ベルトラン競争（複占市場における価格競争）

複占市場における価格競争（ベルトラン競争）

同質財が2つの企業によって供給される複占市場において企業どうしが数量競争を行う状況をクールノー競争と呼ばれるモデルとして定式化するとともに、そこでのナッシュ均衡を求めました。では、同様の市場において企業が商品の供給量ではなく価格を決定する場合には何が起こるでしょうか。その場合にもナッシュ均衡は存在するでしょうか。また、ナッシュ均衡が存在する場合、それはどのような性質を備えているのでしょうか。順番に考えます。

2つの企業が同質財を供給している状況を想定します。つまり、2つの企業が供給する商品は機能や品質の面において差がないため、価格が同じ場合には、消費者はどちらの企業からその商品を購入しても構いません。逆に、価格が異なる場合には、価格以外の要素に差はないため、消費者は安いほうを購入することになります。

同質財を供給する2つの企業が競争する場合、競争の形態として以下の2つが考えられます。

1つ目は、両企業が自社製品の供給量を決定する数量競争です。同質財市場を想定しているため、この場合、消費者はどちらの企業から商品を購入しても構わないことになります。したがって、両企業による供給量の和が市場全体の供給量になり、それに対応する市場価格のもとで各社は自身が選択した供給量に等しい数量を販売することになります。このような競争をクールノー競争（Cournot competition）と呼びます。クールノー競争についてはすでに解説しました。

2つ目は、両企業が自社製品の価格を決定する価格競争です。同質財市場を想定しているため、この場合、消費者はより安い価格を設定した企業から商品を購入することになります。したがって、両企業が提示した価格のうちの安い方がそのまま市場価格になり、その価格のもとでの市場需要のすべてを安い価格を提示した企業が総取りすることになります。このような競争をベルトラン競争（Bertrand competition）と呼びます。本節の対象はベルトラン競争です。

2つの企業の間でベルトラン競争とクールノー競争のどちらが行われるかは市場条件に依存します。ベルトラン競争ではより安い価格を提示した企業が需要を総取りしますが、このような想定を可能にするためには、個々の企業は市場需要のすべてに応えるほど十分な生産能力を持ち合わせており、獲得した需要に応じて生産量を柔軟に変更できる必要があります。一方、個々の企業の生産能力に制約がある場合には、競争相手よりも安価かつ大量に販売することがそもそも不可能であるため、企業は限られた生産能力の枠内で数量競争を行うことになります。

ベルトラン競争のモデル化

前提として、ベルトラン競争が行われる市場において商品の価格と需要がどのように決まるかを記述します。市場の逆需要関数が、\begin{equation*}
p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}で与えられているものとします。つまり、商品の総供給量が\(q\geq 0\)である場合には、商品の市場価格が、\begin{equation*}p\left( q\right) \geq 0
\end{equation*}で均衡するということです。逆需要関数\(p\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists \overline{q}>0,\ \forall q>0:\left[ q\geq
\overline{q}\Rightarrow p\left( q\right) =0\right] \\
&&\left( b\right) \ \exists \overline{p}>0:p\left( 0\right) =\overline{p} \\
&&\left( c\right) \ p\text{は}\left[ 0,\overline{q}\right] \text{上で連続かつ}[0,\overline{q})\text{上で}C^{1}\text{級} \\
&&\left( d\right) \ p\text{は}[0,\overline{q})\text{上で狭義単調減少}
\end{eqnarray*}を満たすものとします。

条件\(\left( a\right) \)は、商品の総供給量\(q\)がある正の値\(\overline{q}\)以上になると商品の均衡価格が\(0\)になるということです。消費者が消費できる量には限りがあるため、需要と供給の関係を考慮すると当然の仮定です。条件\(\left( b\right) \)は、商品が市場に供給されない場合の均衡価格が正であるということです。商品が消費者にとって価値を持つ限りにおいて、これは当然の結果です。条件\(\left(c\right) \)はテクニカルな仮定ですが、これと条件\(\left( a\right) \)より、逆需要関数\(p\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続であるとともに\(\mathbb{R} _{+}\backslash \left\{ \overline{q}\right\} \)上で\(C^{1}\)級になります。条件\(\left(d\right) \)は、総供給量\(q\)が増えるほど均衡価格\(p\left(q\right) \)が下落するということです。つまり、独占企業が右下がりの逆需要曲線に直面している状況を想定します。条件\(\left( c\right) \)を踏まえると、条件\(\left(d\right) \)を、\begin{equation*}\forall q\in \lbrack 0,\overline{q}):\frac{dp\left( q\right) }{dq}<0
\end{equation*}と表現することもできます。

以上の条件を満たす逆需要関数\(p\)のグラフ、すなわち逆需要曲線を以下に描きました。独占企業は逆需要曲線の形状を把握しているものとします。

先の条件を満たす市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)の定義域を\(\left[ 0,\overline{q}\right] \)へと縮小すると値域は\(\left[ 0,\overline{p}\right] \)になるとともに、得られた関数\begin{equation*}p:\left[ 0,\overline{q}\right] \rightarrow \left[ 0,\overline{p}\right] \end{equation*}は狭義単調減少関数になるため、その逆関数\begin{equation*}
p^{-1}:\left[ 0,\overline{p}\right] \rightarrow \left[ 0,\overline{q}\right] \end{equation*}が存在することが保証されます。以上を踏まえた上で、それぞれの\(p\geq 0\)に対して、\begin{equation*}q\left( p\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
p^{-1}\left( p\right) & \left( if\ 0\leq p\leq \overline{p}\right) \\
0 & \left( if\ p>\overline{p}\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を値として定める市場の需要関数\begin{equation*}
q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}を定義します。つまり、独占企業が商品の価格を\(p\geq 0\)と定めた場合に、市場の需要は、\begin{equation*}q\left( p\right) \geq 0
\end{equation*}で均衡するということです。需要関数\(q\)は逆需要関数\(p\)と同様に以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists \overline{p}>0,\ \forall p>0:\left[ p\geq
\overline{p}\Rightarrow q\left( p\right) =0\right] \\
&&\left( b\right) \ \exists \overline{q}>0:q\left( 0\right) =\overline{q} \\
&&\left( c\right) \ q\text{は}\left[ 0,\overline{p}\right] \text{上で連続かつ}[0,\overline{p})\text{上で}C^{1}\text{級} \\
&&\left( d\right) \ q\text{は}[0,\overline{p})\text{上で狭義単調減少}
\end{eqnarray*}を満たします。

条件\(\left( a\right) \)は、商品の価格\(p\)がある正の値\(\overline{p}\)以上になると商品の均衡数量が\(0\)になるということです。消費者の欲望や購買力には限りがあるため、これは当然の仮定です。条件\(\left( b\right) \)は、商品の価格がゼロである場合の需要が正であるということです。商品が消費者にとって価値を持つ限りにおいて、これは当然の結果です。条件\(\left( c\right) \)はテクニカルな仮定ですが、これと条件\(\left( a\right) \)より、需要関数\(p\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続であるとともに\(\mathbb{R} _{+}\backslash \left\{ \overline{p}\right\} \)上で\(C^{1}\)級になります。条件\(\left(d\right) \)は価格\(p\)が上昇するほど市場の需要\(q\left( p\right) \)が下落するということです。つまり、独占企業が右下がりの需要曲線に直面しているということです。条件\(\left( c\right) \)を踏まえると、条件\(\left( d\right) \)を、\begin{equation*}\forall p\in \left[ 0,\overline{p}\right) :\frac{dq\left( p\right) }{dp}<0
\end{equation*}と表現することもできます。

以上の条件を満たす需要関数\(p\)のグラフ、すなわち需要曲線を以下に描きました。関数\(q\)の変数である価格\(p\)が縦軸になっていることに注意してください。独占企業は需要関数\(q\)の形状を把握しているものとします。

逆関数の定義より、価格と数量の組\(\left( p,q\right)\in \left[ 0,\overline{p}\right] \times \left[ 0,\overline{q}\right] \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}p=p\left( q\right) \Leftrightarrow q=q\left( p\right)
\end{equation*}が成り立つことに注意してください。つまり、市場への供給量が\(q\)であるときの均衡価格が\(p\)であることと、価格が\(p\)であるときの市場の需要が\(q\)であることは必要十分であるということです。したがって、\(\left[ 0,\overline{p}\right] \times \left[ 0,\overline{q}\right] \)上の価格と数量の組\(\left( p,q\right) \)を議論の対象とする場合、逆需要関数\(q\)と需要関数\(p\)のどちらを利用しても一般性は失われません。以降では必要に応じて両者を使い分けます。

両企業はこの市場において同質財を供給していますが、販売価格は各々が独自に決定します。では、両企業がそれぞれ価格を提示したとき、それに対してそれぞれの企業が得る需要はどのように決まるでしょうか。両企業が同質財を供給している状況を想定しているため、消費者は安い価格を提示した企業からその価格で商品を購入することになります。つまり、企業\(1,2\)がそれぞれ価格\(p_{1},p_{2}\)を提示するとき、\(p_{1}<p_{2}\)の場合にはすべての消費者は企業\(1\)から商品を価格\(p_{1}\)で購入し（市場の需要\(q\left(p_{1}\right) \)のすべてを企業\(1\)が獲得する）、逆に\(p_{2}<p_{1}\)の場合にはすべての消費者は企業\(2\)から商品を価格\(p_{2}\)で購入する（市場の需要\(q\left(p_{2}\right) \)のすべてを企業\(2\)が獲得する）ということです。また、\(p_{1}=p_{2}\)の場合には、消費者の半数が企業\(1\)から、残りの半数は企業\(2\)から商品を価格\(p_{1}\ \left( =p_{2}\right) \)で購入する（市場の需要の半分\(\frac{q\left( p_{1}\right) }{2}\)をそれぞれの企業が獲得する）ものと仮定します。

以上を踏まえると、両企業が提示する価格の組\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)に対して、そのときに企業\(1\)が得る需要\(q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \)を特定する関数を\(q_{1}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)と表記するのであれば、これはそれぞれの\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
q\left( p_{1}\right) & \left( if\quad p_{1}<p_{2}\right) \\
\dfrac{q\left( p_{1}\right) }{2} & \left( if\quad p_{1}=p_{2}\right) \\
0 & \left( if\quad p_{1}>p_{2}\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。同様に、企業\(2\)が得る需要を特定する関数\(q_{2}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(\left(p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \left( if\quad p_{1}<p_{2}\right) \\
\dfrac{q\left( p_{2}\right) }{2} & \left( if\quad p_{1}=p_{2}\right) \\
q\left( p_{2}\right) & \left( if\quad p_{1}>p_{2}\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。ただし、\(q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は市場の需要関数です。

特筆すべきは、それぞれの企業\(i\)が得る需要\(q_{i}\left( p_{1},p_{2}\right) \)は2つの企業が提示する価格\(p_{1},p_{2}\)を変数として持っていることです。つまり、企業\(1\)は自身が提示する価格の水準\(p_{1}\)を変化させることを通じて自身が得る需要を変化させることができますが、同時に競争相手である企業\(2\)が提示する価格水準\(p_{2}\)もまた自身が得る需要に影響を与えます。企業\(2\)の立場からも同様のことが言えます。つまり、それぞれの企業にとって、自身が得る需要は自身の行動だけでなく相手の行動によっても左右されるという意味において、プレイヤーである両企業の間には戦略的相互依存関係が成立しています。

続いて、この市場において商品を供給する2つの企業の生産コストがどのように決まるかを記述します。独占市場とは異なり複占市場では2つの企業が競争を行いますが、その事実が及ぼす影響だけを抽出するために、まずは、2つの企業が同一の生産技術を持っている状況を想定します。後ほど、両企業の技術力に差がある状況を分析します。

複占市場において商品を供給する2つの企業が同一の費用関数\begin{equation*}
c:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}を持っているものとします。つまり、企業\(i\)が商品を\(q_{i}\geq 0\)だけ市場に供給する場合、費用が、\begin{equation*}c\left( q_{i}\right) \geq 0
\end{equation*}だけかかるということです。費用関数\(c\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( e\right) \ c\left( 0\right) \geq 0 \\
&&\left( f\right) \ \forall q_{i}>0:c\left( q_{i}\right) >0 \\
&&\left( g\right) \ c\text{は}\mathbb{R} _{+}\text{上で}C^{1}\text{級} \\
&&\left( h\right) \ c\text{は}\mathbb{R} _{+}\text{上で狭義単調増加}
\end{eqnarray*}を満たすものとします。

条件\(\left( a\right) \)は、企業の固定費用が非負であることを意味します。条件\(\left( b\right) \)は、企業が商品を生産する場合の費用は正であることを意味します。条件\(\left( c\right) \)はテクニカルな仮定であり、費用関数\(c\)が\(\mathbb{R} _{+}\)上で微分可能であるとともに、その導関数\(\frac{dc_{i}}{dq_{i}}\)が\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続であることを意味します。費用関数\(c\)の導関数\(\frac{dc}{dq_{i}}\)を、\begin{equation*}MC:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}と表記することもでき、これを限界費用関数（marginal cost function）と呼びます。定義より、任意の\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}MC\left( q_{i}\right) =\frac{dc\left( q_{i}\right) }{dq_{i}}
\end{equation*}となりますが、これを\(q_{i}\)における限界費用（marginal cost）と呼びます。これは、企業が商品の供給量を\(q_{i}\)から\(1\)単位増やしたときの費用の変化を表す指標です。こちらの表記を利用すると、条件\(\left( h\right) \)を、\begin{equation*}\forall q_{i}\in \mathbb{R} _{+}:MC\left( q_{i}\right) >0
\end{equation*}と表現できます。限界費用は常に正であるということです。

以上の条件を満たす限界費用関数\(MC\)のグラフ、すなわち限界費用曲線を以下に描きました。

市場の逆需要関数\(p\)と企業の費用関数\(c\)の間には、以下の関係\begin{equation*}\exists q^{\ast }>0:p\left( q^{\ast }\right) =MC\left( q^{\ast }\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、市場の均衡価格が企業の限界費用と一致するような正の生産量が存在するということです。一般に、完全競争市場では企業の限界費用と市場の限界費用が一致します。したがって、上の仮定は、仮にこの市場が複占市場ではなく完全競争市場である場合においても、両企業は市場に参入し続けることが可能であることを意味します。

先の条件を満たす逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)および需要関数\(q:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)によって特徴づけられる商品市場において、先の条件を満たす費用関数\(c:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)によって特徴づけられるコスト構造を持つ2つの企業が自身の利潤を最大化するように価格\(p_{i}\)を選択する状況を想定します。ただし、両企業は互いにカルテルを結ぶことはできず、両者の間には価格に関する拘束的合意が成立しないものとします。また各企業は競争相手の価格を観察できない状態で自身の価格を決定しなければならない状況を想定します。

繰り返しになりますが、完全競争市場では企業が商品の市場価格を所与として意志決定を行うのに対し、複占市場には商品を供給する企業が2つしか存在せず、企業\(1,2\)が商品の価格\(p_{1},p_{2}\)をそれぞれ選択するとそれぞれの企業は需要\(q_{i}\left( p_{1},p_{2}\right) \)を得ます。つまり、2つの企業が提示する価格に応じて需要が変化し得るという意味において、複占企業は価格支配力を持ちます。ただし、企業\(i\ \left(=1,2\right) \)が操作可能であるのは自身が提示する価格\(p_{i}\)だけであり、競争相手\(j\ \left( \not=i\right) \)が提示する価格\(p_{j}\)を直接操作することはできません。

企業\(1,2\)がそれぞれ価格\(p_{1},p_{2}\)を提示すると企業\(1\)は需要\(q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \)を獲得するため、そこから収入\(p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \)を得ます。その一方で、商品を\(q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \)だけ供給するために企業\(1\)が負担すべき費用は\(c\left( q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \right) \)であるため、価格の組\(\left(p_{1},p_{2}\right) \)のもとで企業\(1\)が得る利潤は、収入から費用を差し引いて得られる、\begin{equation*}p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) -c\left( q_{1}\left(
p_{1},p_{2}\right) \right)
\end{equation*}となります。具体的には、\(p_{1}<p_{2}\)の場合には、\begin{equation*}p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) -c\left( q_{1}\left(
p_{1},p_{2}\right) \right) =p_{1}\cdot q\left( p_{1}\right) -c\left( q\left(
p_{1}\right) \right) \quad \because q_{1}\text{の定義}
\end{equation*}であり、\(p_{1}=p_{2}\)の場合には、\begin{equation*}p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) -c\left( q_{1}\left(
p_{1},p_{2}\right) \right) =p_{1}\cdot \frac{q\left( p_{1}\right) }{2}-c\left( \frac{q\left( p_{1}\right) }{2}\right) \quad \because q_{1}\text{の定義}
\end{equation*}であり、\(p_{2}>p_{1}\)の場合には、\begin{eqnarray*}p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) -c\left( q_{1}\left(
p_{1},p_{2}\right) \right) &=&p_{1}\cdot 0-c\left( 0\right) \quad \because
q_{1}\text{の定義} \\
&=&-c\left( 0\right)
\end{eqnarray*}となります。つまり、価格の組\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)のもとで企業\(1\)が得る利潤は、\begin{equation*}p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) -c\left( q_{1}\left(
p_{1},p_{2}\right) \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
p_{1}\cdot q\left( p_{1}\right) -c\left( q\left( p_{1}\right) \right) &
\left( if\ p_{1}<p_{2}\right) \\
p_{1}\cdot \dfrac{q\left( p_{1}\right) }{2}-c\left( \dfrac{q\left(
p_{1}\right) }{2}\right) & \left( if\ p_{1}=p_{2}\right) \\
-c\left( 0\right) & \left( if\ p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。企業\(1\)は競争相手である企業\(2\)が提示する価格\(p_{2}\)を操作できないため、\(p_{2}\)の値を所与としながら自身の利潤を最大化するような価格\(p_{1}\)を提示します。つまり、企業\(1\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(p_{2}\)に対して、\begin{equation*}\max_{p_{1}\geq 0}\ \left[ p_{1}\cdot q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right)
-c\left( q_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) \right) \right] \end{equation*}となります。同様に考えると、価格の組\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)のもとで企業\(2\)が得る利潤は、\begin{equation*}p_{2}\cdot q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) -c\left( q_{2}\left(
p_{1},p_{2}\right) \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-c\left( 0\right) & \left( if\quad p_{1}<p_{2}\right) \\
p_{2}\cdot \dfrac{q\left( p_{2}\right) }{2}-c\left( \dfrac{q\left(
p_{2}\right) }{2}\right) & \left( if\quad p_{1}=p_{2}\right) \\
p_{2}\cdot q\left( p_{2}\right) -c\left( q\left( p_{2}\right) \right) &
\left( if\quad p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であり、企業\(2\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(p_{1}\)に対して、\begin{equation*}\max_{p_{2}\geq 0}\ \left[ p_{2}\cdot q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right)
-c\left( q_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) \right) \right] \end{equation*}となります。

このような状況において各企業はどのような意思決定を行うでしょうか。同質財の複占市場における価格競争に関するこのモデルをベルトラン競争（Bertrand competition）と呼びます。ベルトラン競争はフランスの数学者であり経済学者でもあったジョゼフ・ベルトラン（Joseph Louis Bertrand）が 1883 年に発表したモデルです。

完備情報の静学ゲームとしてのベルトラン競争

ベルトラン競争が想定する状況を2つの複占企業をプレイヤーとするゲームと解釈します。独占禁止法などによってカルテルが禁じられている場合には、企業の間に価格に関する拘束的合意が成立しません。したがってベルトラン競争は非協力ゲームです。さらに、2つの企業は事前に相談することはできず、各自が相手の価格を観察できない状態で自身の価格を決定するのであればベルトラン競争は静学ゲームです。また、市場の需要関数および逆需要関数、両企業の費用関数、さらに両者の目的が利潤の最大化であることなど、ゲームのルールの要素が両企業にとって共有知識であるならば、ベルトラン競争は完備情報ゲームとして記述されます。

そこで、ベルトラン競争を以下のような戦略型ゲーム\(G\)としてモデル化します。まず、ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は、\begin{equation*}I=\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}です。ただし、\(i\in I\)は企業\(i\)を表します。また、企業\(i\)の純粋戦略集合を、\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}\end{equation*}と定めます。つまり、それぞれの企業\(i\)は商品の価格として任意の非負の実数\(p_{i}\geq 0\)を選択できます。プレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)としては様々な可能性がありますが、典型的なものは利潤を利得と同一視するというものです。つまり、両企業による純粋戦略からなるそれぞれの組\(\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}u_{1}\left( p_{1},p_{2}\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
p_{1}\cdot q\left( p_{1}\right) -c\left( q\left( p_{1}\right) \right) &
\left( if\ p_{1}<p_{2}\right) \\
p_{1}\cdot \dfrac{q\left( p_{1}\right) }{2}-c\left( \dfrac{q\left(
p_{1}\right) }{2}\right) & \left( if\ p_{1}=p_{2}\right) \\
-c\left( 0\right) & \left( if\ p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right. \\
u_{2}\left( p_{1},p_{2}\right) &=&\left\{
\begin{array}{cc}
-c\left( 0\right) & \left( if\quad p_{1}<p_{2}\right) \\
p_{2}\cdot \dfrac{q\left( p_{2}\right) }{2}-c\left( \dfrac{q\left(
p_{2}\right) }{2}\right) & \left( if\quad p_{1}=p_{2}\right) \\
p_{2}\cdot q\left( p_{2}\right) -c\left( q\left( p_{2}\right) \right) &
\left( if\quad p_{1}>p_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}を定めます。

ベルトラン競争の線型モデルにおけるナッシュ均衡（ベルトラン均衡）

ベルトラン競争におけるナッシュ均衡をベルトラン均衡（Bertrand Equilibrium）と呼びます。ベルトラン競争の線型モデルにおけるベルトラン均衡は以下の通りです。

ベルトラン競争における支配戦略

ベルトラン競争の線型モデルを描写する戦略型ゲーム\(G\)には広義の純粋戦略ナッシュ均衡\begin{equation*}\left( p_{1}^{\ast },p_{2}^{\ast }\right) =\left( c,c\right)
\end{equation*}が存在することが明らかになりました。では、このナッシュ均衡の均衡戦略\begin{equation*}
p_{i}^{\ast }=c
\end{equation*}は支配戦略であるとまで言えるのでしょうか。以下の例から明らかであるように、これは支配戦略ではありません。

仮に、ベルトラン競争に支配される戦略の逐次消去の解や支配戦略均衡が存在する場合、それはナッシュ均衡でなければなりません。ベルトラン均衡は唯一のナッシュ均衡であるため、ベルトラン均衡だけが支配される戦略の逐次消去の解や支配戦略均衡の候補となり得ます。ただし、以上の例から明らかになったように、それぞれのプレイヤー\(i\)にとってベルトラン均衡戦略\(p_{i}^{\ast }=c\)は支配戦略ではないため、結局、ベルトラン競争に支配される戦略の逐次消去の解や、支配戦略均衡は存在しないことが明らかになりました。

ベルトラン競争における戦略的補完性

ベルトラン競争の線型モデルを描写する戦略型ゲーム\(G\)における企業\(1\)の最適反応関数を、\begin{equation*}b_{1}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}で表記します。\(p_{1}=p_{2}\)を満たす価格の組\(\left(p_{1},p_{2}\right) \)を出発点として企業\(2\)が価格\(p_{2}\)を引き下げる場合、企業\(1\)は自身の価格\(p_{1}\)を引き下げなければ競争相手に需要をすべて奪われてしまうため、企業\(1\)にとっても価格を引き下げることが最適です。逆に、企業\(2\)が価格\(p_{2}\)を引き上げる場合、企業\(1\)はそれに追従して\(p_{1}<p_{2}\)を満たす範囲で自身の価格\(p_{1}\)を引き上げれば利潤を増やせるため、企業\(1\)にとっても価格を引き上げることが最適です。他の\(\left(p_{1},p_{2}\right) \)を出発点とした場合にも同様の議論が成り立つため、企業\(1\)の最適反応関数\(b_{1}\)は相手の価格\(p_{2}\)に関する増加関数になります。つまり、相手が価格を上げる場合には自分も価格を上げたほうがよく、逆に相手が価格を下げる場合には自分も価格を下げたほうがよいという構造になっています。相手と同じ行動をしたほうが良いということです。

企業\(2\)の最適反応関数\begin{equation*}b_{2}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}についても同様の議論が成り立ちます。つまり、企業\(2\)の最適反応関数\(b_{2}\)は相手の価格\(p_{1}\)に関する増加関数であるため、相手が価格を上げる場合には自分も価格を上げたほうがよく、逆に相手が価格を下げる場合には自分も価格を下げたほうがよいという構造になっています。

以上の議論から明らかになったように、ベルトラン競争においては、各企業は相手と同じ行動をしたほうが良い構造になっています。このような状態を指して、ベルトラン競争では戦略的補完性（strategic complements）が成立していると言います。

演習問題