T}\right) \right)
\in A \quad \cdots (2)
\end{equation}を定めます。以上を踏まえた上で、状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)と提携\(T\)のメンバーが申告する選好\(\hat{\succsim}_{T}\in \mathcal{R}_{T}\)をそれぞれ任意に選んだときに、\(\left( 2\right) \)が\(\left( 1\right) \)をパレート支配しないのであれば、すなわち、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T:\phi \left( s_{T}\left( \succsim
_{T}\right) ,s_{-T}\left( \succsim _{-T}\right) \right) \ \succsim _{i}^{A}
\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi \left( \hat{\succsim}_{T},s_{-T}\left(
\succsim _{-T}\right) \right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in T:\phi \left( s_{T}\left( \succsim
_{T}\right) ,s_{-T}\left( \succsim _{-T}\right) \right) \ \succ _{i}^{A}
\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi \left( \hat{\succsim}_{T},s_{-T}\left(
\succsim _{-T}\right) \right)
\end{eqnarray*}の少なくとも一方が成り立つ場合には、提携\(T\)にとって\(s_{T}\)は\(s_{-T}\)に対する提携的事後最適戦略（coalitional ex-post best strategy）であると言います。これは、提携\(T\)にとって、自分たちを含めた全員のタイプ\(\succsim _{I}\)がいかなるものであるかに関わらず、他のエージェントたちが\(s_{-T}\)にしたがって行動する限りにおいて、自分たちは\(s_{T}\)にしたがって行動することで常にパレート最適な結果を実現できることを意味します。逆に、提携\(T\)にとって\(s_{T}\)が提携的事後最適戦略でない場合には、少なくとも1つの状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)および提携\(T\)の選好プロファイル\(\hat{\succsim}_{T}\in \mathcal{R}_{T}\)に対して、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists i\in T:\phi \left( \hat{\succsim}_{T},s_{-T}\left( \succsim _{-T}\right) \right) \ \succ _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ \phi \left( s_{T}\left( \succsim _{T}\right)
,s_{-T}\left( \succsim _{-T}\right) \right) \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:\phi \left( \hat{\succsim}_{T},s_{-T}\left( \succsim _{-T}\right) \right) \ \succsim _{i}^{A}\left[
\succsim _{I}\right] \ \phi \left( s_{T}\left( \succsim _{T}\right)
,s_{-T}\left( \succsim _{-T}\right) \right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。これは、少なくとも1つの状態\(\succsim _{I}\)において、他のエージェントたちが\(s_{-T}\)にしたがう場合には提携\(T\)は\(s_{T}\)にしたがう代わりに\(\hat{\succsim}_{T}\)を申告すれば、提携\(T\)にとってより望ましい結果を自力で達成できることを意味します。

メカニズム\(\phi \)のもとでのベイジアンゲーム\(G\left( \phi \right) \)において、純粋戦略の組\(s_{I}=\left( s_{i}\right)_{i\in I}\)のもとでは任意の提携\(T\subset I\)について\(s_{T}=\left(s_{i}\right) _{i\in T}\)が\(s_{-T}=\left( s_{i}\right) _{i\in I\backslash T}\)に対する提携的事後最適戦略になっているのであれば、すなわち、提携\(T\subset I\)と状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)および提携\(T\)が申告する選好\(\hat{\succsim}_{T}\in \mathcal{R}_{T}\)をそれぞれ任意に選んだときに、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T:\phi \left( s_{T}\left( \succsim
_{T}\right) ,s_{-T}\left( \succsim _{-T}\right) \right) \ \succsim _{i}^{A}
\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi \left( \hat{\succsim}_{T},s_{-T}\left(
\succsim _{-T}\right) \right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in T:\phi \left( s_{T}\left( \succsim
_{T}\right) ,s_{-T}\left( \succsim _{-T}\right) \right) \ \succ _{i}^{A}
\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi \left( \hat{\succsim}_{T},s_{-T}\left(
\succsim _{-T}\right) \right)
\end{eqnarray*}の少なくとも一方が成り立つのであれば、そのような純粋戦略の組\(s_{I}\)を提携的事後均衡（coalitional ex-post equilibrium）と言います。

純粋戦略の組\(s_{I}=\left( s_{i}\right)_{i\in I}\)が正直戦略の組である場合には、\begin{equation*}\forall i\in I,\ \forall \succsim _{i}\in \mathcal{R}_{i}:s_{i}\left(
\succsim _{i}\right) =\succsim _{i}
\end{equation*}が成り立つため、正直戦略の組\(s_{I}\)が提携的事後均衡であることとは、提携\(T\subset I\)と状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)および提携\(T\)が申告する選好\(\hat{\succsim}_{T}\in \mathcal{R}_{T}\)をそれぞれ任意に選んだときに、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T:\phi \left( \succsim _{T},\succsim
_{-T}\right) \ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi \left(
\hat{\succsim}_{T},\succsim _{-T}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in T:\phi \left( \succsim _{T},\succsim
_{-T}\right) \ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi \left( \hat{\succsim}_{T},\succsim _{-T}\right)
\end{eqnarray*}の少なくとも一方が成り立つことを意味します。そこで、以上の条件が成り立つ場合、すなわち、メカニズム\(\phi \)のもとでのベイジアンゲーム\(G\left( \phi \right) \)において正直戦略の組が提携的事後均衡である場合、メカニズム\(\phi \)は事後均衡耐共謀的（group-strategyproof in ex-post equilibrium）であると言います。

メカニズム\(\phi \)が事後均衡耐共謀的である場合、任意の提携は、自身を含めた全員のタイプがいかなるものであるかに関わらず、提携外のエージェントたちが正直戦略にしたがう場合、自分たちが提携の内部で協力して正直戦略から逸脱してもパレート改善できないことを意味します。

事後均衡耐共謀的なメカニズムとは、正直戦略の組が提携的事後均衡になるようなメカニズムであるという意味において、特殊な提携的事後均衡メカニズムです。一方、正直戦略の組であるとは限らない純粋戦略の組を提携的事後均衡として遂行するメカニズムに対して、その均衡結果と同じ結果を遂行する事後均衡耐共謀的メカニズムが存在することを保証できます。これは提携的事後均衡に関する表明原理です。

以上の命題より、事後均衡耐共謀的なメカニズムのもとで遂行可能な配分は、誘因両立的であるとは限らないメカニズムによって提携的事後均衡として遂行される配分の全体を網羅していることが明らかになりました。したがって、提携的事後均衡メカニズムについて考える際には、事後均衡耐共謀的なメカニズムに対象を限定しても一般性は失われません。

耐共謀的なメカニズム

メカニズム\(\phi \)のもとでのベイジアンゲーム\(G\left( \phi \right) \)において、提携\(T\subset I\)と、彼らが選択する純粋戦略からなる組\(s_{T}=\left( s_{i}\right) _{i\in I}\)を選びます。状態\(\succsim _{I}=\left(\succsim _{T},\succsim _{-T}\right) \)が与えられたとき、提携\(T\)のメンバーが先の\(s_{T}\)を採用するならば彼らは選好\(s_{T}\left( \succsim _{T}\right) =\left( s_{i}\left( \succsim_{i}\right) \right) _{i\in T}\)を申告します。その一方で、他のエージェントたちが申告する選好が\(\hat{\succsim}_{-T}=\left( \hat{\succsim}_{i}\right) _{i\in I\backslash T}\)であれば、メカニズム\(\phi \)は以下の配分\begin{equation}\phi \left( s_{T}\left( \succsim _{T}\right) ,\hat{\succsim}_{-T}\right) \in
A \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。一方、他のエージェントたちがやはり\(\hat{\succsim}_{-T}\)を申告する一方で、提携\(T\)のメンバーが\(s_{T}\left( \succsim_{T}\right) \)と一致するとは限らない何らかの選好\(\hat{\succsim}_{T}=\left( \hat{\succsim}_{i}\right) _{i\in T}\)を申告する場合、メカニズム\(\phi \)は以下の配分\begin{equation}\phi \left( \hat{\succsim}_{T},\hat{\succsim}_{-T}\right) \in A \quad \cdots (2)
\end{equation}を定めます。以上を踏まえた上で、状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)と全員が申告する選好\(\hat{\succsim}_{I}\in \mathcal{R}_{I}\)をそれぞれ任意に選んだときに、\(\left( 2\right) \)が\(\left( 1\right) \)をパレート支配しないのであれば、すなわち、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T:\phi \left( s_{T}\left( \succsim
_{T}\right) ,\hat{\succsim}_{-T}\right) \ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim
_{I}\right] \ \phi \left( \hat{\succsim}_{T},\hat{\succsim}_{-T}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in T:\phi \left( s_{T}\left( \succsim
_{T}\right) ,\hat{\succsim}_{-T}\right) \ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi \left( \hat{\succsim}_{T},\hat{\succsim}_{-T}\right)
\end{eqnarray*}の少なくとも一方が成り立つ場合には、提携\(T\)にとって\(s_{T}\)は提携的支配戦略（coalitional dominant strategy）であると言います。これは、提携\(T\)にとって、自分たちを含めた全員のタイプ\(\succsim _{I}\)がいかなるものであるかに関わらず、また、他のエージェントたちが申告する選好\(\hat{\succsim}_{-T}\)に関わらず、自分たちは\(s_{T}\)にしたがって行動することで常にパレート最適な結果を実現できることを意味します。逆に、提携\(T\)にとって\(s_{T}\)が提携的支配戦略でない場合には、少なくとも1つの状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)および選好プロファイル\(\hat{\succsim}_{I}\in \mathcal{R}_{I}\)に対して、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists i\in T:\phi \left( \hat{\succsim}_{T},\hat{\succsim}_{-T}\right) \ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi
\left( s_{T}\left( \succsim _{T}\right) ,\hat{\succsim}_{-T}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:\phi \left( \hat{\succsim}_{T},\hat{\succsim}_{-T}\right) \ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi
\left( s_{T}\left( \succsim _{T}\right) ,\hat{\succsim}_{-T}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。これは、少なくとも1つの状態\(\succsim _{I}\)において、他のエージェントたちが\(\hat{\succsim}_{-T}\)を申告する場合に提携\(T\)は\(s_{T}\)にしたがう代わりに\(\hat{\succsim}_{T}\)を申告すれば、提携\(T\)にとってより望ましい結果を自力で達成できることを意味します。

メカニズム\(\phi \)のもとでのベイジアンゲーム\(G\left( \phi \right) \)において、純粋戦略の組\(s_{I}=\left( s_{i}\right)_{i\in I}\)のもとでは任意の提携\(T\subset I\)について\(s_{T}=\left(s_{i}\right) _{i\in T}\)が提携的支配戦略になっているのであれば、すなわち、提携\(T\subset I\)と状態\(\succsim_{I}\in \mathcal{R}_{I}\)および全員が申告する選好\(\hat{\succsim}_{I}\in \mathcal{R}_{I}\)をそれぞれ任意に選んだときに、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T:\phi \left( s_{T}\left( \succsim
_{T}\right) ,\hat{\succsim}_{-T}\right) \ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim
_{I}\right] \ \phi \left( \hat{\succsim}_{T},\hat{\succsim}_{-T}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in T:\phi \left( s_{T}\left( \succsim
_{T}\right) ,\hat{\succsim}_{-T}\right) \ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi \left( \hat{\succsim}_{T},\hat{\succsim}_{-T}\right)
\end{eqnarray*}の少なくとも一方が成り立つのであれば、そのような純粋戦略の組\(s_{I}\)を提携的支配戦略均衡（coalitional dominant strategy equilibrium）と言います。

純粋戦略の組\(s_{I}=\left( s_{i}\right)_{i\in I}\)が正直戦略の組である場合には、\begin{equation*}\forall i\in I,\ \forall \succsim _{i}\in \mathcal{R}_{i}:s_{i}\left(
\succsim _{i}\right) =\succsim _{i}
\end{equation*}が成り立つため、正直戦略の組\(s_{I}\)が提携的支配戦略均衡であることとは、提携\(T\subset I\)と状態\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)および全員が申告する選好\(\hat{\succsim}_{I}\in \mathcal{R}_{I}\)をそれぞれ任意に選んだときに、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T:\phi \left( \succsim _{T},\hat{\succsim}_{-T}\right) \ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi \left(
\hat{\succsim}_{T},\hat{\succsim}_{-T}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in T:\phi \left( \succsim _{T},\hat{\succsim}_{-T}\right) \ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi \left( \hat{\succsim}_{T},\hat{\succsim}_{-T}\right)
\end{eqnarray*}の少なくとも一方が成り立つことを意味します。そこで、以上の条件が成り立つ場合、すなわち、メカニズム\(\phi \)のもとでのベイジアンゲーム\(G\left( \phi \right) \)において正直戦略の組が提携的支配戦略均衡になる場合、メカニズム\(\phi \)は耐共謀的（group-strategyproof）であると言います。

メカニズム\(\phi \)が耐共謀的である場合、任意の提携は、自身を含めた全員のタイプがいかなるものであるかに関わらず、また他のエージェントたちが申告する選好に関わらず、提携の内部で協力して正直戦略から逸脱してもパレート改善できないことを意味します。

耐共謀的なメカニズムとは、正直戦略の組が提携的支配戦略均衡になるようなメカニズムであるという意味において、特殊な提携的支配戦略均衡メカニズムです。一方、正直戦略の組であるとは限らない純粋戦略の組を提携的支配戦略均衡として遂行するメカニズムに対して、その均衡結果と同じ結果を遂行する耐共謀的メカニズムが存在することを保証できます。これは提携的支配戦略均衡に関する表明原理です。

以上の命題より、耐共謀的なメカニズムのもとで遂行可能な配分は、誘因両立的であるとは限らないメカニズムによって提携的支配戦略均衡として遂行される配分の全体を網羅していることが明らかになりました。したがって、提携的支配戦略均衡メカニズムについて考える際には、耐共謀的なメカニズムに対象を限定しても一般性は失われません。

耐共謀性と事後均衡耐共謀性の関係

耐共謀的なメカニズムは事後均衡耐共謀的です。

先の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、事後均衡耐共謀的なメカニズムは耐共謀的であるとは限りません。ただ、私的価値モデルにおいては事後均衡耐共謀的なメカニズムは耐共謀的でもあります。

以上の2つの命題より、私的価値モデルにおいては、メカニズムの耐共謀性と事後均衡耐共謀性は必要十分であることが明らかになりました。

演習問題