シリアル・ディクテーターシップ
非分割財の分配問題が環境\begin{equation*}
\left( I,H,\left\{ \succsim _{i}\right\} _{i\in I},A,\left\{ \succsim
_{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \right\} _{i\in I}\right)
\end{equation*}として表現されているものとします。ただし、\(I\)はプレイヤー集合、\(H\)は商品集合、\(\succsim _{i}\)はプレイヤー\(i\)が商品どうしを比較する選好関係、\(A\)は配分集合、\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)はプレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好関係です。特に、任意のプレイヤー\(i\in I\)に関して非外部性と私的価値を仮定する（私的価値モデル）場合には、任意の2つの配分\(a_{I},a_{I}^{\prime }\in A\)に対して以下の関係\begin{equation*}a_{I}\succsim _{i}^{A}[\succsim _{I}]\ a_{I}^{\prime }\Leftrightarrow
a_{i}\succsim _{i}a_{i}^{\prime }
\end{equation*}が成り立つため、プレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好\(\succsim_{i}^{A}[\succsim _{I}]\)について考えるかわりに、プレイヤー\(i\)が商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)について考えても一般性は失われません。
非分割財の分配問題におけるメカニズムとは、エージェントたちが申告する選好からなる組\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)に対して、何らかの配分\begin{equation*}\phi \left( \succsim _{I}\right) =\left( \phi _{i}\left( \succsim
_{I}\right) \right) _{i\in I}\in A
\end{equation*}を1つずつ選ぶ写像\begin{equation*}
\phi :\mathcal{R}_{I}\rightarrow A
\end{equation*}として定式化されます。メカニズムを設計することとは、この写像\(\phi \)の具体的な形状を定めることを意味します。今回は、非分割財の分配問題における代表的なメカニズムであるシリアル・ディクテーターシップ（serial dictatorship）について解説します。以降では、これをSDメカニズム（SD mechanism）と呼ぶこととします。
SDメカニズムについて分析する際には、多くの場合、私的価値モデルを分析対象にします。つまり、エージェントの選好について非外部性と私的価値の仮定を置くということです。この場合、任意のエージェント\(i\in I\)と任意の配分\(a_{I},a_{I}^{\prime }\in A\)に対して以下の関係\begin{equation*}a_{I}\succsim _{i}^{A}[\succsim _{I}]\ a_{I}^{\prime }\Leftrightarrow
a_{i}\succsim _{i}a_{i}^{\prime }
\end{equation*}が成り立つため、エージェント\(i\)が配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}[\succsim _{I}]\)について考えるかわりに、エージェント\(i\)が商品どうしを比較する選好\(\succsim_{i}\)について考えても一般性は失われません。さらに、それぞれのエージェント\(i\)が商品どうしを比較する\(\succsim _{i}\)が完備性、推移性、さらに狭義選好の仮定を満たすものとします。この場合、エージェント\(i\)は商品集合\(H\)の要素であるすべての商品を狭義選好\(\succ _{i}\)だけを用いて一列に並べることができます。つまり、すべての商品を最も望ましいものから最も望ましくないものまで順番に並べることができ、なおかつ、その中に同じ程度望ましい複数の商品は存在しないことを仮定するということです。
SDメカニズムとは、エージェントたちに優先順位を割り当てた上で、その順位にしたがってエージェントたちに、それぞれの時点において残されている商品の中から最も望ましい商品を1つずつ割り当てるメカニズムです。
エージェントの部分集合\(T\subset I\)が与えられたとき、\(T\)に属するエージェントたちに割り当てる優先順位を全単射\begin{equation*}f:\left\{ 1,\cdots ,\left\vert T\right\vert \right\} \rightarrow T
\end{equation*}として表現します。つまり、\(T\)に属するエージェントの中でも、優先順位が\(m\in \left\{ 1,\cdots,\left\vert T\right\vert \right\} \)であるようなエージェントは、\begin{equation*}f\left( m\right) \in T
\end{equation*}であるということです。全単射には逆写像\begin{equation*}
f^{-1}:T\rightarrow \left\{ 1,\cdots ,\left\vert T\right\vert \right\}
\end{equation*}が存在し、これはそれぞれのエージェント\(i\in T\)に対して、その人の優先順位\begin{equation*}f^{-1}\left( i\right) \in \left\{ 1,\cdots ,\left\vert T\right\vert \right\}
\end{equation*}を特定します。全単射の定義より、それぞれの順序対\(\left( m,i\right) \in\left\{ 1,\cdots ,\left\vert T\right\vert \right\} \times T\)に対して以下の関係\begin{equation*}f\left( m\right) =i\Leftrightarrow f^{-1}\left( i\right) =m
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、順位\(m\)とエージェント\(i\)がそれぞれ与えられたとき、順位\(m\)のエージェントが\(i\)であることと、エージェント\(i\)の順位が\(m\)であることは必要十分です。
特に、\(T=I\)の場合の優先順位、すなわちエージェント集合\(I\)に属するすべてのエージェントを対象に割り当てる優先順位は全単射\begin{equation*}f:\left\{ 1,\cdots ,\left\vert I\right\vert \right\} \rightarrow I
\end{equation*}として表現されます。このような優先順位をすべて集めることにより得られる集合を、\begin{equation*}
\mathcal{F}
\end{equation*}で表記します。\(f\in \mathcal{F}\)です。特に、\(\left\vert I\right\vert =n\)である場合、すなわち\(n\)人のエージェントが存在する場合には、エージェントたちに順位を割り当てるパターンは全部で\(n!\)通り存在するため、\begin{equation*}\left\vert \mathcal{F}\right\vert =n!
\end{equation*}が成り立ちます。
I=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}である場合の優先順位は全単射\begin{equation*}
f:\left\{ 1,2,3,4\right\} \rightarrow I
\end{equation*}として表現されます。エージェント\(1,2,3,4\)の順番で優先される場合、そのような優先順位\(f\in \mathcal{F}\)は、\begin{eqnarray*}f\left( 1\right) &=&1 \\
f\left( 2\right) &=&2 \\
f\left( 3\right) &=&3 \\
f\left( 4\right) &=&4
\end{eqnarray*}として表現されます。逆に、エージェント\(4,3,2,1\)の順番で優先される場合、そのような優先順位\(f^{\prime }\in \mathcal{F}\)は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 1\right) &=&4 \\
f^{\prime }\left( 2\right) &=&3 \\
f^{\prime }\left( 3\right) &=&2 \\
f^{\prime }\left( 4\right) &=&1
\end{eqnarray*}として表現されます。
何らかの優先順位\(f\in \mathcal{F}\)に選んだとき、この\(f\)にもとづくSDメカニズムを、\begin{equation*}\phi ^{f}:\mathcal{R}_{I}\rightarrow A
\end{equation*}で表記するものと定めます。このメカニズム\(\phi ^{f}\)を以下のように定義します。
- 【ステップ\(1\)】エージェントたちが申告する選好の組が\(\succsim_{I}=\left( \succsim _{i}\right) _{i\in I}\)であるものとする。また、初期時点の商品集合を\(H_{1}=H\)で表記する。順位\(1\)のエージェント\(f\left( 1\right)\in I\)について、その人が申告した選好\(\succsim _{f\left(1\right) }\)のもとで、商品集合\(H_{1}\)に属する商品の中で最も望ましい商品が\(h\)であるならば、エージェント\(f\left( 1\right) \)に商品\(h\)を与える。残された商品からなる集合を\(H_{2}\)で表記する。
- 【ステップ\(2\)】順位\(2\)のエージェント\(f\left( 2\right)\in I\)について、その人が申告した選好\(\succsim _{f\left(2\right) }\)のもとで、商品集合\(H_{2}\)に属する商品の中で最も望ましい商品が\(h\)であるならば、エージェント\(f\left( 2\right) \)に商品\(h\)を与える。残された商品からなる集合を\(H_{3}\)で表記する。
- 【ステップ\(k\)】以上のプロセスを繰り返す。各ステップ\(k\)の内容は以下のように一般化される。まず、ステップ\(k\)の冒頭に残っている商品からなる集合が\(H_{k}\)であるものとする。順位\(k\)のエージェント\(f\left( k\right) \in I\)について、その人が申告した選好\(\succsim _{f\left( k\right) }\)のもとで、商品集合\(H_{k}\)に属する商品の中で最も望ましい商品が\(h\)であるならば、エージェント\(f\left( k\right) \)に商品\(h\)を与える。残された商品からなる集合を\(H_{k+1}\)で表記する。\(H_{k+1}\not=\phi \)ならば次のステップへ進み、\(H_{k+1}=\phi \)ならばプロセスを終了する。
- プロセスの終了後、それぞれのエージェント\(i\in I\)には商品が1つずつ与えられているため、それを\(\phi _{i}^{f}\left(\succsim _{I}\right) \)と定める。その結果、SDメカニズム\(\phi ^{f}\)が定める配分\(\phi ^{f}\left(\succsim _{I}\right) \)が得られる。
I=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}であり、商品集合が、\begin{equation*}
H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\}
\end{equation*}であるものとします。任意のエージェント\(i\in I\)の選好関係\(\succsim _{i}\)は完備性と推移性に加えて選好順序の仮定を満たすものとします。具体的には、エージェントたちの選好プロファイル\(\succsim_{I}\)が、\begin{eqnarray*}h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{4}\succ _{1}h_{1} \\
h_{4} &\succ &_{2}h_{1}\succ _{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{1} &\succ &_{3}h_{4}\succ _{3}h_{3}\succ _{3}h_{2} \\
h_{3} &\succ &_{4}h_{2}\succ _{4}h_{1}\succ _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。優先順位\(f\in \mathcal{F}\)が、\begin{eqnarray*}f\left( 1\right) &=&2 \\
f\left( 2\right) &=&3 \\
f\left( 3\right) &=&4 \\
f\left( 4\right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たすものとします。以上の\(f\)にもとづくSDメカニズム\(\phi ^{f}\)に直面したエージェントたちが先の選好プロファイル\(\succsim _{I}\)を申告する場合、SDメカニズムが選択する配分\(\phi^{f}\left( \succsim _{I}\right) \)は以下のように決定されます。まず、\begin{equation*}H_{1}=H
\end{equation*}です。順位\(1\)のエージェントは\(f\left( 1\right) =2\)ですが、彼が申告した選好\(\succsim _{2}\)のもとで\(H_{1}\)に属する商品の中で最も望ましい商品は\(h_{4}\)であるため、彼に\(h_{4}\)を与えます。その結果、残された商品からなる集合は、\begin{equation*}H_{2}=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3}\right\}
\end{equation*}となります。順位\(2\)のエージェントは\(f\left( 2\right) =3\)ですが、彼が申告した選好\(\succsim _{3}\)のもとで\(H_{2}\)に属する商品の中で最も望ましい商品は\(h_{1}\)であるため、彼に\(h_{1}\)を与えます。その結果、残された商品からなる集合は、\begin{equation*}H_{3}=\left\{ h_{2},h_{3}\right\}
\end{equation*}となります。順位\(3\)のエージェントは\(f\left( 3\right) =4\)ですが、彼が申告した選好\(\succsim _{4}\)のもとで\(H_{3}\)に属する商品の中で最も望ましい商品は\(h_{3}\)であるため、彼に\(h_{3}\)を与えます。その結果、残された商品からなる集合は、\begin{equation*}H_{4}=\left\{ h_{2}\right\}
\end{equation*}となります。順位\(4\)のエージェントは\(f\left( 4\right) =1\)ですが、彼が申告した選好\(\succsim _{1}\)のもとで\(H_{4}\)に属する商品の中で最も望ましい商品は\(h_{2}\)であるため、彼に\(h_{2}\)を与えます。その結果、残された商品からなる集合は、\begin{equation*}H_{5}=\phi
\end{equation*}となります。以上でプロセスが完了し、メカニズムが定める配分は、\begin{eqnarray*}
\phi ^{f}\left( \succsim _{I}\right) &=&\left( \phi _{1}^{f}\left( \succsim
_{I}\right) ,\phi _{2}^{f}\left( \succsim _{I}\right) ,\phi _{3}^{f}\left(
\succsim _{I}\right) ,\phi _{4}^{f}\left( \succsim _{I}\right) \right) \\
&=&\left( h_{2},h_{4},h_{1},h_{3}\right)
\end{eqnarray*}となります。SDメカニズムは外生的に与えられた優先順位\(f\)を用いて定義されるため、先の\(f\)とは異なる優先順位にもとづくSDメカニズムは先の\(\phi ^{f}\left(\succsim _{I}\right) \)とは異なる配分を導き得ます。具体例を挙げると、優先順位\(f^{\prime }\in \mathcal{F}\)が、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 1\right) &=&1 \\
f^{\prime }\left( 2\right) &=&2 \\
f^{\prime }\left( 3\right) &=&3 \\
f^{\prime }\left( 4\right) &=&4
\end{eqnarray*}を満たす場合、\(f^{\prime }\)にもとづくSDメカニズム\(\phi ^{f^{\prime }}\)に直面したエージェントたちが先の選好プロファイル\(\succsim_{I}\)を申告する場合、メカニズムが定める配分は、\begin{eqnarray*}\phi ^{f^{\prime }}\left( \succsim _{I}\right) &=&\left( \phi
_{1}^{f^{\prime }}\left( \succsim _{I}\right) ,\phi _{2}^{f^{\prime }}\left(
\succsim _{I}\right) ,\phi _{3}^{f^{\prime }}\left( \succsim _{I}\right)
,\phi _{4}^{f^{\prime }}\left( \succsim _{I}\right) \right) \\
&=&\left( h_{3},h_{4},h_{1},h_{2}\right)
\end{eqnarray*}となるため（演習問題）、\begin{equation*}
\phi ^{f}\left( \succsim _{I}\right) \not=\phi ^{f^{\prime }}\left( \succsim
_{I}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
SDはメカニズムである
SDメカニズムはメカニズムとしての要件を満たすのでしょうか。優先順位\(f\in \mathcal{F}\)にもとづくメカニズムは写像\begin{equation*}\phi ^{f}:\mathcal{R}_{I}\rightarrow A
\end{equation*}と定式化されますが、以上の事実は、エージェントたちが表明する選好からなる組\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)がいかなるものであっても、それに対して\(\phi ^{f}\)は必ず配分\(\phi ^{f}\left( \succsim _{I}\right) \in A\)を1つずつ選び取ることができることを意味します。先に置いた仮定を認める場合、SDメカニズムは常に配分を1つずつ選びとることができるのでしょうか。
すべてのエージェントの選好が完備性、推移性、狭義選好の仮定を満たす場合、SDメカニズムのそれぞれのステップ\(k\)において、エージェント\(f\left(k\right) \)が自身の選好\(\succsim_{f\left( k\right) }\)のもとで商品集合\(H_{k}\)に属する商品の中で最も望ましい商品を一意的に選び取ることができます。ゆえに、各ステップにおいて商品は1つずつエージェントに配分されます。また、あるステップにおいて商品を与えられたエージェントと、そのエージェントに与えられた商品は消去されて以降のステップには参加しないため、そのエージェントが以降のステップにおいて再び商品を与えられる可能性はありません。加えて、エージェント集合\(I\)と商品集合\(H\)はともに有限集合であるとともに、\begin{equation*}\left\vert I\right\vert =\left\vert H\right\vert
\end{equation*}が成り立つため、SDメカニズムは有限\(\left\vert I\right\vert \)ステップで終了するとともに、最終的にすべての商品がすべてのエージェントたちに1つずつ割り当てられます。以上より、優先順位\(f\in \mathcal{F}\)がどのようなものであったとしても、\(f\)にもとづくSDメカニズム\(\phi ^{f}\)はメカニズムとしての要件を満たすことが明らかになりました。
SDメカニズムは耐戦略的メカニズム
非分割財の分配問題におけるメカニズム\(\phi \)が耐戦略的であることは、メカニズム\(\phi \)のもとでのベイジアンゲーム\(G\left( \phi \right) \)において正直戦略の組が支配戦略均衡になること、すなわち、任意のエージェントにとって真の選好を正直に申告することが支配戦略になることを意味します。特に、私的価値モデルを分析対象とする場合、メカニズム\(\phi \)が耐戦略的であることは、\begin{equation*}\forall i\in I,\ \forall \succsim _{i}\in \mathcal{R}_{i},\ \forall \hat{\succsim}_{I}\in \mathcal{R}_{I}:\phi _{i}\left( \succsim _{i},\hat{\succsim}_{-i}\right) \succsim _{i}\phi \left( \hat{\succsim}_{i},\hat{\succsim}_{-i}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして表現されます。つまり、任意のエージェント\(i\)にとって、自身のタイプ\(\succsim _{i}\)がいかなるものであるかに関わらず、また、他のプレイヤーたちが申告する選好\(\hat{\succsim}_{-i}\)がいかなるものであるかに関わらず、自分は正直戦略にしたがって真のタイプ\(\succsim_{i}\)を正直に申告すれば最も望ましい商品を手に入れられるということです。
SDメカニズムは耐戦略的なメカニズムです。
I=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}であり、商品集合が、\begin{equation*}
H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\}
\end{equation*}であるものとします。任意のエージェント\(i\in I\)の選好関係\(\succsim _{i}\)は完備性と推移性に加えて選好順序の仮定を満たすものとします。具体的には、エージェントたちの選好プロファイル\(\succsim_{I}\)が、\begin{eqnarray*}h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{4}\succ _{1}h_{1} \\
h_{4} &\succ &_{2}h_{1}\succ _{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{1} &\succ &_{3}h_{4}\succ _{3}h_{3}\succ _{3}h_{2} \\
h_{3} &\succ &_{4}h_{2}\succ _{4}h_{1}\succ _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。優先順位\(f\in \mathcal{F}\)が、\begin{eqnarray*}f\left( 1\right) &=&2 \\
f\left( 2\right) &=&3 \\
f\left( 3\right) &=&4 \\
f\left( 4\right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たすものとします。先に確認したように、\(f\)にもとづくSDメカニズム\(\phi ^{f}\)に直面したエージェントたちが先の選好プロファイル\(\succsim _{I}\)を正直に申告する場合、SDメカニズムが選択する配分は、\begin{eqnarray*}\phi ^{f}\left( \succsim _{I}\right) &=&\left( \phi _{1}^{f}\left( \succsim
_{I}\right) ,\phi _{2}^{f}\left( \succsim _{I}\right) ,\phi _{3}^{f}\left(
\succsim _{I}\right) ,\phi _{4}^{f}\left( \succsim _{I}\right) \right) \\
&=&\left( h_{2},h_{4},h_{1},h_{3}\right)
\end{eqnarray*}です。この配分においてエージェント\(2,3,4\)は自身にとって最も望ましい商品を入手している一方で、エージェント\(1\)は自身にとって2番目に望ましい商品\(h_{2}\)を入手しています。では、エージェント\(1\)は偽りの選好を表明することにより、自身にとって最も望ましい商品\(h_{3}\)を得られる余地はあるでしょうか。エージェント\(2,3,4\)は先の選好を正直に申告するものとします。エージェント\(4\)の優先順位は\(4\)であるため、自身が\(\succsim _{4}\)とは異なる選好を表明した場合でも、自身に残される商品に影響を与えることはできず、したがってやはり\(h_{3}\)を受け取ることになります。したがって、エージェント\(1\)が商品\(h_{3}\)を入手できる余地はありません。つまり、エージェント\(1\)は正直戦略から逸脱しても得はできないことが明らかになりました。この結果は先の命題の主張と整合的です。
SDメカニズムは耐共謀的メカニズム
非分割財の分配問題におけるメカニズム\(\phi \)が耐共謀的であることは、メカニズム\(\phi \)のもとでのベイジアンゲーム\(G\left( \phi \right) \)において正直戦略の組が支配戦略均衡になること、すなわち、任意の提携にとって真の選好を正直に申告することが提携的支配戦略になることを意味します。特に、私的価値モデルを分析対象とする場合、メカニズム\(\phi \)が耐共謀的であることは、提携\(T\subset I\)と状態\(\succsim_{I}\in \mathcal{R}_{I}\)および全員が申告する選好\(\hat{\succsim}_{I}\in \mathcal{R}_{I}\)をそれぞれ任意に選んだときに、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in T:\phi _{i}\left( \succsim _{T},\hat{\succsim}_{-T}\right) \ \succsim _{i}\ \phi _{i}\left( \hat{\succsim}_{T},\hat{\succsim}_{-T}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in T:\phi _{i}\left( \succsim _{T},\hat{\succsim}_{-T}\right) \ \succ _{i}\ \phi _{i}\left( \hat{\succsim}_{T},\hat{\succsim}_{-T}\right)
\end{eqnarray*}の少なくとも一方が成り立つことを意味します。つまり、任意の提携\(T\)にとって、自分を含めた全員のタイプ\(\succsim _{I}\)がいかなるものであるかに関わらず、また、他のエージェントたちが申告する選好\(\hat{\succsim}_{-T}\)に関わらず、自分たちは正直戦略にしたがって真のタイプ\(\succsim _{T}\)を正直に申告すれば、自分たちにとってパレート最適な結果を常に実現できるということです。
SDメカニズムは耐共謀的なメカニズムです。
SDメカニズムは狭義事後効率的メカニズム
非分割財の分配問題におけるメカニズム\(\phi \)が狭義事後効率的であることは、選好プロファイル\(\succsim _{I}\)を任意に選んだとき、それに対して\(\phi \)が定める配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)が\(\succsim _{I}\)のもとで狭義パレート効率的であることを意味します。特に、私的価値モデルを分析対象とする場合、メカニズム\(\phi \)が狭義事後効率的であることとは、選好プロファイル\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を任意に選んだとき、それに対して以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in I:a_{i}\succsim _{i}\phi _{i}\left(
\succsim _{I}\right) \\
&&\left( b\right) \ \exists i\in I:a_{i}\succ _{i}\phi _{i}\left( \succsim
_{I}\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす配分\(a_{I}\in A\)が存在しないことを意味します。
SDメカニズムは狭義事後効率的なメカニズムです。
I=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}であり、商品集合が、\begin{equation*}
H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\}
\end{equation*}であるものとします。任意のエージェント\(i\in I\)の選好関係\(\succsim _{i}\)は完備性と推移性に加えて選好順序の仮定を満たすものとします。具体的には、エージェントたちの選好プロファイル\(\succsim_{I}\)が、\begin{eqnarray*}h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{4}\succ _{1}h_{1} \\
h_{4} &\succ &_{2}h_{1}\succ _{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{1} &\succ &_{3}h_{4}\succ _{3}h_{3}\succ _{3}h_{2} \\
h_{3} &\succ &_{4}h_{2}\succ _{4}h_{1}\succ _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。優先順位\(f\in \mathcal{F}\)が、\begin{eqnarray*}f\left( 1\right) &=&2 \\
f\left( 2\right) &=&3 \\
f\left( 3\right) &=&4 \\
f\left( 4\right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たすものとします。先に確認したように、\(f\)にもとづくSDメカニズム\(\phi ^{f}\)に直面したエージェントたちが先の選好プロファイル\(\succsim _{I}\)を正直に申告する場合、SDメカニズムが選択する配分は、\begin{eqnarray*}\phi ^{f}\left( \succsim _{I}\right) &=&\left( \phi _{1}^{f}\left( \succsim
_{I}\right) ,\phi _{2}^{f}\left( \succsim _{I}\right) ,\phi _{3}^{f}\left(
\succsim _{I}\right) ,\phi _{4}^{f}\left( \succsim _{I}\right) \right) \\
&=&\left( h_{2},h_{4},h_{1},h_{3}\right)
\end{eqnarray*}です。この配分においてエージェント\(2,3,4\)は自身にとって最も望ましい商品を入手しているため、彼らが得る商品を変更する形での広義パレート改善は不可能です。一方で、エージェント\(1\)は自身にとって2番目に望ましい商品\(h_{2}\)を入手していますが、彼により望ましい商品\(h_{3}\)を与えようとするとエージェント\(3\)が得る商品が変わってしまいます。したがって、\(\phi ^{f}\left( \succsim_{I}\right) \)は\(\succsim _{I}\)のもとで狭義パレート効率的です。この結果は先の命題の主張と整合的です。
狭義事後効率的メカニズム\(\phi \)のもとでのベイジアンゲーム\(G\left(\phi \right) \)に均衡が存在することを前提としない場合、配分\(\phi \left( \succsim_{I}\right) \)はエージェントたちが申告する選好プロファイル\(\succsim _{I}\)のもとで狭義パレート効率的です。一方、狭義事後効率的メカニズム\(\phi \)が誘因両立性を満たす場合、均衡配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)は真の状態\(\succsim _{I}\)のもとで狭義パレート効率的であることが保証されます。すでに示したように、SDメカニズムは耐戦略性（支配戦略均衡誘因両立性）と狭義事後効率性をともに満たすため、状態\(\succsim _{I}\)がいかなるものであるかに関わらず、任意のエージェント\(i\)は自身の真の選好\(\succsim _{i}\)を正直に表明することが均衡になるとともに、均衡配分\(\phi \left( \succsim _{I}\right) \)が真の状態\(\succsim _{I}\)のもとで狭義パレート効率的になります。
SDメカニズムは非介入的メカニズム
非分割財の分配問題におけるメカニズム\(\phi \)が非介入的であることとは、\begin{equation*}\forall i\in I,\ \forall \succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I},\ \forall \hat{\succsim}_{i}\in \mathcal{R}_{i}:\left[ \phi \left( \succsim _{I}\right)
\not=\phi \left( \hat{\succsim}_{i},\succsim _{-i}\right) \Rightarrow \phi
_{i}\left( \succsim _{I}\right) \not=\phi _{i}\left( \hat{\succsim}_{i},\succsim _{-i}\right) \right]
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、全体の配分を変化させるためにエージェントが偽りの選好を表明すると、そのエージェントに割り当てられる商品もまた必ず変化してしまいます。
SDメカニズムは非介入的なメカニズムです。
I=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}であり、商品集合が、\begin{equation*}
H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\}
\end{equation*}であるものとします。任意のエージェント\(i\in I\)の選好関係\(\succsim _{i}\)は完備性と推移性に加えて選好順序の仮定を満たすものとします。具体的には、エージェントたちの選好プロファイル\(\succsim_{I}\)が、\begin{eqnarray*}h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{4}\succ _{1}h_{1} \\
h_{4} &\succ &_{2}h_{1}\succ _{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{1} &\succ &_{3}h_{4}\succ _{3}h_{3}\succ _{3}h_{2} \\
h_{3} &\succ &_{4}h_{2}\succ _{4}h_{1}\succ _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。優先順位\(f\in \mathcal{F}\)が、\begin{eqnarray*}f\left( 1\right) &=&2 \\
f\left( 2\right) &=&3 \\
f\left( 3\right) &=&4 \\
f\left( 4\right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たすものとします。先に確認したように、\(f\)にもとづくSDメカニズム\(\phi ^{f}\)に直面したエージェントたちが先の選好プロファイル\(\succsim _{I}\)を正直に申告する場合、SDメカニズムが選択する配分は、\begin{eqnarray*}\phi ^{f}\left( \succsim _{I}\right) &=&\left( \phi _{1}^{f}\left( \succsim
_{I}\right) ,\phi _{2}^{f}\left( \succsim _{I}\right) ,\phi _{3}^{f}\left(
\succsim _{I}\right) ,\phi _{4}^{f}\left( \succsim _{I}\right) \right) \\
&=&\left( h_{2},h_{4},h_{1},h_{3}\right)
\end{eqnarray*}です。この配分においてエージェント\(2,3\)は自身にとって最も望ましい商品を入手しています。エージェント\(2\)がエージェント\(3\)へ嫌がらせとして、エージェント\(3\)が2番目に望ましい商品\(h_{1}\)を得るよう陥れようとしている状況を想定します。この場合、エージェント\(2\)は自身にとっての第一希望が商品\(h_{4}\)であると偽る必要がありますが、そのように偽ると、エージェント\(2\)自身が得る商品が自身にとって3番目に望ましい商品\(h_{4}\)に変化してしまいます。したがって、エージェント\(2\)は自身が得る商品を変更することなく、エージェント\(3\)に対して嫌がらせすることはできません。この結果は先の命題の主張と整合的です。
SDメカニズムは中立的メカニズム
非分割財の分配問題におけるメカニズム\(\phi \)が中立的であることとは、\begin{equation*}\forall g\in \mathcal{G},\ \forall \succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I},\
\forall i\in I:g\left( \phi _{i}\left( \succsim _{I}\right) \right) =\phi
_{i}\left( \succsim _{I}^{g}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ただし、\(g:H\rightarrow H\)は商品の名称の置換に相当する全単射であり、\(\mathcal{G}\)はそのような置換をすべて集めることにより得られる集合です。つまり、商品の名称を入れ替えても、中立的メカニズムが定める結果は一貫して変わるだけで本質的には同一の配分が選ばれます。
SDメカニズムは中立的なメカニズムです。
I=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}であり、商品集合が、\begin{equation*}
H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\}
\end{equation*}であるものとします。任意のエージェント\(i\in I\)の選好関係\(\succsim _{i}\)は完備性と推移性に加えて選好順序の仮定を満たすものとします。具体的には、エージェントたちの選好プロファイル\(\succsim_{I}\)が、\begin{eqnarray*}h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{4}\succ _{1}h_{1} \\
h_{4} &\succ &_{2}h_{1}\succ _{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{1} &\succ &_{3}h_{4}\succ _{3}h_{3}\succ _{3}h_{2} \\
h_{3} &\succ &_{4}h_{2}\succ _{4}h_{1}\succ _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。優先順位\(f\in \mathcal{F}\)が、\begin{eqnarray*}f\left( 1\right) &=&2 \\
f\left( 2\right) &=&3 \\
f\left( 3\right) &=&4 \\
f\left( 4\right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たすものとします。先に確認したように、\(f\)にもとづくSDメカニズム\(\phi ^{f}\)に直面したエージェントたちが先の選好プロファイル\(\succsim _{I}\)を正直に申告する場合、SDメカニズムが選択する配分は、\begin{eqnarray*}\phi ^{f}\left( \succsim _{I}\right) &=&\left( \phi _{1}^{f}\left( \succsim
_{I}\right) ,\phi _{2}^{f}\left( \succsim _{I}\right) ,\phi _{3}^{f}\left(
\succsim _{I}\right) ,\phi _{4}^{f}\left( \succsim _{I}\right) \right) \\
&=&\left( h_{2},h_{4},h_{1},h_{3}\right)
\end{eqnarray*}です。商品の名称置換\(g\in \mathcal{G}\)が、\begin{eqnarray*}g\left( h_{1}\right) &=&h_{2} \\
g\left( h_{2}\right) &=&h_{3} \\
g\left( h_{3}\right) &=&h_{4} \\
g\left( h_{4}\right) &=&h_{1}
\end{eqnarray*}を満たすものとします。先の配分\(\phi ^{f}\left( \succsim_{I}\right) \)においてそれぞれのエージェントが得る商品の名称を\(g\)のもとで置換すると、\begin{eqnarray*}\left( g\left( \phi _{1}^{f}\left( \succsim _{I}\right) \right) ,g\left(
\phi _{2}^{f}\left( \succsim _{I}\right) \right) ,g\left( \phi
_{3}^{f}\left( \succsim _{I}\right) \right) ,g\left( \phi _{4}^{f}\left(
\succsim _{I}\right) \right) \right) &=&\left( g\left( h_{2}\right)
,g\left( h_{4}\right) ,g\left( h_{1}\right) ,g\left( h_{3}\right) \right) \\
&=&\left( h_{3},h_{1},h_{2},h_{4}\right)
\end{eqnarray*}となります。先の選好プロファイル\(\succsim _{I}\)と置換\(g\)のもとで定義される選好プロファイル\(\succsim _{I}^{g}\)は、\begin{eqnarray*}g\left( h_{3}\right) &\succ &_{1}^{g}g\left( h_{2}\right) \succ
_{1}^{g}g\left( h_{4}\right) \succ _{1}^{g}g\left( h_{1}\right) \\
g\left( h_{4}\right) &\succ &_{2}^{g}g\left( h_{1}\right) \succ
_{2}^{g}g\left( h_{2}\right) \succ _{2}^{g}g\left( h_{3}\right) \\
g\left( h_{1}\right) &\succ &_{3}^{g}g\left( h_{4}\right) \succ
_{3}^{g}g\left( h_{3}\right) \succ _{3}^{g}g\left( h_{2}\right) \\
g\left( h_{3}\right) &\succ &_{4}^{g}g\left( h_{2}\right) \succ
_{4}^{g}g\left( h_{1}\right) \succ _{4}^{g}g\left( h_{4}\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
h_{4} &\succ &_{1}^{g}h_{3}\succ _{1}^{g}h_{1}\succ _{1}^{g}h_{2} \\
h_{1} &\succ &_{2}^{g}h_{2}\succ _{2}^{g}h_{3}\succ _{2}^{g}h_{4} \\
h_{2} &\succ &_{3}^{g}h_{1}\succ _{3}^{g}h_{4}\succ _{3}^{g}h_{3} \\
h_{4} &\succ &_{4}^{g}h_{3}\succ _{4}^{g}h_{2}\succ _{4}^{g}h_{1}
\end{eqnarray*}を満たします。エージェントたちが\(\succsim _{I}^{g}\)を申告する場合、SDメカニズムが選択する配分は、\begin{eqnarray*}\phi ^{f}\left( \succsim _{I}^{g}\right) &=&\left( \phi _{1}^{f}\left(
\succsim _{I}^{g}\right) ,\phi _{2}^{f}\left( \succsim _{I}^{g}\right) ,\phi
_{3}^{f}\left( \succsim _{I}^{g}\right) ,\phi _{4}^{f}\left( \succsim
_{I}^{g}\right) \right) \\
&=&\left( h_{3},h_{1},h_{2},h_{4}\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
g\left( \phi _{1}^{f}\left( \succsim _{I}\right) \right) &=&\phi
_{1}^{f}\left( \succsim _{I}^{g}\right) \\
g\left( \phi _{2}^{f}\left( \succsim _{I}\right) \right) &=&\phi
_{2}^{f}\left( \succsim _{I}^{g}\right) \\
g\left( \phi _{3}^{f}\left( \succsim _{I}\right) \right) &=&\phi
_{3}^{f}\left( \succsim _{I}^{g}\right) \\
g\left( \phi _{4}^{f}\left( \succsim _{I}\right) \right) &=&\phi
_{4}^{f}\left( \succsim _{I}^{g}\right)
\end{eqnarray*}を得ます。この結果は先の命題の主張と整合的です。
SDメカニズムの課題
SDメカニズムは特定の優先順位\(f\in \mathcal{F}\)の存在を前提として定義されるメカニズムですが、具体的にどの順位\(f\)を採用するかは外生的な要因によって決定されます。例えば、年齢や性別を考慮した上でエージェントの順番を決めたければそのような順位\(f\)を採用することになります。SDメカニズムは耐戦略的であるとともに、そのルール上、より優先されるエージェントが明らかに有利であるため、どのような順位\(f\)を採用するかによってエージェントたちの厚生が大きく左右されます。換言すると、優先順位\(f\)を決定する基準が不公平である場合、SDメカニズムは望ましいメカニズムであるとは言えなくなってしまいます。この点を踏まえた上で提案される代替的なメカニズムについては改めて考察します。
演習問題
I=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}であり、商品集合が、\begin{equation*}
H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\}
\end{equation*}であるものとします。私的価値モデルを想定するとともに、任意のエージェント\(i\in I\)の選好関係\(\succsim _{i}\)は完備性と推移性に加えて選好順序の仮定を満たすものとします。具体的には、エージェントたちの選好プロファイル\(\succsim_{I}\)が、\begin{eqnarray*}h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{4}\succ _{1}h_{1} \\
h_{4} &\succ &_{2}h_{1}\succ _{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{1} &\succ &_{3}h_{4}\succ _{3}h_{3}\succ _{3}h_{2} \\
h_{3} &\succ &_{4}h_{2}\succ _{4}h_{1}\succ _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。優先順位\(f^{\prime }\in \mathcal{F}\)が、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 1\right) &=&1 \\
f^{\prime }\left( 2\right) &=&2 \\
f^{\prime }\left( 3\right) &=&3 \\
f^{\prime }\left( 4\right) &=&4
\end{eqnarray*}を満たすものとします。\(f^{\prime }\)にもとづくSDメカニズム\(\phi ^{f^{\prime }}\)に直面したエージェントたちが先の選好プロファイル\(\succsim _{I}\)を申告する場合にメカニズムが定める配分\(\phi ^{f^{\prime}}\left( \succsim _{I}\right) \)を特定してください。
\succsim _{I}\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in T:a_{I}\ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim
_{I}\right] \ \phi \left( \succsim _{I}\right) \\
&&\left( c\right) \ \exists i\in T:a_{I}\ \succ _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \ \phi \left( \succsim _{I}\right)
\end{eqnarray*}をすべて満たす提携\(T\subset I\)と配分\(a_{I}\in A\)の組が存在しないことを意味します。非分割財の分配問題において、任意のエージェントの選好が完備性、推移性、狭義選好の仮定を満たすものとします。優先順位\(f\in \mathcal{F}\)を任意に選んだ場合、\(f\)にもとづくSDメカニズム\(\phi ^{f}:\mathcal{R}_{I}\rightarrow A\)は狭義安定性を満たすでしょうか。議論してください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】