連続型確率変数の分布関数
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて写像\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、もとの可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)において標本点\(\omega \in \Omega \)が実現した場合、その事実をもう一方の可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)上に存在する実数\(X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \)に変換して表現する状況を想定します。ただし、\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族です。加えて、\(X\)は絶対連続型の確率変数であるものとします。
写像\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が確率変数であることは、以下の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in B\right\}
\in \mathcal{F}
\end{equation*}を満たすこととして定義されます。つまり、変換後の可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)において可測な集合、すなわちボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、「\(X\)の実現値が集合\(B\)に属する」という事象がもとの可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)において可測になることが保証される場合には、\(X\)を確率変数と呼ぶということです。以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、「確率変数\(X\)の実現値が\(B\)に属する」という事象の確率\begin{equation*}P\left( X\in B\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega
\right) \in B\right\} \right)
\end{equation*}を必ず特定できます。
写像\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が確率変数であるために満たすべき先の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in B\right\}
\in \mathcal{F}
\end{equation*}は、以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \leq x\right\} \in
\mathcal{F}
\end{equation*}と必要十分です。つまり、実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、「\(X\)の実現値が\(x\)以下になる」という事象がもとの可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)において可測になることは、写像\(X\)が確率変数であるための必要十分条件です。以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、「確率変数\(X\)の実現値が\(x\)以下になる」という事象の確率\begin{equation*}P\left( X\leq x\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left(
\omega \right) \leq x\right\} \right)
\end{equation*}を必ず特定できます。このような事情を踏まえると、それぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =P\left( X\leq x\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを確率変数\(X\)の分布関数（distribution function）と呼びます。
確率変数\(X\)が絶対連続型であることとは、その分布関数\(F_{X}\)が\(\mathbb{R} \)上の絶対連続関数であることを意味します。ただし、分布関数\(F_{X}\)が絶対連続関数であることと、以下の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :P\left( X\in B\right) =\int_{B}f_{X}\left( x\right) dx
\end{equation*}を満たすルベーグ積分可能な関数\begin{equation*}
f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}が存在することは必要十分です。その上で、この関数\(f_{X}\)を確率変数\(X\)の確率密度関数（probability density function）と呼びます。関数\(f_{X}\)が確率変数\(X\)の確率密度関数であることと、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :F_{X}\left( x\right) =\int_{-\infty }^{x}f_{X}\left( t\right) dt
\end{equation*}が成り立つことは必要十分です。
例（絶対連続型の確率変数）
標本空間が有界閉区間\begin{equation*}
\Omega =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、事象空間が\(\left[ 0,1\right] \)上のボレル集合族\begin{equation*}\mathcal{F}=\mathfrak{B}\left( \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}であり、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)としてボレル測度を採用すれば、これらの組\begin{equation*}\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}は確率空間になります。「\(0\)以上\(1\)以下の実数を1つランダムに選んだ上で選ばれた値を観察する」という試行に興味がある場合、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\omega
\end{equation*}を値として定める写像\begin{equation*}
X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を導入することになります。この写像の値域は、\begin{equation*}
X\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}です。\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left\{ \omega \in \left[ 0,1\right] \ |\ X\left( \omega \right) \leq
x\right\} &=&\left\{ \omega \in \left[ 0,1\right] \ |\ \omega \leq
x\right\} \quad \because X\text{の定義} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\phi & \left( if\ x<0\right) \\
\left[ 0,x\right] & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
\left[ 0,1\right] & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right. \\
&\in &\mathcal{F}\quad \because \mathcal{F}\text{はボレル集合族}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(X\)は確率変数です。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}F_{X}\left( x\right) &=&P\left( \left\{ \omega \in \left[ 0,1\right] \ |\
X\left( \omega \right) \leq x\right\} \right) \quad \because \text{分布関数の定義} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
P\left( \phi \right) & \left( if\ x<0\right) \\
P\left( \left[ 0,x\right] \right) & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
P\left( \left[ 0,1\right] \right) & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right. \quad \because P\text{はボレル測度}
\end{eqnarray*}です。関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \lbrack 0,+\infty )\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この場合、\(x<0\)を満たす\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\int_{-\infty }^{x}f_{X}\left( t\right) dt &=&\int_{-\infty }^{x}0dt\quad
\because x<0\text{および}f_{X}\text{の定義} \\
&=&0 \\
&=&F_{X}\left( x\right) \quad \because x<0\text{および}F_{X}\text{の定義}
\end{eqnarray*}となり、\(0\leq x\leq 1\)を満たす\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\int_{-\infty }^{x}f_{X}\left( t\right) dt &=&\int_{-\infty
}^{0}0dt+\int_{0}^{x}1dt\quad \because 0\leq x\leq 1\text{および}f_{X}\text{の定義} \\
&=&\left[ t\right] _{0}^{x} \\
&=&x-0 \\
&=&x \\
&=&F_{X}\left( x\right) \quad \because 0\leq x\leq 1\text{および}F_{X}\text{の定義}
\end{eqnarray*}となり、\(x>1\)を満たす\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\int_{-\infty }^{x}f_{X}\left( t\right) dt &=&\int_{-\infty
}^{0}0dt+\int_{0}^{1}1dt+\int_{1}^{x}0dt\quad \because x>1\text{および}f_{X}\text{の定義} \\
&=&\left[ t\right] _{0}^{1} \\
&=&1-0 \\
&=&1 \\
&=&F_{X}\left( x\right) \quad \because x>1\text{および}F_{X}\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。以上より、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :F_{X}\left( x\right) =\int_{-\infty }^{x}f_{X}\left( t\right) dt
\end{equation*}が成り立つことが明らかになったため、\(f_{X}\)は\(X\)の確率密度関数です。したがって、\(X\)は絶対連続型の確率変数であることが明らかになりました。
\Omega =\left[ 0,1\right] \end{equation*}であり、事象空間が\(\left[ 0,1\right] \)上のボレル集合族\begin{equation*}\mathcal{F}=\mathfrak{B}\left( \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}であり、集合関数\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)としてボレル測度を採用すれば、これらの組\begin{equation*}\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}は確率空間になります。「\(0\)以上\(1\)以下の実数を1つランダムに選んだ上で選ばれた値を観察する」という試行に興味がある場合、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\omega
\end{equation*}を値として定める写像\begin{equation*}
X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を導入することになります。この写像の値域は、\begin{equation*}
X\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}です。\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left\{ \omega \in \left[ 0,1\right] \ |\ X\left( \omega \right) \leq
x\right\} &=&\left\{ \omega \in \left[ 0,1\right] \ |\ \omega \leq
x\right\} \quad \because X\text{の定義} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\phi & \left( if\ x<0\right) \\
\left[ 0,x\right] & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
\left[ 0,1\right] & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right. \\
&\in &\mathcal{F}\quad \because \mathcal{F}\text{はボレル集合族}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(X\)は確率変数です。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}F_{X}\left( x\right) &=&P\left( \left\{ \omega \in \left[ 0,1\right] \ |\
X\left( \omega \right) \leq x\right\} \right) \quad \because \text{分布関数の定義} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
P\left( \phi \right) & \left( if\ x<0\right) \\
P\left( \left[ 0,x\right] \right) & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
P\left( \left[ 0,1\right] \right) & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right. \quad \because P\text{はボレル測度}
\end{eqnarray*}です。関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \lbrack 0,+\infty )\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この場合、\(x<0\)を満たす\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\int_{-\infty }^{x}f_{X}\left( t\right) dt &=&\int_{-\infty }^{x}0dt\quad
\because x<0\text{および}f_{X}\text{の定義} \\
&=&0 \\
&=&F_{X}\left( x\right) \quad \because x<0\text{および}F_{X}\text{の定義}
\end{eqnarray*}となり、\(0\leq x\leq 1\)を満たす\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\int_{-\infty }^{x}f_{X}\left( t\right) dt &=&\int_{-\infty
}^{0}0dt+\int_{0}^{x}1dt\quad \because 0\leq x\leq 1\text{および}f_{X}\text{の定義} \\
&=&\left[ t\right] _{0}^{x} \\
&=&x-0 \\
&=&x \\
&=&F_{X}\left( x\right) \quad \because 0\leq x\leq 1\text{および}F_{X}\text{の定義}
\end{eqnarray*}となり、\(x>1\)を満たす\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\int_{-\infty }^{x}f_{X}\left( t\right) dt &=&\int_{-\infty
}^{0}0dt+\int_{0}^{1}1dt+\int_{1}^{x}0dt\quad \because x>1\text{および}f_{X}\text{の定義} \\
&=&\left[ t\right] _{0}^{1} \\
&=&1-0 \\
&=&1 \\
&=&F_{X}\left( x\right) \quad \because x>1\text{および}F_{X}\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。以上より、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :F_{X}\left( x\right) =\int_{-\infty }^{x}f_{X}\left( t\right) dt
\end{equation*}が成り立つことが明らかになったため、\(f_{X}\)は\(X\)の確率密度関数です。したがって、\(X\)は絶対連続型の確率変数であることが明らかになりました。
分布関数から確率密度関数を導く方法
絶対連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、その分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)の間には以下の関係\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :F_{X}\left( x\right) =\int_{-\infty }^{x}f_{X}\left( t\right) dt
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、分布関数\(F_{X}\)が定義域上の点\(x\)に対して定める値は、確率密度関数\(f_{X}\)を無限閉区間\((-\infty ,x]\)上で積分することにより得られます。確率密度関数\(f_{X}\)が与えられれば、そこから分布関数\(F_{X}\)を導くことができるということです。逆に、分布関数\(F_{X}\)から確率密度関数\(f_{X}\)を導くことはできるでしょうか。
連続型の確率変数\(X\)の分布関数\(F_{X}\)は絶対連続関数であるため、\(F_{X}\)はほとんどいたるところで微分可能です。つまり、零集合\(A\subset \mathbb{R} \)が存在して、\(F_{X}\)は\(\mathbb{R} \backslash A\)上において微分可能になります。このような事情を踏まえると、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{dF_{X}\left( x\right) }{dx} & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash A\right) \\
0 & \left( if\ x\in A\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}が定義可能ですが、この関数\(f_{X}\)は\(X\)の確率密度関数になることが保証されます。
命題（分布関数から確率密度関数を導く方法）
絶対連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)とその分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。この場合、零集合\(A\subset \mathbb{R} \)が存在して、\(F_{X}\)は\(\mathbb{R} \backslash A\)上において微分可能である。そこで、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{dF_{X}\left( x\right) }{dx} & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash A\right) \\
0 & \left( if\ x\in A\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)を定義すれば、\(f_{X}\)は\(X\)の確率密度関数になる。
\begin{array}{cl}
\frac{dF_{X}\left( x\right) }{dx} & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash A\right) \\
0 & \left( if\ x\in A\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)を定義すれば、\(f_{X}\)は\(X\)の確率密度関数になる。
例（分布関数から確率密度関数を導く）
絶対連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right]
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(F_{X}\)は絶対連続関数であるため、ほとんどいたるところで微分可能です。実際、\(F_{X}\)が微分可能ではない点からなる集合\(\left\{ 0,1\right\} \)は有限集合であるため零集合です。\(F_{X}\)の導関数\(\frac{dF_{X}}{dx}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0,1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0,1\right\} \)に対して、\begin{equation*}\frac{dF_{X}\left( x\right) }{dx}=\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ 0<x<1\right) \\
0 & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。したがって先の命題より、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f_{X}\left( x\right) &=&\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{dF_{X}\left( x\right) }{dx} & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0,1\right\} \right) \\
0 & \left( if\ x\in \left\{ 0,1\right\} \right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0<x<1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}を定める関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)を定義すれば、これは\(X\)の確率密度関数になります。つまり、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :F_{X}\left( x\right) =\int_{-\infty }^{x}f_{X}\left( t\right) dt
\end{equation*}が成り立ちます（確認してください）。
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(F_{X}\)は絶対連続関数であるため、ほとんどいたるところで微分可能です。実際、\(F_{X}\)が微分可能ではない点からなる集合\(\left\{ 0,1\right\} \)は有限集合であるため零集合です。\(F_{X}\)の導関数\(\frac{dF_{X}}{dx}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0,1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0,1\right\} \)に対して、\begin{equation*}\frac{dF_{X}\left( x\right) }{dx}=\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ 0<x<1\right) \\
0 & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。したがって先の命題より、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f_{X}\left( x\right) &=&\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{dF_{X}\left( x\right) }{dx} & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0,1\right\} \right) \\
0 & \left( if\ x\in \left\{ 0,1\right\} \right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0<x<1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}を定める関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)を定義すれば、これは\(X\)の確率密度関数になります。つまり、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :F_{X}\left( x\right) =\int_{-\infty }^{x}f_{X}\left( t\right) dt
\end{equation*}が成り立ちます（確認してください）。
分布関数がとり得る値の範囲
絶対連続型確率変数の分布関数は\(0\)以上\(1\)以下の実数を値としてとります。
命題（分布関数がとり得る値の範囲）
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて絶対連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は以下の条件\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :0\leq F_{X}\left( x\right) \leq 1
\end{equation*}を満たす。
\end{equation*}を満たす。
例（分布関数がとり得る値の範囲）
絶対連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right]
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}0\leq F_{X}\left( x\right) \leq 1
\end{equation*}が成立しています。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}0\leq F_{X}\left( x\right) \leq 1
\end{equation*}が成立しています。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
分布関数は単調増加
絶対連続型の確率変数の分布関数は単調増加（単調非減少）関数です。
命題（分布関数は単調増加）
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて絶対連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は単調増加関数である。すなわち、\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ x\leq y\Rightarrow F_{X}\left( x\right) \leq F_{X}\left( y\right) \right]
\end{equation*}が成り立つ。
例（分布関数は単調増加）
絶対連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right]
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\begin{equation*}
0\leq x\leq 1
\end{equation*}であることを踏まえると、\(x\leq y\)を満たす\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) \leq F_{X}\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(F_{X}\)は\(\mathbb{R} \)上で単調増加です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\begin{equation*}
0\leq x\leq 1
\end{equation*}であることを踏まえると、\(x\leq y\)を満たす\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) \leq F_{X}\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(F_{X}\)は\(\mathbb{R} \)上で単調増加です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
分布関数は連続関数
絶対連続型の確率変数の分布関数は連続関数です。離散型の確率変数の分布関数は右側連続である一方で左側連続であるとは限らないため、分布関数の連続性は連続型のケースに特有の性質です。
命題（分布関数は連続関数）
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて絶対連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は連続関数である。すなわち、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}F_{X}\left( x\right) =F_{X}\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立つ。
例（分布関数は連続関数）
絶対連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right]
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この分布関数\(F_{X}\)は連続です。実際、\(a<0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}0\quad
\because F_{X}\text{の定義} \\
&=&0 \\
&=&F_{X}\left( a\right) \quad \because a<0
\end{eqnarray*}が成り立つため\(F_{X}\)は点\(a\)において連続です。点\(0\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}x\quad
\because F_{X}\text{の定義} \\
&=&0 \\
&=&F_{X}\left( 0\right)
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0-}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}0\quad
\because F_{X}\text{の定義} \\
&=&0 \\
&=&F_{X}\left( 0\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}F_{X}\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
0-}F_{X}\left( x\right) =F_{X}\left( 0\right)
\end{equation*}であり、したがって\(F_{X}\)は点\(0\)において連続です。\(0<a<1\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}x\quad
\because F_{X}\text{の定義} \\
&=&a \\
&=&F_{X}\left( a\right) \quad \because 0<a<1
\end{eqnarray*}が成り立つため\(F_{X}\)は点\(a\)において連続です。点\(1\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1+}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1+}1\quad
\because F_{X}\text{の定義} \\
&=&1 \\
&=&F_{X}\left( 1\right)
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1-}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1-}x\quad
\because F_{X}\text{の定義} \\
&=&1 \\
&=&F_{X}\left( 1\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 1+}F_{X}\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
1-}F_{X}\left( x\right) =F_{X}\left( 1\right)
\end{equation*}であり、したがって\(F_{X}\)は点\(1\)において連続です。\(a>1\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}1\quad
\because F_{X}\text{の定義} \\
&=&1 \\
&=&F_{X}\left( a\right) \quad \because a>1
\end{eqnarray*}が成り立つため\(F_{X}\)は点\(a\)において連続です。以上より、\(F_{X}\)は連続関数であることが明らかになりました。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この分布関数\(F_{X}\)は連続です。実際、\(a<0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}0\quad
\because F_{X}\text{の定義} \\
&=&0 \\
&=&F_{X}\left( a\right) \quad \because a<0
\end{eqnarray*}が成り立つため\(F_{X}\)は点\(a\)において連続です。点\(0\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}x\quad
\because F_{X}\text{の定義} \\
&=&0 \\
&=&F_{X}\left( 0\right)
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0-}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}0\quad
\because F_{X}\text{の定義} \\
&=&0 \\
&=&F_{X}\left( 0\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}F_{X}\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
0-}F_{X}\left( x\right) =F_{X}\left( 0\right)
\end{equation*}であり、したがって\(F_{X}\)は点\(0\)において連続です。\(0<a<1\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}x\quad
\because F_{X}\text{の定義} \\
&=&a \\
&=&F_{X}\left( a\right) \quad \because 0<a<1
\end{eqnarray*}が成り立つため\(F_{X}\)は点\(a\)において連続です。点\(1\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1+}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1+}1\quad
\because F_{X}\text{の定義} \\
&=&1 \\
&=&F_{X}\left( 1\right)
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1-}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1-}x\quad
\because F_{X}\text{の定義} \\
&=&1 \\
&=&F_{X}\left( 1\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 1+}F_{X}\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
1-}F_{X}\left( x\right) =F_{X}\left( 1\right)
\end{equation*}であり、したがって\(F_{X}\)は点\(1\)において連続です。\(a>1\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}1\quad
\because F_{X}\text{の定義} \\
&=&1 \\
&=&F_{X}\left( a\right) \quad \because a>1
\end{eqnarray*}が成り立つため\(F_{X}\)は点\(a\)において連続です。以上より、\(F_{X}\)は連続関数であることが明らかになりました。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
分布関数の無限大における極限
絶対連続型の確率変数の分布関数は正の無限大において\(1\)へ収束し、負の無限大において\(0\)へ収束します。
命題（分布関数の無限大における極限）
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて絶対連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }F_{X}\left( x\right) =1 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }F_{X}\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}を満たす。
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }F_{X}\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}を満たす。
例（分布関数の無限大における極限）
絶対連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right]
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。正の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
+\infty }1\quad \because F_{X}\text{の定義} \\
&=&1\quad \because \text{定数関数の正の無限大における極限}
\end{eqnarray*}であり、負の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
-\infty }0\quad \because F_{X}\text{の定義} \\
&=&0\quad \because \text{定数関数の負の無限大における極限}
\end{eqnarray*}となります。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。正の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
+\infty }1\quad \because F_{X}\text{の定義} \\
&=&1\quad \because \text{定数関数の正の無限大における極限}
\end{eqnarray*}であり、負の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
-\infty }0\quad \because F_{X}\text{の定義} \\
&=&0\quad \because \text{定数関数の負の無限大における極限}
\end{eqnarray*}となります。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
確率変数が特定の値をとる確率
絶対連続型の確率変数が特定の値をとる確率はゼロです。
命題（確率変数が特定の値をとる確率）
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて絶対連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。このとき、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :P\left( X=x\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立つ。
確率変数がある値より小さい値をとる確率
絶対連続型の確率変数がある値よりも小さい値をとる確率は以下のようにして導出できます。
命題（確率変数がある値より小さい値をとる確率）
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて絶対連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。その分布関数は\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとする。点\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}P\left( X<x\right) =F_{X}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立つ。
例（確率変数がある値より小さい値をとる確率）
絶対連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right]
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
P\left( X<0\right) &=&F_{X}\left( 0\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( X<\frac{1}{2}\right) &=&F_{X}\left( \frac{1}{2}\right) \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( X<1\right) &=&F_{X}\left( 1\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
P\left( X<0\right) &=&F_{X}\left( 0\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( X<\frac{1}{2}\right) &=&F_{X}\left( \frac{1}{2}\right) \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( X<1\right) &=&F_{X}\left( 1\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。
確率変数がある値より大きい値をとる確率
絶対連続型の確率変数がある値よりも大きい値をとる確率は以下のようにして導出できます。
命題（確率変数がある値より大きい値をとる確率）
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて絶対連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。その分布関数は\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとする。点\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}P\left( X>x\right) =1-F_{X}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立つ。
例（確率変数がある値より大きい値をとる確率）
絶対連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right]
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
P\left( X>0\right) &=&1-F_{X}\left( 0\right) \\
&=&1-0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( X>\frac{1}{2}\right) &=&1-F_{X}\left( \frac{1}{2}\right) \\
&=&1-\frac{1}{2} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( X>1\right) &=&1-F_{X}\left( 1\right) \\
&=&1-1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
P\left( X>0\right) &=&1-F_{X}\left( 0\right) \\
&=&1-0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( X>\frac{1}{2}\right) &=&1-F_{X}\left( \frac{1}{2}\right) \\
&=&1-\frac{1}{2} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( X>1\right) &=&1-F_{X}\left( 1\right) \\
&=&1-1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
絶対連続型の確率変数\(X\)が特定の値\(x\)をとる確率は\(0\)であることを踏まえると、\begin{equation*}P\left( X\geq x\right) =P\left( X>x\right)
\end{equation*}を得るため、これと先の命題より以下を得ます。
命題（確率変数がある値以上の値をとる確率）
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて絶対連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。その分布関数は\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとする。点\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}P\left( X\geq x\right) &=&P\left( X>x\right) \\
&=&1-F_{X}\left( x\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
&=&1-F_{X}\left( x\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
確率変数の値が区間におさまる確率
絶対連続型の確率変数の値が区間におさまる確率は以下のようにして導出できます。
命題（確率変数の値が区間におさまる確率）
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて絶対連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。その分布関数は\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとする。\(x_{1}<x_{2}\)を満たす点\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( x_{1}\leq X\leq x_{2}\right) =F_{X}\left( x_{2}\right) -F_{X}\left(
x_{1}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
x_{1}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
例（確率変数の値が区間におさまる確率）
絶対連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right]
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
P\left( 0\leq X\leq \frac{1}{2}\right) &=&F_{X}\left( \frac{1}{2}\right)
-F_{X}\left( 0\right) \\
&=&\frac{1}{2}-0 \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( \frac{1}{2}\leq X\leq 1\right) &=&F_{X}\left( 1\right) -F_{X}\left(
\frac{1}{2}\right) \\
&=&1-\frac{1}{2} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
1 & \left( if\ x>1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
P\left( 0\leq X\leq \frac{1}{2}\right) &=&F_{X}\left( \frac{1}{2}\right)
-F_{X}\left( 0\right) \\
&=&\frac{1}{2}-0 \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( \frac{1}{2}\leq X\leq 1\right) &=&F_{X}\left( 1\right) -F_{X}\left(
\frac{1}{2}\right) \\
&=&1-\frac{1}{2} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。
絶対連続型の確率変数\(X\)が特定の値\(x\)をとる確率は\(0\)であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}P\left( x_{1}\leq X\leq x_{2}\right) &=&P\left( x_{1}<X\leq x_{2}\right) \\
&=&P\left( x_{1}\leq X<x_{2}\right) \\
&=&P\left( x_{1}<X<x_{2}\right)
\end{eqnarray*}を得るため、これと先の命題より以下を得ます。
命題（確率変数の値が区間におさまる確率）
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて絶対連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。その分布関数は\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとする。\(x_{1}<x_{2}\)を満たす点\(x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}P\left( x_{1}\leq X\leq x_{2}\right) &=&P\left( x_{1}<X\leq x_{2}\right) \\
&=&P\left( x_{1}\leq X<x_{2}\right) \\
&=&P\left( x_{1}<X<x_{2}\right) \\
&=&F_{X}\left( x_{2}\right) -F_{X}\left( x_{1}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
&=&P\left( x_{1}\leq X<x_{2}\right) \\
&=&P\left( x_{1}<X<x_{2}\right) \\
&=&F_{X}\left( x_{2}\right) -F_{X}\left( x_{1}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
演習問題
問題（絶対連続型確率変数の分布関数）
絶対連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right]
\end{equation*}であるとともに、\(X\)の確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in X\left( \Omega \right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)の分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を求めた上で、以下の確率\begin{equation*}P\left( \frac{1}{2}\leq X\leq 2\right)
\end{equation*}を特定してください。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in X\left( \Omega \right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)の分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を求めた上で、以下の確率\begin{equation*}P\left( \frac{1}{2}\leq X\leq 2\right)
\end{equation*}を特定してください。
問題（絶対連続型確率変数の分布関数）
絶対連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left[ 0,1\right]
\end{equation*}であるとともに、\(X\)の確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
2x & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in X\left( \Omega \right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)の分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を求めた上で、以下の確率\begin{equation*}P\left( \frac{1}{4}\leq X\leq \frac{1}{2}\right)
\end{equation*}を特定してください。
\begin{array}{cl}
2x & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in X\left( \Omega \right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)の分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を求めた上で、以下の確率\begin{equation*}P\left( \frac{1}{4}\leq X\leq \frac{1}{2}\right)
\end{equation*}を特定してください。
問題（絶対連続型確率変数の分布関数）
絶対連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left[ 0,2\right]
\end{equation*}であるとともに、\(X\)の確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
2-x & \left( if\ 1<x\leq 2\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)の分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を求めた上で、以下の確率\begin{equation*}P\left( \frac{1}{2}\leq X\leq 2\right)
\end{equation*}を特定してください。
\begin{array}{cl}
x & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right) \\
2-x & \left( if\ 1<x\leq 2\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)の分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を求めた上で、以下の確率\begin{equation*}P\left( \frac{1}{2}\leq X\leq 2\right)
\end{equation*}を特定してください。
問題（絶対連続型確率変数の分布関数）
絶対連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =[0,+\infty )
\end{equation*}であるとともに、\(X\)の確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}\lambda >0
\end{equation*}を満たす定数\(\lambda \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\lambda \exp \left( -\lambda x\right) & \left( if\ x\in X\left( \Omega
\right) \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in X\left( \Omega \right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)の分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を求めた上で、以下の確率\begin{equation*}P\left( X\geq 1\right)
\end{equation*}を特定してください。
\end{equation*}であるとともに、\(X\)の確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}\lambda >0
\end{equation*}を満たす定数\(\lambda \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\lambda \exp \left( -\lambda x\right) & \left( if\ x\in X\left( \Omega
\right) \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in X\left( \Omega \right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)の分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を求めた上で、以下の確率\begin{equation*}P\left( X\geq 1\right)
\end{equation*}を特定してください。
問題（絶対連続型確率変数の確率密度関数）
絶対連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x\leq 0\right) \\
\frac{x^{2}}{9} & \left( if\ 0<x\leq 3\right) \\
1 & \left( if\ x>3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)を求めてください。
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x\leq 0\right) \\
\frac{x^{2}}{9} & \left( if\ 0<x\leq 3\right) \\
1 & \left( if\ x>3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)を求めてください。
問題（絶対連続型確率変数の確率密度関数）
連続型の確率変数\(X\)の分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
e^{x-3} & \left( if\ x\leq 3\right) \\
1 & \left( if\ x>3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を求めてください。
\begin{array}{cl}
e^{x-3} & \left( if\ x\leq 3\right) \\
1 & \left( if\ x>3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を求めてください。
問題（対称的な確率分布）
絶対連続型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられており、その確率密度関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)は以下の条件\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :f_{X}\left( x\right) =f_{X}\left( -x\right)
\end{equation*}を満たす連続関数であるものとします。つまり、\(f_{X}\)のグラフは点\(0\)を中心に対称的な形状をしています。その上で、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\left( -X\right) \left( \omega \right) =-X\left( \omega \right)
\end{equation*}を定める新たな確率変数\(-X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を定義した上で、その確率密度関数を\(f_{-X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)で表記します。このとき、\begin{equation*}f_{X}=f_{-X}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\end{equation*}を満たす連続関数であるものとします。つまり、\(f_{X}\)のグラフは点\(0\)を中心に対称的な形状をしています。その上で、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\left( -X\right) \left( \omega \right) =-X\left( \omega \right)
\end{equation*}を定める新たな確率変数\(-X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を定義した上で、その確率密度関数を\(f_{-X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} _{+}\)で表記します。このとき、\begin{equation*}f_{X}=f_{-X}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
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