ある商品が 2 つの企業によってのみ供給される複占市場において、カルテルを形成せずに競争する企業が互いに商品の価格を決定する状況を想定します。同質財の複占市場における価格競争をモデル化したこのモデルをベルトラン競争と呼びます。

ベルトランの価格競争モデル

クールノー競争が想定する状況とは、ある商品が 2 つの企業によってのみ供給される複占市場において、カルテルを形成せずに競争する企業が互いに商品の生産量を決定するというものです。では、同様の状況において、2 つの企業が商品の生産量ではなく価格を決定する場合にはどうなるでしょうか。まずは状況をモデル化します。

前提として、まずはこの市場において、企業が提示する商品の価格に対して商品の需要がどのように決まるかを記述します。市場の需要関数を\(q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)で表します。つまり、商品の価格が\(p\geq 0\)である場合には、この市場において商品の需要が\(q\left( p\right) \geq 0\)で均衡するということです。

両企業はこの市場において同じ商品を供給していますが、販売価格は各々が独自に決定します。では、両企業がそれぞれ価格を提示したとき、それに対して企業間のシェアはどのように決まるでしょうか。両企業が同じ商品を供給している状況を想定しているため、消費者はいずれも、より安い価格を提示した企業からその価格で商品を購入するものと考えるのがもっともらしいでしょう。つまり、企業\(1,2\)がそれぞれ価格\(p_{1},p_{2}\)を提示するとき、\(p_{1}<p_{2}\)の場合にはすべての消費者は企業\(1\)から商品を価格\(p_{1}\)で購入し、\(p_{2}>p_{1}\)の場合にはすべての消費者は企業\(2\)から商品を価格\(p_{2}\)で購入するということです。また、\(p_{1}=p_{2}\)の場合には、消費者の半数が企業\(1\)から、残りの半数は企業\(2\)から商品を価格\(p_{1}\ \left( =p_{2}\right) \)で購入するものと仮定します。

以上を踏まえると、両企業が提示する価格の組\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、そのときに企業\(1\)が得る需要\(q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}\)を特定する関数を\(q_{1}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)で表すと、これは、\begin{equation*}
q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
q\left( p_{1}\right) & \left( if\quad p_{1}<p_{2}\right) \\ \frac{q\left( p_{1}\right) }{2} & \left( if\quad p_{1}=p_{2}\right) \\ 0 & \left( if\quad p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と特定されます。同様に、企業\(2\)が供給する商品への需要を表す関数\(q_{2}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\quad p_{1}<p_{2}\right) \\ \frac{q\left( p_{2}\right) }{2} & \left( if\quad p_{1}=p_{2}\right) \\ q\left( p_{2}\right) & \left( if\quad p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と特定されます。ただし、\(q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は市場の需要関数です。

ここで特筆すべきは、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)が供給する商品への需要を表す関数\(q_{i}\)は、2 つの企業による価格\(p_{1},p_{2}\)をともに変数として持っている点です。つまり、企業\(1\)は自身が提示する価格\(p_{1}\)を変化させることを通じて自身が供給する商品への需要を変化させることができますが、同時に競争相手である企業\(2\)による提示価格\(p_{1}\)もまた企業\(1\)が供給する商品への需要に影響を与えます。企業\(2\)の立場からも同様のことが言えます。つまり、それぞれの企業にとって、自身が供給する商品への需要は自身の行動だけでなく相手の行動によっても左右されるという意味において、プレイヤーである両企業の間には戦略的相互依存関係が成立しています。こうした事情もあり、この複占市場のゲーム理論の分析対象となります。

続いて、この市場において商品を供給する 2 つの企業の生産コストがどのように決まるかを記述します。企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数を\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)で表します。つまり、企業\(i\)が商品を\(q_{i}\geq 0\)だけ市場に供給するためには費用が\(c_{i}\left( q_{i}\right) \geq 0\)だけかかるということです。

需要関数\(q\left( p\right) \)によって特徴づけられる商品市場において、費用関数\(c_{i}\left( q_{i}\right) \)によって特徴づけられるコスト構造を持つそれぞれの企業\(i\)が自身の利潤を最大化するように価格\(p_{i}\)を選択する状況を想定します。ただし両企業は互いにカルテルを結ぶことはできず、両者の間には価格に関する拘束的合意が成立しないものとします。また各企業は競争相手が提示する価格を観察できない状態で自身の価格を決定するものとします。

繰り返しになりますが、完全競争市場では企業が商品の市場価格を所与として意志決定を行うのに対し、複占市場には商品を供給する企業が 2 つしか存在せず、企業\(1,2\)が財の価格\(p_{1},p_{2}\)をそれぞれ選択すると市場において需要が\(q\left( p_{\min \{1,2\}}\right) \)で均衡します。つまり、複占企業が選択する価格の組に応じて商品の需要が変化し得るという意味において、複占企業は価格支配力を持ちます。ただし、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)が操作可能であるのは自身が提示する価格\(p_{i}\)だけであり、競争相手\(j\ \left( \not=i\right) \)が提示する価格\(p_{j}\)を直接操作することはできません。

企業\(1,2\)が提示する価格の組が\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)であるとき、企業\(1\)は価格\(p_{1}\)で商品を\(q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \)だけ供給できるため、企業\(1\)の収入は\(p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \)となります。その一方で、商品を\(q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \)だけ供給するために企業\(1\)が負担すべき費用は\(c_{1}\left( q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \right) \)ですので、このとき企業\(1\)が得る利潤は、収入から費用を差し引いて得られる、\begin{equation*}
p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) -c_{1}\left( q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
p_{1}\cdot q\left( p_{1}\right) -c_{1}\left( q\left( p_{1}\right) \right) & \left( if\quad p_{1}<p_{2}\right) \\ p_{1}\cdot \frac{q\left( p_{1}\right) }{2}-c_{1}\left( \frac{q\left( p_{1}\right) }{2}\right) & \left( if\quad p_{1}=p_{2}\right) \\ -c_{1}\left( 0\right) & \left( if\quad p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。同様に、\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)のもとで企業\(2\)が得る利潤は、\begin{equation*}
p_{2}\cdot q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) -c_{2}\left( q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-c_{2}\left( 0\right) & \left( if\quad p_{1}<p_{2}\right) \\ p_{2}\cdot \frac{q\left( p_{2}\right) }{2}-c_{2}\left( \frac{q\left( p_{2}\right) }{2}\right) & \left( if\quad p_{1}=p_{2}\right) \\ p_{2}\cdot q\left( p_{2}\right) -c_{2}\left( q\left( p_{2}\right) \right) & \left( if\quad p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。企業\(1\)は競争相手である企業\(2\)が提示する価格\(p_{2}\)を操作できないため、\(p_{2}\)の値を所与としながら自身の利潤を最大化するような価格\(p_{1}\)を選択します。つまり、企業\(1\)が解くべき最大化問題は、\begin{equation*}
\max_{p_{1}\geq 0}\ p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) -c_{1}\left( q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \right)
\end{equation*}となります。同様に考えると、企業\(2\)が直面する最大化問題は、\(p_{1}\)の値を所与としながら自身の利潤を最大化するような価格\(p_{2}\)を選択するという最大化問題\begin{equation*}
\max_{p_{2}\geq 0}\ p_{2}\cdot q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) -c_{2}\left( q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) \right)
\end{equation*}です。

このような状況において各企業はどのような意思決定を行うでしょうか。同質財の複占市場における価格競争に関するこのモデルをベルトラン競争(Bertrand competition)と呼びます。ベルトラン競争はフランスの数学者であり経済学者でもあったジョゼフ・ベルトラン(Joseph Louis Bertrand)が1883年に発表したモデルです。

 

完備情報の静学ゲームとしてベルトラン競争

ベルトラン競争が想定する状況を 2 つの複占企業をプレイヤーとするゲームと解釈します。独占禁止法などによってカルテルが禁じられている場合には、企業の間に価格に関する拘束的合意が成立しません。したがってベルトラン競争は非協力ゲームです。さらに、2 つの企業は事前に相談することはできず、各自が相手の価格を観察できない状態で自身の価格を決定するのであればベルトラン競争は静学ゲームです。また、市場の需要関数、両企業の費用関数、さらに両者の目的が利潤の最大化であることなど、ゲームのルールを左右する要素が両企業にとって共有知識であるならば、ベルトラン競争は完備情報の静学ゲームとして記述されます。

そこで、ベルトラン競争を以下のような戦略型ゲーム\(G\)としてモデル化します。まず、ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は\(I=\{1,2\}\)です。ただし、\(i\in I\)は複占企業\(i\)を表します。また、企業\(i\)の純戦略集合を\(S_{i}=\mathbb{R} _{+}\)と定めます。つまり、それぞれの企業\(i\)は商品の価格として任意の非負の実数\(p_{i}\geq 0\)を選択できます。プレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}\left( p_{1},p_{2}\right) \)としては様々な可能性がありますが、典型的なものは利潤を利得と同一視するというものです。この場合、\begin{eqnarray*}
u_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) &=&p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) -c_{1}\left( q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \right) \\
u_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) &=&p_{2}\cdot q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) -c_{2}\left( q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) \right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(p_{i}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は企業\(i\ \left( =1,2\right) \)が供給する商品への需要関数であり、任意の\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)において、\begin{equation*}
q_{i}\left( p_{1},p_{2}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
q\left( p_{i}\right) & \left( if\quad p_{i}<p_{j}\right) \\ \frac{q\left( p_{i}\right) }{2} & \left( if\quad p_{i}=p_{j}\right) \\ 0 & \left( if\quad p_{i}>p_{j}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。ただし、\(q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は市場の需要関数です。また、\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は企業\(i\)の費用関数です。

 

最もシンプルなベルトラン競争のモデル

最もシンプルなクールノー競争のモデルにおいて、市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、それぞれの総供給量\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}
p\left( q\right) =a-bq
\end{equation*}という均衡価格を定めるものとしました。ただし、\(a,b>0\)です。ベルトラン競争の分析においても、分析を容易にするため、またクールノー競争との比較を視野に入れて、まずはこの線型の逆需要関数を採用します。

ただし、分析を容易にするために逆需要関数の逆関数である需要関数も活用します。先の線型の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は連続な単調減少関数であるため、その逆関数である需要関数\(q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)が存在します。具体的には、この需要関数はそれぞれの価格\(p\geq 0\)に対して、\begin{equation*}
q\left( p\right) =\frac{a-p}{b}
\end{equation*}という均衡需要を定めます。需要関数と逆需要関数はお互いが相手の逆関数であるため、価格と数量の任意の組\(\left( p,q\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
p=p\left( q\right) \ \Leftrightarrow \ q=q\left( p\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、需要関数と逆需要関数は価格と数量に関する同じ関係を表しているため、以降では必要に応じて両者を使い分けます。

最もシンプルなクールノー競争のモデルにおいて、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、自身のそれぞれの生産量\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}
c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i}\quad \left( i=1,2\right)
\end{equation*}という費用を定めるものとしました。ただし、\(a>c>0\)です。つまり、両企業は一定かつ等しい限界費用を持つという仮定です。ベルトラン競争の分析においても、分析を容易にするため、またクールノー競争との比較を視野に入れて、まずはこの費用関数を採用します。

図:シンプルなベルトラン競争モデル
図:シンプルなベルトラン競争モデル

上の需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)もしくは逆需要関数\(q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)によって特徴づけられる商品市場において、やはり上の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)によって特徴づけられるコスト構造を持つそれぞれの企業\(i\ \left( =1,2\right) \)が自身の利得を最大化するように価格\(p_{i}\)を選択する状況を想定します。ただし両企業はカルテルを結ぶことはできず、両者の間には価格に関する拘束的合意が成立しないものとします。また、各企業は競争相手の価格を観察できない状態で自身の生産量を決定するものとします。

以上の仮定のもとで、ベルトラン競争を戦略型ゲーム\(G\)として定式化します。まず、ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は\(I=\{1,2\}\)です。ただし、\(i\in I\)は複占企業\(i\)を表します。また、企業\(i\)の純戦略集合を\(S_{i}=\mathbb{R} _{+}\)と定めます。つまり、それぞれの企業\(i\)は商品の価格として任意の非負の実数\(p_{i}\geq 0\)を選択できます。プレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}\left( p_{1},p_{2}\right) \)としては様々な可能性がありますが、典型的なものは利潤を利得と同一視するというものです。両企業は生産した商品をすべて市場に供給するのであれば、企業\(1\)の利得関数\(u_{1}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は、それぞれの\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\(p_{1}<p_{2}\)の場合には、\begin{eqnarray*} u_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) -c_{1}\left( q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \right) \\ &=&p_{1}\cdot q\left( p_{1}\right) -c_{1}\left( q\left( p_{1}\right) \right) \quad \because q_{1}\text{の定義} \\ &=&p_{1}\cdot \frac{a-p_{1}}{b}-c\cdot \frac{a-p_{1}}{b}\quad \because q,c_{1}\text{の定義} \\ &=&\frac{\left( p_{1}-c\right) \left( a-p_{1}\right) }{b} \end{eqnarray*}を定め、\(p_{1}=p_{2}\)の場合には、\begin{eqnarray*} u_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) -c_{1}\left( q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \right) \\ &=&p_{1}\cdot \frac{q\left( p_{1}\right) }{2}-c_{1}\left( \frac{q\left( p_{1}\right) }{2}\right) \quad \because q_{1}\text{の定義} \\ &=&p_{1}\cdot \frac{a-p_{1}}{2b}-c\cdot \frac{a-p_{1}}{2b}\quad \because q,c_{1}\text{の定義} \\ &=&\frac{\left( p_{1}-c_{1}\right) \left( a-p_{1}\right) }{2b} \end{eqnarray*}を定め、\(p_{2}>p_{1}\)の場合には、\begin{eqnarray*}
u_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) -c_{1}\left( q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \right) \\
&=&p_{1}\cdot 0-c_{1}\left( 0\right) \quad \because q_{1}\text{の定義} \\
&=&p_{1}\cdot 0-c\cdot 0\quad \because q,c_{1}\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、\begin{equation*}
u_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{\left( p_{1}-c\right) \left( a-p_{1}\right) }{b} & \left( if\quad p_{1}<p_{2}\right) \\ \frac{\left( p_{1}-c\right) \left( a-p_{1}\right) }{2b} & \left( if\quad p_{1}=p_{2}\right) \\ 0 & \left( if\quad p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。同様に考えると、企業\(2\)の利得関数\(u_{2}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}
u_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\quad p_{1}<p_{2}\right) \\ \frac{\left( p_{2}-c\right) \left( a-p_{2}\right) }{2b} & \left( if\quad p_{1}=p_{2}\right) \\ \frac{\left( p_{2}-c\right) \left( a-p_{2}\right) }{2} & \left( if\quad p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。ただし、\(a,b,c>0\)はいずれも定数であり、\(a>c\)が成り立つものとします。

次回はベルトラン競争におけるナッシュ均衡、すなわちベルトラン均衡を導出します。

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