正則行列（可逆行列）と逆行列

正則行列と逆行列

大きさが同じ2つの正方行列\(A,B\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、行列積の定義より、\(AB\)と\(BA\)がともに定義可能です。ただ、一般には、\begin{equation*}AB=BA
\end{equation*}という関係は成立するとは限りません。行列積は交換律を満たさないということです。以下の例より明らかです。

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、以下の条件\begin{equation*}AB=BA=I_{n}
\end{equation*}を満たす正方行列\(B\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在する場合には、\(A\)を正則行列（regular matrix）や可逆行列（invertible matrix）または非特異行列（non-singular matrix）などと呼びます。ただし、\(I_{n}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は単位行列です。

行列\(A,B\)について行列積\(AB,BA\)がともに定義可能であるためには\(A\)と\(B\)が同じ大きさの正方行列である必要があります。したがって、正方行列だけが正則になり得ることに注意してください。

正方行列\(A\)に対して\(AB=BA\)を満たす正方行列\(B\)が存在する一方で、そのような任意の\(B\)について、行列積\(AB\)が単位行列にはならないケースは存在します。この場合にも\(A\)は正則ではありません。

逆行列

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が正則である場合には、定義より、以下の条件\begin{equation*}AB=BA=I_{n}
\end{equation*}を満たす正方行列\(B\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在します。これを\(A\)の逆行列（inversematrix）と呼び、\begin{equation*}
A^{-1}
\end{equation*}で表記します。つまり、正方行列\(A\)の逆行列\(A^{-1}\)とは、以下の条件\begin{equation*}AA^{-1}=A^{-1}A=I_{n}
\end{equation*}を満たす正方行列として定義されます。

行列\(A\)が正則ではない場合、逆行列\(A^{-1}\)は存在しません。

正方行列が正則であることを判定する方法や、正則である場合に逆行列を具体的に求める方法については、必要な概念がそろった段階で改めて解説します。

正則行列と逆行列の関係

2つの正方行列\(A,B\)について、\(B\)が\(A\)の逆行列であることと、\(A\)が\(B\)の逆行列であることは必要十分です。

逆行列の一意性

正方行列\(A\)が正則である場合、その逆行列\(A^{-1}\)は一意的に定まります。

逆行列の逆行列

正方行列\(A\)が正則である場合、その逆行列\(A^{-1}\)が存在します。逆行列の定義より、\(A^{-1}\)は\(A\)と同じ大きさの正方行列であるため、\(A^{-1}\)が正則であるか検討できますが、この場合、\(A^{-1}\)は正則であるとともに、その逆行列\(\left( A^{-1}\right) ^{-1}\)がもとの正方行列\(A\)と一致することが保証されます。

正則行列の積の逆行列

大きさが同じ2つの正方行列\(A,B\)がともに正則であるものとします。つまり、逆行列\(A^{-1},B^{-1}\)がそれぞれ存在するということです。\(A,B\)は同じ大きさをもつ正方行列であるため行列積\(AB\)をとることができ、なおかつこれは\(A,B\)と同じ大きさの正方行列であるため、\(AB\)が正則であるか検討できます。加えて、逆行列の定義より、\(A^{-1},B^{-1}\)もまた\(A,B\)と同じ大きさを持つ正方行列であるため、その積\(B^{-1}A^{-1}\)をとることができ、これもまた\(A,B\)と同じ大きさを持つ正方行列です。このとき、\(AB\)が正則であるとともに、その逆行列\(\left( AB\right) ^{-1}\)が\(B^{-1}A^{-1}\)と一致することが保証されます。

正則行列の転置の逆行列

正方行列\(A\)が正則であるものとします。つまり、逆行列\(A^{-1}\)が存在するということです。\(A\)の転置\(A^{t}\)をとることができますが、転置の定義より、\(A^{t}\)は\(A\)と同じ大きさの正方行列です。したがって\(A^{t}\)が正則であるか検討できます。逆行列\(A^{-1}\)は\(A\)と同じ大きさの正方行列であり、その転置\(\left( A^{-1}\right) ^{t}\)をとることができますが、これもまた\(A\)と同じ大きさの正方行列です。このとき、転置\(A^{t}\)は正則であるとともに、その逆行列\(\left( A^{t}\right) ^{-1}\)は\(\left( A^{-1}\right) ^{t}\)と一致することが保証されます。

ゼロ行やゼロ列を持つ行列は正則ではない

行列である\(A\in M_{m,p}\left( \mathbb{R} \right) \)および\(B\in M_{p,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、\(A\)の列の個数と\(B\)の行の個数はともに\(p\)で等しいため行列積\begin{equation*}AB\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が定義可能です。\(A\)の行の中にゼロベクトルが存在する場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :\mathrm{row}\left( A,i\right)
=\left( 0,\cdots ,0\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(AB\)の行の中にもゼロベクトルが存在することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :\mathrm{row}\left( AB,i\right)
=\left( 0,\cdots ,0\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

行列である\(A\in M_{m,p}\left( \mathbb{R} \right) \)および\(B\in M_{p,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、\(A\)の列の個数と\(B\)の行の個数はともに\(p\)で等しいため行列積\begin{equation*}AB\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が定義可能です。\(B\)の列の中にゼロベクトルが存在する場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\mathrm{col}\left( B,j\right)
=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(AB\)の列の中にもゼロベクトルが存在することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\exists j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\mathrm{col}\left( AB,j\right)
=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

以上の2つの命題を踏まえると以下を得ます。

演習問題