確認テスト II（順序集合）

以下の集合\begin{equation*}
A=\left\{ 1,2,3,4,6,8,9,12\right\}
\end{equation*}が与えられた状況において、任意の\(m,n\in A\)に対して、\begin{equation*}n|m\Leftrightarrow m\text{は}n\text{の倍数}
\end{equation*}を満たすものとして\(A\)上の二項関係\(|\)を定義します。以下の問いに答えてください。

1. \(\left( A,|\right) \)が半順序集合であることを示してください（10点）。
2. \(\left( A,|\right) \)が全順序集合ではないことを示してください（5点）。
3. \(\left\{ 2,3,4,6\right\} \)の最大元と最小元が存在しないことを示してください（5点）。
4. \(1\)は\(\left\{ 2,3,4,6\right\} \)の下限であり、\(12\)は\(\left\{ 2,3,4,6\right\} \)の上限であることを示してください（5点）。
5. \(\left\{ 1,2,3,8\right\} \)の上界は存在しないことを示してください（5点）。

2つの半順序集合\(\left( X_{1},\leq_{1}\right) ,\left( X_{2},\leq _{2}\right) \)が与えられている状況において、任意の\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left(y_{1},y_{2}\right) \in X_{1}\times X_{2}\)に対して、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \leq \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
\left( x_{1}<_{1}y_{1}\right) \vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\leq
_{2}y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして直積集合\(X_{1}\times X_{2}\)上の二項関係\(\leq \)を定義します。ただし、\(<_{1}\)は\(\leq _{1}\)から定義される狭義順序です。以下の問いに答えてください。

1. \(\left( X_{1}\times X_{2},\leq \right) \)が半順序集合であることを証明してください（20点）。
2. \(\left( X_{1},\leq _{1}\right) \)と\(\left( X_{2},\leq _{2}\right) \)がともに全順序集合である場合には、\(\left(X_{1}\times X_{2},\leq \right) \)もまた全順序集合であることを証明してください（10点）。

実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、以下の条件\begin{equation*}\exists m\in \mathbb{Z} ,\ \exists n\in \mathbb{Z} \backslash \left\{ 0\right\} :x=\frac{m}{n}
\end{equation*}が成り立つ場合、\(x\)を有理数と呼びます。つまり、2つの整数の商の形で表される実数を有理数と呼ぶということです。以上を踏まえたとき、任意の有理数は、互いに素な2つの整数である\(m\in \mathbb{Z} \)および\(n\in \mathbb{Z} \backslash \left\{ 0\right\} \)の商\(\frac{m}{n}\)として表現可能であることを証明してください。ただし、証明では整列原理を利用してください。

任意の正の整数は素数どうしの積として表現されることを証明してください。ただし、証明では整列原理を利用してください。