同質財を生産する複占市場における数量競争をモデル化したゲームをクールノー競争と呼び、そこでのナッシュ均衡をクールノー均衡と呼びます。

クールノーの数量競争モデル

ある商品が2つの企業によってのみ供給される複占市場において、カルテルを形成せずに競争する企業が互いに商品の生産量を決定する状況を想定します。

前提として、まずはこの市場において商品の価格がどのように決まるかを記述します。市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの総供給量\(q\geq 0\)に対して、\begin{equation*}
p\left( q\right) =a-bq\geq 0
\end{equation*}という均衡価格を定めるものとします。ただし、\(a\)と\(b\)はともに正の定数です。つまり、企業\(1\)による供給量が\(q_{1}\)、企業\(2\)による供給量が\(q_{2}\)であるとき、市場への商品の総供給量は\(q_{1}+q_{2}\)となりますが、それらはすべて価格\(p\left( q_{1}+q_{2}\right) \)で消費者に売却されるということです。一般に、小規模かつ数多くの生産者が参入している完全競争市場では、個々の企業が商品の供給量を変えても価格に影響を与えることはできません。一方、複占企業では商品が2つの企業によってのみ供給されるため、それぞれの企業が供給量を変化させると商品の市場価格も変化します。上のモデルはこのような事情を反映したものになっています。

仮定より、両企業が商品を市場に供給しない場合の均衡価格は\(p\left( 0\right) =a>0\)という正の値ですが、問題としている商品が消費者にとって価値を持つ限りにおいて、これは当然の仮定です。\(b>0\)であるため逆需要関数は狭義の減少関数です。つまり、総供給量\(q\)が増えるほど均衡価格\(p\left( q\right) \)が下落します。需要と供給の関係を考慮するとこれもまた当然の仮定です。また、総需要曲線は線型であるため、総供給量\(q\)が増えるにつれて均衡価格\(p\left( q\right) \)は等しい割合で下落します。加えて、総供給量\(q\)が\(\frac{a}{b}\)以上になると商品の均衡価格が\(p\left( q\right) =0\)で一定になります。消費者が消費できる量には限りがあるため、需要と供給の関係を考慮するとこれもまた当然の仮定です。

特筆すべきは、商品の均衡価格\(p\left( q_{1}+q_{2}\right) \)が2つの企業による供給量\(q_{1},q_{2}\)を変数として持っていることです。つまり、企業\(1\)は自らの供給量\(q_{1}\)を変化させることを通じて商品の価格を変化させることができますが、同時に競争相手である企業\(2\)による供給量\(q_{2}\)もまた商品の価格に影響を与えます。企業\(2\)の立場からも同様のことが言えます。つまり、それぞれの企業にとって、商品の価格は自身の行動だけでなく相手の行動によっても左右されるという意味において、プレイヤーである両企業の間には戦略的相互依存関係が成立しています。こうした事情もあり、この複占市場はゲーム理論の分析対象となります。

続いて、この市場において商品を供給する2つの企業の生産コストがどのように決まるかを記述します。企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は自身のそれぞれの生産量\(q_{i}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}
c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i}
\end{equation*}という費用を定めるものとします。ただし、\(c\)は正の定数です。つまり、企業\(i\)が商品を\(q_{i}\)だけ市場に供給する場合、費用が\(c_{i}\left( q_{i}\right) \)だけかかるということです。企業\(i\)が商品を生産しない場合の費用は\(c_{i}\left( 0\right) =0\)ですが、これは企業の固定費用が\(0\)であることを意味します。また、任意の\(q_{i}\geq 0\)において、\begin{equation*}
\frac{dc_{i}\left( q_{i}\right) }{dq_{i}}=c
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、企業は生産量に依存しない共通の限界費用\(c>0\)を持つということです。これをテクニカルに表現すると、両企業はともに規模に関して収穫一定の技術を持つということです。

加えて、市場の逆需要曲線を規定する定数\(a\)と、両企業に共通する限界費用\(c\)の間には、\begin{equation*}
a>c
\end{equation*}という関係が成り立つものとします。このとき、\begin{equation*}
p\left( \frac{a-c}{b}\right) =c
\end{equation*}を満たす正の実数\(\frac{a-c}{b}>0\)が存在します。この関係を下に図示しました。

図:クールノー競争
図:クールノー競争

つまり、企業の限界費用と市場の均衡価格が一致するような正の生産量\(\frac{a-c}{b}\)が存在するということです。一般に、完全競争市場では企業の限界費用と市場の均衡価格が一致します。したがって、上の仮定は、仮にこの市場が複占市場ではなく完全競争市場である場合においても、両企業は市場に参入し続けることが可能であることを意味します。

逆需要関数\(p\left( q\right) \)によって特徴づけられる商品市場において、費用関数\(c_{i}\left( q_{i}\right) \)によって特徴づけられるコスト構造を持つそれぞれの企業\(i\)が自身の利潤を最大化するように供給量\(q_{i}\)を選択する状況を想定します。ただし、すでに記述したように、市場の逆需要曲線が線型であるとともに、両企業は一定かつ等しい限界費用を持つものと仮定します。加えて、両企業は互いにカルテルを結ぶことはできず、両者の間には生産量に関する拘束的合意が成立しないものとします。また各企業は競争相手の生産量を観察できない状態で自身の生産量を決定するものとします。

繰り返しになりますが、完全競争市場では企業が商品の市場価格を所与として意志決定を行うのに対し、複占市場には商品を供給する企業が2つしか存在せず、企業\(1,2\)が商品の供給量\(q_{1},q_{2}\)をそれぞれ選択すると市場において商品の価格が\(p\left( q_{1}+q_{2}\right) \)で均衡します。つまり、複占企業が選択する供給量に応じて商品の価格が変化し得るという意味において、複占企業は価格支配力を持ちます。ただし、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)が操作可能であるのは自身の供給量\(q_{i}\)だけであり、競争相手\(j\ \left( \not=i\right) \)の供給量\(q_{j}\)を直接操作することはできません。つまり、複占企業は市場の総供給量を完全に操作できるわけではなく、それゆえ商品の市場価格を完全に自由に操作できるわけではありません。

企業\(1,2\)がそれぞれ供給量\(q_{1},q_{2}\)を選択すると商品の価格は\(p\left( q_{1}+q_{2}\right) \)で均衡するため、企業\(1\)は収入\(p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot q_{1}\)を得ます。その一方で、商品を\(q_{1}\)だけ供給するために企業\(1\)が負担すべき費用は\(c_{1}\left( q_{1}\right) \)であるため、生産量の組\(\left( q_{1},q_{2}\right) \)のもとで企業\(1\)が得る利潤は、収入から費用を差し引いて得られる、\begin{eqnarray*}
p\left( q_{1}+q_{2}\right) \cdot q_{1}-c_{1}\left( q_{1}\right) &=&\left[
a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) \right] \cdot q_{1}-c\cdot q_{1}\quad \because
p,c_{1}\text{の定義} \\
&=&\left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) -c\right] \cdot q_{1}
\end{eqnarray*}となります。企業\(1\)は競争相手である企業\(2\)による生産量\(q_{2}\)を操作できないため、\(q_{2}\)の値を所与としながら自身の利潤を最大化するような生産量\(q_{1}\)を選択します。つまり、企業\(1\)が解くべき最大化問題は、それぞれの\(q_{2}\)の値に対して、\begin{equation*}
\max_{q_{1}\geq 0}\ \left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) -c\right] \cdot q_{1}
\end{equation*}となります。同様に考えると、企業\(2\)が直面する最大化問題は、\(q_{1}\)の値を所与としながら自身の利潤を最大化するような生産量\(q_{2}\)を選択するという最大化問題\begin{equation*}
\max_{q_{2}\geq 0}\ \left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) -c\right] \cdot q_{2}
\end{equation*}です。繰り返しますが、\(a,b,c>0\)はいずれも定数であり、\(a>c\)が成り立ちます。

このような状況において各企業はどのような意思決定を行うでしょうか。同質財の複占市場における数量競争に関するこのモデルをクールノー競争(Cournot competition)と呼びます。クールノー競争はフランスの経済学者であり数学者でもあったアントワーヌ・オーギュスタン・クールノー(Antoine Augustin Cournot)が1838年に発表したモデルです。

 

完備情報の静学ゲームとしてクールノー競争

クールノー競争が想定する状況を2つの複占企業をプレイヤーとするゲームと解釈します。独占禁止法などによってカルテルが禁じられている場合には、企業の間に生産量に関する拘束的合意が成立しません。したがってクールノー競争は非協力ゲームです。さらに、2つの企業は事前に相談することはできず、各自が相手の供給量を観察できない状態で自身の供給量を決定するのであればクールノー競争は静学ゲームです。また、市場の逆需要関数、両企業の費用関数、さらに両者の目的が利潤の最大化であることなど、ゲームのルールの要素が両企業にとって共有知識であるならば、クールノー競争は完備情報の静学ゲームとして記述されます。

そこで、クールノー競争を以下のような戦略型ゲーム\(G\)としてモデル化します。まず、ゲーム\(G\)のプレイヤー集合は\(I=\{1,2\}\)です。ただし、\(i\in I\)は企業\(i\)を表します。また、企業\(i\)の純粋戦略集合を\(S_{i}=\mathbb{R} _{+}\)と定めます。つまり、それぞれの企業\(i\)は商品の供給量として任意の非負の実数\(q_{i}\geq 0\)を選択できます。プレイヤー\(i\)の利得関数\(u_{i}:S_{1}\times S_{2}\rightarrow \mathbb{R} \)としては様々な可能性がありますが、典型的なものは利潤を利得と同一視するというものです。この場合、それぞれの\(\left( q_{1},q_{2}\right) \in S_{1}\times S_{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}
u_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&\left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) -c\right] \cdot q_{1} \\
u_{2}\left( q_{1},q_{2}\right) &=&\left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) -c\right] \cdot q_{2}
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(a,b,c>0\)はいずれも定数であり、\(a>c\)が成り立ちます。

 

クールノー均衡

クールノー競争におけるナッシュ均衡クールノー均衡(Cournot Equilibrium)と呼びます。以下では、先に解説したシンプルなクールノー競争のモデル(市場の逆需要曲線が線型であるとともに、両企業が一定かつ等しい限界費用を持つ)におけるクールノー均衡を導出します。

まずは企業\(1\)の純粋戦略最適反応関数\(b_{1}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)を導出します。企業\(2\)の純粋戦略である生産量\(q_{2}\geq 0\)を任意に選んだとき、それに対する企業\(1\)の純粋戦略最適反応は、\(q_{2}\)を所与とした場合の以下の最大化問題\begin{equation*}
\max_{q_{1}\in
\mathbb{R} _{+}}u_{1}\left( q_{1},q_{2}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{q_{1}\in
\mathbb{R} _{+}}\left[ a-b\left( q_{1}+q_{2}\right) -c\right] \cdot q_{1}
\end{equation*}の解です。目的関数を変数\(q_{1}\)について整理すると、\begin{equation*}
u_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) =-bq_{1}^{2}+\left( a-bq_{2}-c\right) q_{1}
\end{equation*}となります。このとき、\begin{align*}
& \frac{\partial u_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) }{\partial q_{1}}=-2bq_{1}+a-bq_{2}-c \\
& \frac{\partial ^{2}u_{2}\left( q_{1},q_{2}\right) }{\partial q_{1}^{2}}=-2b<
<0
\end{align*}となるため、\(u_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) \)は\(q_{1}\)に関する狭義凹関数です。したがって、大域的最適のための十分条件より、\begin{equation*}
\frac{\partial u_{1}\left( q_{1},q_{2}\right) }{\partial q_{1}}=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
-2bq_{1}+a-bq_{2}-c=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
q_{1}=\frac{a-bq_{2}-c}{2b}
\end{equation*}が\(q_{2}\)に対する純粋戦略最適反応となります。任意の\(q_{2}\geq 0\)に対して同様の議論が成立するため、企業\(1\)の純粋戦略最適反応関数\(b_{1}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(q_{2}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}
b_{1}\left( q_{2}\right) =\frac{a-bq_{2}-c}{2b}
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。企業\(2\)についても同様の議論が成立します。つまり、企業\(2\)の純粋戦略最適反応関数\(b_{2}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(q_{1}\geq 0\)に対して、\begin{equation*}
b_{2}\left( q_{1}\right) =\frac{a-bq_{1}-c}{2b}
\end{equation*}を定めます。純粋戦略の組\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)が純粋戦略ナッシュ均衡である場合、\begin{eqnarray*}
q_{1}^{\ast } &=&b_{1}\left( q_{2}^{\ast }\right) \\
q_{2}^{\ast } &=&b_{2}\left( q_{1}^{\ast }\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
q_{1}^{\ast } &=&\frac{a-bq_{2}^{\ast }-c}{2b} \\
q_{2}^{\ast } &=&\frac{a-bq_{1}^{\ast }-c}{2b}
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。これを解くと、\begin{equation*}
q_{1}^{\ast }=q_{2}^{\ast }=\frac{a-c}{3b}
\end{equation*}を得ます。以上がクールノー均衡です。なお、仮定より\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)であることから、\begin{equation*}
\frac{a-c}{3b}>0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、クールノー均衡において両企業はともに正の量の商品を生産します。

命題(クールノー均衡)
クールノー競争を表す戦略型ゲーム\(G\)において、市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q\geq 0:p\left( q\right) =a-bq
\end{equation*}を満たし、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q_{i}\geq 0:c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i}
\end{equation*}を満たす。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。このゲーム\(G\)には純粋戦略ナッシュ均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)が存在し、\begin{equation*}
q_{1}^{\ast }=q_{2}^{\ast }=\frac{a-c}{3b}>0
\end{equation*}となる。
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クールノー競争を強く支配される戦略の逐次消去で解く

クールノー競争\(G\)には純粋戦略ナッシュ均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)が存在し、それは、\begin{equation}
q_{1}^{\ast }=q_{2}^{\ast }=\frac{a-c}{3b} \tag{1}
\end{equation}を満たすことを示しましたが、実は、このゲーム\(G\)は強く支配される戦略の逐次消去によって解くこともできます。一般に、強く支配される戦略の逐次消去によって一意的な純粋戦略の組が導かれるとき、それは純粋戦略ナッシュ均衡と一致します。したがって、クールノー競争\(G\)を強く支配される戦略の逐次消去によって解くことで得られる解はクールノー均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)と一致するはずです。以下で確認します。

初期ゲーム\(G\)におけるそれぞれの企業の純粋戦略集合は、\begin{equation}
S_{1}=S_{2}=\mathbb{R} _{+} \tag{1}
\end{equation}です。企業\(1\)の純粋戦略最適反応\(b_{1}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は企業\(2\)による生産量\(q_{2}\geq 0\)に対して、\begin{equation}
b_{1}\left( q_{2}\right) =\frac{a-bq_{2}-c}{2b} \tag{2}
\end{equation}を定めます。したがって、ゲーム\(G\)において企業\(1\)の純粋最適戦略反応がとり得る値の範囲は、\begin{eqnarray*}
b_{1}\left( S_{2}\right) &=&\left\{ b_{1}\left( q_{2}\right) \in S_{1}\ |\
q_{2}\in S_{2}\right\} \\
&=&\left\{ \frac{a-bq_{2}-c}{2b}\in
\mathbb{R} _{+}\ |\ q_{2}\in
\mathbb{R} _{+}\right\} \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\left[ 0,\frac{a-c}{2b}\right] \end{eqnarray*}となるため、純粋戦略\(q_{1}=\frac{a-c}{2b}\)はそれより大きい任意の純粋戦略\(q_{1}\in S_{1}\)を強く支配します。したがってプレイヤー\(1\)の純粋戦略集合\(S_{1}\)から\(\frac{a-c}{2b}\)より大きい任意の値を消去できます。企業\(2\)についても同様です。つまり、企業\(2\)の純粋戦略最適反応\(b_{2}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は企業\(1\)による生産量\(q_{1}\geq 0\)に対して、\begin{equation}
b_{2}\left( q_{1}\right) =\frac{a-bq_{1}-c}{2b} \tag{3}
\end{equation}を定めるため、それがとり得る値の範囲は、\begin{eqnarray*}
b_{2}\left( S_{1}\right) &=&\left\{ b_{2}\left( q_{1}\right) \in S_{2}\ |\
q_{1}\in S_{1}\right\} \\
&=&\left\{ \frac{a-bq_{1}-c}{2b}\in
\mathbb{R} _{+}\ |\ q_{1}\in
\mathbb{R} _{+}\right\} \quad \because \left( 1\right) ,\left( 3\right) \\
&=&\left[ 0,\frac{a-c}{2b}\right] \end{eqnarray*}となるため、純粋戦略\(q_{2}=\frac{a-c}{2b}\)はそれより大きい任意の純粋戦略\(q_{2}\in S_{2}\)を強く支配します。したがってプレイヤー\(2\)の純粋戦略集合\(S_{2}\)から\(\frac{a-c}{2b}\)より大きい任意の値を消去できます。以上の戦略を消去すると、第\(1\)期のゲーム\(G_{1}\)におけるそれぞれのプレイヤーの純粋戦略集合は、\begin{equation}
S_{1}^{1}=S_{2}^{1}=\left[ 0,\frac{a-c}{2b}\right] \tag{4}
\end{equation}となります。ゲーム\(G_{1}\)において2人のプレイヤーがとり得る純粋戦略の組からなる集合が下図のグレーの領域として表されています。

図:第1期のゲーム
図:第1期のゲーム

ゲーム\(G_{1}\)において企業\(1\)の純粋最適戦略反応がとり得る値の範囲は、\begin{eqnarray*}
b_{1}\left( S_{2}^{1}\right) &=&\left\{ b_{1}\left( q_{2}\right) \in
S_{1}^{1}\ |\ q_{2}\in S_{2}^{1}\right\} \\
&=&\left\{ \frac{a-bq_{2}-c}{2b}\in \left[ 0,\frac{a-c}{2b}\right] \ |\
0\leq q_{2}\leq \frac{a-c}{2b}\right\} \quad \because \left( 2\right)
,\left( 4\right) \\
&=&\left[ \frac{a-c}{4b},\frac{a-c}{2b}\right] \end{eqnarray*}となるため、純粋戦略\(q_{1}=\frac{a-c}{4b}\)はそれより小さい任意の純粋戦略\(q_{1}\in S_{1}^{1}\)を強く支配します。したがってプレイヤー\(1\)の純粋戦略集合\(S_{1}^{1}\)から\(\frac{a-c}{4b}\)より小さい任意の値を消去できます。企業\(2\)についても同様です。つまり、ゲーム\(G_{1}\)において企業\(2\)の純粋最適戦略反応がとり得る値の範囲は、\begin{eqnarray*}
b_{2}\left( S_{1}^{1}\right) &=&\left\{ b_{2}\left( q_{1}\right) \in
S_{2}^{1}\ |\ q_{1}\in S_{1}^{1}\right\} \\
&=&\left\{ \frac{a-bq_{1}-c}{2b}\in \left[ 0,\frac{a-c}{2b}\right] \ |\
0\leq q_{1}\leq \frac{a-c}{2b}\right\} \quad \because \left( 2\right)
,\left( 4\right) \\
&=&\left[ \frac{a-c}{4b},\frac{a-c}{2b}\right] \end{eqnarray*}となるため、純粋戦略\(q_{2}=\frac{a-c}{4b}\)はそれより小さい任意の純粋戦略\(q_{2}\in S_{2}^{1}\)を強く支配します。したがってプレイヤー\(2\)の純粋戦略集合\(S_{2}^{1}\)から\(\frac{a-c}{4b}\)より小さい任意の値を消去できます。以上の戦略を消去すると、第\(2\)期のゲーム\(G_{2}\)におけるそれぞれのプレイヤーの純粋戦略集合は、\begin{equation*}
S_{1}^{2}=S_{2}^{2}=\left[ \frac{a-c}{4b},\frac{a-c}{2b}\right] \end{equation*}となります。ゲーム\(G_{2}\)において2人のプレイヤーがとり得る純粋戦略の組からなる集合が下図のグレーの領域として表されています。

図:第2期のゲーム
図:第2期のゲーム

同様のプロセスを繰り返してゲームを\(G\rightarrow G_{1}\rightarrow G_{2}\rightarrow G_{3}\rightarrow \)と縮小していったとき、最終的に両者には純粋戦略\(\frac{a-c}{3b}\)だけが残ります(確認してください)。したがってこのゲーム\(G\)は強く支配される戦略の逐次消去によって解くことができ、最終的に得られる解は\begin{equation*}
\left( q_{1},q_{2}\right) =\left( \frac{a-c}{3b},\frac{a-c}{3b}\right)
\end{equation*}となりますが、これは先に求めたクールノー均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)と一致します。

命題(支配される戦略の逐次消去によるクールノー競争の解)
クールノー競争を表す戦略型ゲーム\(G\)において、市場の逆需要関数\(p:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q\geq 0:p\left( q\right) =a-bq
\end{equation*}を満たし、企業\(i\ \left( =1,2\right) \)の費用関数\(c_{i}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は、\begin{equation*}
\forall q_{i}\geq 0:c_{i}\left( q_{i}\right) =c\cdot q_{i}
\end{equation*}を満たす。ただし、\(a,b,c>0\)かつ\(a>c\)である。このゲーム\(G\)は強く支配される戦略の逐次消去によって解くことができ、その解は、クールノー均衡\(\left( q_{1}^{\ast },q_{2}^{\ast }\right) \)と一致する。すなわち、\begin{equation*}
q_{1}^{\ast }=q_{2}^{\ast }=\frac{a-c}{3b}
\end{equation*}が成り立つ。
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次回はクールノー均衡が完全競争均衡と比較して非効率的であることを示します。

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