確認テスト I（非分割財の分配問題）

非分割財の分配問題において、エージェント集合が、\begin{equation*}
I=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}であり、商品集合が、\begin{equation*}
H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\}
\end{equation*}であるものとします。選好プロファイル\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)が、\begin{eqnarray*}h_{2} &\succ &_{1}h_{3}\succ _{1}h_{4}\succ _{1}h_{1} \\
h_{1} &\succ &_{2}h_{2}\succ _{2}h_{3}\succ _{2}h_{4} \\
h_{1} &\succ &_{3}h_{3}\succ _{3}h_{4}\succ _{3}h_{2} \\
h_{1} &\succ &_{4}h_{4}\succ _{4}h_{2}\succ _{4}h_{3}
\end{eqnarray*}を満たすものとします。私的価値モデルを想定します。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. 以下の配分\begin{eqnarray*}a_{I} &=&\left( a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right) \\
   &=&\left( h_{4},h_{1},h_{3},h_{2}\right)
   \end{eqnarray*}は\(\succsim _{I}\)のもとで狭義パレート効率的でしょうか。議論してください。
2. 以下の配分\begin{eqnarray*}a_{I}^{\prime } &=&\left( a_{1}^{\prime },a_{2}^{\prime },a_{3}^{\prime
   },a_{4}^{\prime }\right) \\
   &=&\left( h_{2},h_{1},h_{3},h_{4}\right)
   \end{eqnarray*}は\(\succsim _{I}\)のもとで狭義パレート効率的でしょうか。議論してください。

非分割財の分配問題の私的価値モデルを想定します。エージェントたちの選好は完備性、推移性、狭義選好の仮定を満たすものとします。メカニズム\(\phi \)を以下のように定義します。

1. エージェントの間の優先順位を定める。
2. それぞれのエージェントに対して、その人が申告した選好のもとで2番目に望ましい商品を与える。なお、2番目に望ましい商品が一致する複数のエージェントが存在する場合には、その中で最も優先順位が高いエージェントにその商品を与える。
3. 先のステップで商品を得られなかったそれぞれのエージェントに対して、その人が申告した選好のもとで3番目に望ましい商品が残っている場合には、その商品を与える。3番目に望ましい商品が一致する複数のエージェントが存在する場合には、その中で最も優先順位が高いエージェントにその商品を与える。
4. 全員に商品が割り当てられるまで同様のプロセスを繰り返す。

以下の問いに答えてください。

1. 以上のように定義される\(\phi \)はメカニズムとしての要件を満たすでしょうか。議論してください（10点）。
2. \(\phi \)は狭義事後効率性を満たすでしょうか。議論してください（15点）。
3. \(\phi \)は耐戦略性を満たすでしょうか。議論してください（15点）。

非分割財の分配問題において、エージェント集合が、\begin{equation*}
I=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}であり、商品集合が、\begin{equation*}
H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\}
\end{equation*}であるものとします。選好プロファイル\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)が、\begin{eqnarray*}h_{2} &\succ &_{1}h_{3}\succ _{1}h_{4}\succ _{1}h_{1} \\
h_{1} &\succ &_{2}h_{2}\succ _{2}h_{3}\succ _{2}h_{4} \\
h_{1} &\succ &_{3}h_{3}\succ _{3}h_{4}\succ _{3}h_{2} \\
h_{1} &\succ &_{4}h_{4}\succ _{4}h_{2}\succ _{4}h_{3}
\end{eqnarray*}を満たすものとします。私的価値モデルを想定します。以下の問いに答えてください。

1. 優先順位\(f\)が、\begin{eqnarray*}f\left( 1\right) &=&1 \\f\left( 2\right) &=&2 \\
   f\left( 3\right) &=&3 \\
   f\left( 4\right) &=&4
   \end{eqnarray*}を満たすものとします。つまり、エージェント\(1,2,3,4\)の順番で優先されるということです。以上の\(f\)にもとづくSDメカニズム\(\phi ^{f}\)に先の選好プロファイル\(\succsim _{I}\)を入力した場合に得られる配分\(\phi^{f}\left( \succsim _{I}\right) \)を特定してください（10点）。
2. 先の選好プロファイル\(\succsim _{I}\)のもとで狭義パレート効率的な配分が一意的ではないことを示してください（15点）。
3. 優先順位\(f\)は全部で\(4!\)通り存在しますが、先の選好プロファイル\(\succsim _{I}\)のもとで狭義パレート効率的な配分もまた\(4!\)通り存在すると言えるでしょうか。議論してください（15点）。