シリアル・ディクテーターシップの効率性
非分割財の分配問題が環境\begin{equation*}
\left( I,H,\left\{ \succsim _{i}\right\} _{i\in I},A,\left\{ \succsim
_{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \right\} _{i\in I}\right)
\end{equation*}として表現されているものとします。ただし、\(I\)はプレイヤー集合、\(H\)は商品集合、\(\succsim _{i}\)はプレイヤー\(i\)が商品どうしを比較する選好関係、\(A\)は配分集合、\(\succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \)はプレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好関係です。特に、任意のプレイヤー\(i\in I\)に関して非外部性と私的価値を仮定する（私的価値モデル）場合には、任意の2つの配分\(a_{I},a_{I}^{\prime }\in A\)に対して以下の関係\begin{equation*}a_{I}\succsim _{i}^{A}[\succsim _{I}]\ a_{I}^{\prime }\Leftrightarrow
a_{i}\succsim _{i}a_{i}^{\prime }
\end{equation*}が成り立つため、プレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好\(\succsim_{i}^{A}[\succsim _{I}]\)について考えるかわりに、プレイヤー\(i\)が商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)について考えても一般性は失われません。
非分割財の分配問題におけるメカニズムとは、エージェントたちが申告する選好からなる組\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)に対して、何らかの配分\begin{equation*}\phi \left( \succsim _{I}\right) =\left( \phi _{i}\left( \succsim
_{I}\right) \right) _{i\in I}\in A
\end{equation*}を1つずつ選ぶ写像\begin{equation*}
\phi :\mathcal{R}_{I}\rightarrow A
\end{equation*}として定式化されます。メカニズムを設計することとは、この写像\(\phi \)の具体的な形状を定めることを意味します。非分割財の分配問題における代表的なメカニズムとしてシリアル・ディクテーターシップ（SDメカニズム）について解説しましたが、以下で簡単に復習します。
SDメカニズムについて分析する際には、多くの場合、私的価値モデルを分析対象にします。つまり、エージェントの選好について非外部性と私的価値の仮定を置くということです。この場合、任意のエージェント\(i\in I\)と任意の配分\(a_{I},a_{I}^{\prime }\in A\)に対して以下の関係\begin{equation*}a_{I}\succsim _{i}^{A}[\succsim _{I}]\ a_{I}^{\prime }\Leftrightarrow
a_{i}\succsim _{i}a_{i}^{\prime }
\end{equation*}が成り立つため、エージェント\(i\)が配分どうしを比較する選好\(\succsim _{i}^{A}[\succsim _{I}]\)について考えるかわりに、エージェント\(i\)が商品どうしを比較する選好\(\succsim_{i}\)について考えても一般性は失われません。さらに、それぞれのエージェント\(i\)が商品どうしを比較する\(\succsim _{i}\)が完備性、推移性、さらに狭義選好の仮定を満たすものとします。この場合、エージェント\(i\)は商品集合\(H\)の要素であるすべての商品を狭義選好\(\succ _{i}\)だけを用いて一列に並べることができます。つまり、すべての商品を最も望ましいものから最も望ましくないものまで順番に並べることができ、なおかつ、その中に同じ程度望ましい複数の商品は存在しないことを仮定するということです。
SDメカニズムとは、エージェントたちに優先順位を割り当てた上で、その順位にしたがってエージェントたちに、それぞれの時点において残されている商品の中から最も望ましい商品を1つずつ割り当てるメカニズムです。
エージェント集合\(I\)に属するエージェントたちに割り当てる優先順位を全単射\begin{equation*}f:\left\{ 1,\cdots ,\left\vert I\right\vert \right\} \rightarrow I
\end{equation*}として表現します。つまり、\(I\)に属するエージェントの中でも、優先順位が\(m\in \left\{ 1,\cdots,\left\vert I\right\vert \right\} \)であるようなエージェントは、\begin{equation*}f\left( m\right) \in I
\end{equation*}であるということです。このような優先順位をすべて集めることにより得られる集合を、\begin{equation*}
\mathcal{F}
\end{equation*}で表記します。\(f\in \mathcal{F}\)です。特に、\(\left\vert I\right\vert =n\)である場合、すなわち\(n\)人のエージェントが存在する場合には、エージェントたちに順位を割り当てるパターンは全部で\(n!\)通り存在するため、\begin{equation*}\left\vert \mathcal{F}\right\vert =n!
\end{equation*}が成り立ちます。
何らかの優先順位\(f\in \mathcal{F}\)に選んだとき、この\(f\)にもとづくSDメカニズムを、\begin{equation*}\phi ^{f}:\mathcal{R}_{I}\rightarrow A
\end{equation*}で表記するものと定めます。このメカニズム\(\phi ^{f}\)を以下のように定義します。
- 【ステップ\(1\)】エージェントたちが申告する選好の組が\(\succsim_{I}=\left( \succsim _{i}\right) _{i\in I}\)であるものとする。また、初期時点の商品集合を\(H_{1}=H\)で表記する。順位\(1\)のエージェント\(f\left( 1\right)\in I\)について、その人が申告した選好\(\succsim _{f\left(1\right) }\)のもとで、商品集合\(H_{1}\)に属する商品の中で最も望ましい商品が\(h\)であるならば、エージェント\(f\left( 1\right) \)に商品\(h\)を与える。残された商品からなる集合を\(H_{2}\)で表記する。
- 【ステップ\(2\)】順位\(2\)のエージェント\(f\left( 2\right)\in I\)について、その人が申告した選好\(\succsim _{f\left(2\right) }\)のもとで、商品集合\(H_{2}\)に属する商品の中で最も望ましい商品が\(h\)であるならば、エージェント\(f\left( 2\right) \)に商品\(h\)を与える。残された商品からなる集合を\(H_{3}\)で表記する。
- 【ステップ\(k\)】以上のプロセスを繰り返す。各ステップ\(k\)の内容は以下のように一般化される。まず、ステップ\(k\)の冒頭に残っている商品からなる集合が\(H_{k}\)であるものとする。順位\(k\)のエージェント\(f\left( k\right) \in I\)について、その人が申告した選好\(\succsim _{f\left( k\right) }\)のもとで、商品集合\(H_{k}\)に属する商品の中で最も望ましい商品が\(h\)であるならば、エージェント\(f\left( k\right) \)に商品\(h\)を与える。残された商品からなる集合を\(H_{k+1}\)で表記する。\(H_{k+1}\not=\phi \)ならば次のステップへ進み、\(H_{k+1}=\phi \)ならばプロセスを終了する。
- プロセスの終了後、それぞれのエージェント\(i\in I\)には商品が1つずつ与えられているため、それを\(\phi _{i}^{f}\left(\succsim _{I}\right) \)と定める。その結果、SDメカニズム\(\phi ^{f}\)が定める配分\(\phi ^{f}\left(\succsim _{I}\right) \)が得られる。
一定の条件のもとでは、SDメカニズムは以下のような望ましい性質を備えることを示しました。
今回は、SDメカニズムの効率性に注目します。
I=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}であり、商品集合が、\begin{equation*}
H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\}
\end{equation*}であるものとします。任意のエージェント\(i\in I\)の選好関係\(\succsim _{i}\)は完備性と推移性に加えて選好順序の仮定を満たすものとします。具体的には、エージェントたちの選好プロファイル\(\succsim_{I}\)が、\begin{eqnarray*}h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{4}\succ _{1}h_{1} \\
h_{4} &\succ &_{2}h_{1}\succ _{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{1} &\succ &_{3}h_{4}\succ _{3}h_{3}\succ _{3}h_{2} \\
h_{3} &\succ &_{4}h_{2}\succ _{4}h_{1}\succ _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。優先順位\(f\in \mathcal{F}\)が、\begin{eqnarray*}f\left( 1\right) &=&2 \\
f\left( 2\right) &=&3 \\
f\left( 3\right) &=&4 \\
f\left( 4\right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たすものとします。以上の\(f\)にもとづくSDメカニズム\(\phi ^{f}\)に直面したエージェントたちが先の選好プロファイル\(\succsim _{I}\)を申告する場合、SDメカニズムが選択する配分\(\phi^{f}\left( \succsim _{I}\right) \)は以下のように決定されます。まず、\begin{equation*}H_{1}=H
\end{equation*}です。順位\(1\)のエージェントは\(f\left( 1\right) =2\)ですが、彼が申告した選好\(\succsim _{2}\)のもとで\(H_{1}\)に属する商品の中で最も望ましい商品は\(h_{4}\)であるため、彼に\(h_{4}\)を与えます。その結果、残された商品からなる集合は、\begin{equation*}H_{2}=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3}\right\}
\end{equation*}となります。順位\(2\)のエージェントは\(f\left( 2\right) =3\)ですが、彼が申告した選好\(\succsim _{3}\)のもとで\(H_{2}\)に属する商品の中で最も望ましい商品は\(h_{1}\)であるため、彼に\(h_{1}\)を与えます。その結果、残された商品からなる集合は、\begin{equation*}H_{3}=\left\{ h_{2},h_{3}\right\}
\end{equation*}となります。順位\(3\)のエージェントは\(f\left( 3\right) =4\)ですが、彼が申告した選好\(\succsim _{4}\)のもとで\(H_{3}\)に属する商品の中で最も望ましい商品は\(h_{3}\)であるため、彼に\(h_{3}\)を与えます。その結果、残された商品からなる集合は、\begin{equation*}H_{4}=\left\{ h_{2}\right\}
\end{equation*}となります。順位\(4\)のエージェントは\(f\left( 4\right) =1\)ですが、彼が申告した選好\(\succsim _{1}\)のもとで\(H_{4}\)に属する商品の中で最も望ましい商品は\(h_{2}\)であるため、彼に\(h_{2}\)を与えます。その結果、残された商品からなる集合は、\begin{equation*}H_{5}=\phi
\end{equation*}となります。以上でプロセスが完了し、メカニズムが定める配分は、\begin{eqnarray*}
\phi ^{f}\left( \succsim _{I}\right) &=&\left( \phi _{1}^{f}\left( \succsim
_{I}\right) ,\phi _{2}^{f}\left( \succsim _{I}\right) ,\phi _{3}^{f}\left(
\succsim _{I}\right) ,\phi _{4}^{f}\left( \succsim _{I}\right) \right) \\
&=&\left( h_{2},h_{4},h_{1},h_{3}\right)
\end{eqnarray*}となります。SDメカニズムは外生的に与えられた優先順位\(f\)を用いて定義されるため、先の\(f\)とは異なる優先順位にもとづくSDメカニズムは先の\(\phi ^{f}\left(\succsim _{I}\right) \)とは異なる配分を導き得ます。具体例を挙げると、優先順位\(f^{\prime }\in \mathcal{F}\)が、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 1\right) &=&1 \\
f^{\prime }\left( 2\right) &=&2 \\
f^{\prime }\left( 3\right) &=&3 \\
f^{\prime }\left( 4\right) &=&4
\end{eqnarray*}を満たす場合、\(f^{\prime }\)にもとづくSDメカニズム\(\phi ^{f^{\prime }}\)に直面したエージェントたちが先の選好プロファイル\(\succsim_{I}\)を申告する場合、メカニズムが定める配分は、\begin{eqnarray*}\phi ^{f^{\prime }}\left( \succsim _{I}\right) &=&\left( \phi
_{1}^{f^{\prime }}\left( \succsim _{I}\right) ,\phi _{2}^{f^{\prime }}\left(
\succsim _{I}\right) ,\phi _{3}^{f^{\prime }}\left( \succsim _{I}\right)
,\phi _{4}^{f^{\prime }}\left( \succsim _{I}\right) \right) \\
&=&\left( h_{3},h_{4},h_{1},h_{2}\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\phi ^{f}\left( \succsim _{I}\right) \not=\phi ^{f^{\prime }}\left( \succsim
_{I}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。SDメカニズムは狭義事後効率性を満たすため、先の2つの配分\(\phi ^{f}\left(\succsim _{I}\right) ,\phi ^{f^{\prime }}\left( \succsim _{I}\right) \)はともに\(\succsim _{I}\)において狭義パレート効率的です。
シリアル・ディクテーターシップによる効率的配分の遂行
SDメカニズムは狭義事後効率的であるため、SDメカニズムが出力する配分は必ず狭義パレート効率的です。実は、逆の主張もまた成り立ちます。つまり、狭義パレート効率的な配分を任意に選んだとき、優先順位を上手く設定すれば、SDメカニズムを通じてその狭義パレート効率的な配分を実現できます。
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(\phi ^{f}:\mathcal{R}_{I}\rightarrow A\)は優先順位\(f\)にもとづくSDメカニズムである。
具体例を通じて、上の命題の証明において提示した手続きを再現します。
I=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}であり、商品集合が、\begin{equation*}
H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\}
\end{equation*}であるものとします。任意のエージェント\(i\in I\)の選好関係\(\succsim _{i}\)は完備性と推移性に加えて選好順序の仮定を満たすものとします。具体的には、エージェントたちの選好プロファイル\(\succsim_{I}\)が、\begin{eqnarray*}h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{4}\succ _{1}h_{1} \\
h_{4} &\succ &_{2}h_{1}\succ _{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{1} &\succ &_{3}h_{4}\succ _{3}h_{3}\succ _{3}h_{2} \\
h_{3} &\succ &_{4}h_{2}\succ _{4}h_{1}\succ _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。以下の配分\begin{equation*}
a_{I}=\left( h_{2},h_{4},h_{1},h_{3}\right)
\end{equation*}は\(\succsim _{I}\)のもとで狭義パレート効率的であるため、この配分をSDメカニズムを通じて遂行できるような優先順位\(f\)を特定します。\(a_{I}\)において自身にとって最も望ましい商品を得ているエージェントは\(2,3,4\)であるため、\begin{eqnarray*}f\left( 1\right) &=&2 \\
f\left( 2\right) &=&3 \\
f\left( 3\right) &=&4
\end{eqnarray*}を満たす優先順位\(f\)に注目します。残されたエージェントは\(1\)だけであるため、\begin{equation*}f\left( 4\right) =1
\end{equation*}と定めます。以上の優先順位\(f\)にもとづくSDメカニズム\(\phi ^{f}\)のもとでは、\begin{equation*}\phi ^{f}\left( \succsim _{I}\right) =\left( h_{2},h_{4},h_{1},h_{3}\right)
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\phi ^{f}\left( \succsim _{I}\right) =a_{I}
\end{equation*}を得ます。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
パレート効率的な配分の特徴づけ
以上の命題を踏まえると以下を得ます。
\end{equation*}が成り立つことは必要十分である。ただし、\(\phi ^{f}:\mathcal{R}_{I}\rightarrow A\)は優先順位\(f\)にもとづくSDメカニズムである。
優先順位の個数とパレート効率的な配分の個数の関係
選好プロファイル\(\succsim_{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を所与とした場合、先の命題より、\(\succsim _{I}\)のもとで狭義事後パレート効率的な配分からなる集合と、\(\succsim _{I}\)に対してSDメカニズム\(\phi ^{f}\)が定める配分からなる集合は一致します。では、狭義事後パレート効率的な配分の個数と、SDメカニズムを規定する優先順序\(f\)の個数は一致するのでしょうか。言い換えると、狭義事後パレート効率的な配分と優先順序の間には1対1の関係は成立するのでしょうか。エージェントの人数が\(\left\vert I\right\vert \)人である場合、優先順序\(f\)のパターンは全部で\(\left\vert I\right\vert !\)通り存在するため、主張が成り立つ場合、狭義事後パレート効率的な配分の個数もまた\(\left\vert I\right\vert !\)となります。
実際には、このような主張は成り立ちません。なぜなら、異なる優先順位\(f,f^{\prime }\)にもとづくSDメカニズムが同一の配分を導くこと、すなわち、\begin{equation*}\phi ^{f}\left( \succsim _{I}\right) =\phi ^{f^{\prime }}\left( \succsim
_{I}\right)
\end{equation*}が成り立つ事態が起こり得るからです。以下の例より明らかです。
I=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}であり、商品集合が、\begin{equation*}
H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\}
\end{equation*}であるものとします。エージェントたちの選好プロファイル\(\succsim _{I}\)が、\begin{eqnarray*}h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{4}\succ _{1}h_{1} \\
h_{4} &\succ &_{2}h_{1}\succ _{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{1} &\succ &_{3}h_{4}\succ _{3}h_{3}\succ _{3}h_{2} \\
h_{3} &\succ &_{4}h_{2}\succ _{4}h_{1}\succ _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}であるものとします。優先順位\(f\in \mathcal{F}\)が、\begin{eqnarray*}f\left( 1\right) &=&2 \\
f\left( 2\right) &=&3 \\
f\left( 3\right) &=&4 \\
f\left( 4\right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たす場合、\(f\)にもとづくSDメカニズム\(\phi ^{f}\)が出力する配分は、\begin{equation*}\phi ^{f}\left( \succsim _{I}\right) =\left( h_{2},h_{4},h_{1},h_{3}\right)
\end{equation*}です。他方で、優先順位\(f^{\prime }\in \mathcal{F}\)が、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 1\right) &=&3 \\
f^{\prime }\left( 2\right) &=&2 \\
f^{\prime }\left( 3\right) &=&4 \\
f^{\prime }\left( 4\right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たす場合、\(f^{\prime }\)にもとづくSDメカニズム\(\phi ^{f^{\prime }}\)が出力する配分は、\begin{equation*}\phi ^{f^{\prime }}\left( \succsim _{I}\right) =\left(
h_{2},h_{4},h_{1},h_{3}\right)
\end{equation*}です。以上より、\begin{equation*}
f \not=f^{\prime }
\end{equation*}である一方で、\begin{equation*}
\phi ^{f}\left( \succsim _{I}\right) =\phi ^{f^{\prime }}\left( \succsim
_{I}\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。
以上より、選好プロファイル\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を所与とした場合、\(\succsim_{I}\)のもとで狭義事後パレート効率的な配分の個数は、優先順位\(f\)のパターンの個数\(\left\vert I\right\vert !\)以下であることが明らかになりました。
演習問題
I=\left\{ 1,2,3,4\right\}
\end{equation*}であり、商品集合が、\begin{equation*}
H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\right\}
\end{equation*}であるものとします。エージェントたちの選好プロファイル\(\succsim _{I}\)が、\begin{eqnarray*}h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{4}\succ _{1}h_{1} \\
h_{4} &\succ &_{2}h_{1}\succ _{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{1} &\succ &_{3}h_{4}\succ _{3}h_{3}\succ _{3}h_{2} \\
h_{3} &\succ &_{4}h_{2}\succ _{4}h_{1}\succ _{4}h_{4}
\end{eqnarray*}を満たすものとします。優先順位\(f\in \mathcal{F}\)が、\begin{eqnarray*}f\left( 1\right) &=&2 \\
f\left( 2\right) &=&3 \\
f\left( 3\right) &=&4 \\
f\left( 4\right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たす場合、\(f\)にもとづくSDメカニズム\(\phi ^{f}\)が先の\(\succsim _{I}\)に対して出力する配分は、\begin{equation*}\phi ^{f}\left( \succsim _{I}\right) =\left( h_{2},h_{4},h_{1},h_{3}\right)
\end{equation*}です。他方、優先順位\(f^{\prime }\in \mathcal{F}\)が、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 1\right) &=&1 \\
f^{\prime }\left( 2\right) &=&2 \\
f^{\prime }\left( 3\right) &=&3 \\
f^{\prime }\left( 4\right) &=&4
\end{eqnarray*}を満たす場合、\(f^{\prime }\)にもとづくSDメカニズム\(\phi ^{f}\)が先の\(\succsim _{I}\)に対して出力する配分は、\begin{equation*}\phi ^{f^{\prime }}\left( \succsim _{I}\right) =\left(
h_{3},h_{4},h_{1},h_{2}\right)
\end{equation*}です。私的価値モデルを想定する場合、\(\phi ^{f}\left( \succsim _{I}\right) \)と\(\phi ^{f^{\prime }}\left(\succsim _{I}\right) \)がともに\(\succsim _{I}\)のもとで狭義パレート効率的であることを、狭義パレート効率性の定義にもとづいて確認してください。
I=\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であり、商品集合が、\begin{equation*}
H=\left\{ h_{1},h_{2},h_{3}\right\}
\end{equation*}であるものとします。エージェントたちの選好プロファイル\(\succsim _{I}\)が、\begin{eqnarray*}h_{3} &\succ &_{1}h_{2}\succ _{1}h_{1} \\
h_{1} &\succ &_{2}h_{2}\succ _{2}h_{3} \\
h_{1} &\succ &_{3}h_{3}\succ _{3}h_{2}
\end{eqnarray*}を満たすものとします。私的価値モデルを想定します。以下の問いに答えてください。
- エージェントの間の優先順位\(f\in \mathcal{F}\)は全部で何パターン存在するでしょうか。
- \(\succsim _{I}\)のもとで狭義事後パレート効率的な配分は全部で何パターン存在するでしょうか。
- 問1で求めた個数が、問2で求めた個数以上であることを確認してください。
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