IS-LMモデルにおける金融政策乗数

金融政策乗数

閉鎖経済における財市場の均衡条件は、\begin{equation*}
Y=C\left( Y\right) +I\left( r\right) +G
\end{equation*}であり、貨幣市場の均衡条件は、\begin{equation*}
\frac{M}{P}=L\left( Y,r\right)
\end{equation*}です。ただし、\(Y\)は国民所得を表す内生変数であり、\(r\)は市場利子率を表す内生変数です。また、\(C\left( Y\right) \)は消費関数であり、\(I\left(r\right) \)は投資関数であり、\(G\)は政府支出を表す外生変数です。さらに、\(M\)はマネーサプライを表す外生変数であり、\(P\)は物価を表す外生変数であり、\(L\left(Y,r\right) \)は実質貨幣乗数関数です。

同時均衡\(\left( Y^{\ast },r^{\ast }\right) \)のもとでは財市場と貨幣市場がともに均衡するため、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
Y^{\ast }=C\left( Y^{\ast }\right) +I\left( r^{\ast }\right) +G \\
\frac{M}{P}=L\left( Y^{\ast },r^{\ast }\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立ちます。以上の状況において、実質マネーサプライを\(\Delta \frac{M}{P}\)だけ変化させた場合に均衡国民所得が\(\Delta Y\)だけ変化し、均衡利子率が\(\Delta r\)だけ変化するならば、すなわち、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
Y^{\ast }+\Delta Y=C\left( Y^{\ast }+\Delta Y\right) +I\left( r^{\ast
}+\Delta r\right) +G \\
\frac{M}{P}+\Delta \frac{M}{P}=L\left( Y^{\ast }+\Delta Y,r^{\ast }+\Delta
r\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つ場合には、金融政策乗数（monetary policy multiplier）は、\begin{equation*}
\frac{\Delta Y}{\Delta \frac{M}{P}}
\end{equation*}として定義されます。

消費関数としてケインズ型消費関数\begin{equation*}
C\left( Y\right) =c_{0}+c_{1}\left( Y-T\right)
\end{equation*}を採用します。ただし、\(T\geq 0\)は所得税を表す外生変数であり、\(c_{0},c_{1}\in \mathbb{R} \)は\(c_{0}>0\)かつ\(0<c_{1}<1\)を満たす定数です。また、投資関数として、\begin{equation*}I\left( r\right) =i_{0}-i_{1}r
\end{equation*}を採用します。ただし、\(i_{0},i_{1}\in \mathbb{R} \)は\(i_{0}>0\)かつ\(i_{1}>0\)を満たす定数です。さらに、貨幣需要関数として、\begin{equation*}L\left( Y,r\right) =kY-hr+L_{0}
\end{equation*}を採用します。ただし、\(k,h,L_{0}\in \mathbb{R} \)は\(k>0\)かつ\(h>0\)かつ\(L_{0}>0\)を満たす定数です。この場合、財市場と貨幣市場の同時均衡条件\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
Y^{\ast }=C\left( Y^{\ast }\right) +I\left( r^{\ast }\right) +G \\
\frac{M}{P}=L\left( Y^{\ast },r^{\ast }\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}は以下の条件\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
Y^{\ast }=c_{0}+c_{1}\left( Y^{\ast }-T\right) +i_{0}-i_{1}r^{\ast }+G \\
\frac{M}{P}=kY^{\ast }-hr^{\ast }+L_{0}\end{array}\right.
\end{equation*}と必要十分であるため、これを解くことにより、同時均衡\(\left(Y^{\ast },r^{\ast }\right) \)を、\begin{eqnarray*}Y^{\ast } &=&\frac{h\left( c_{0}-c_{1}T+i_{0}+G\right) -i_{1}\left( L_{0}-\frac{M}{P}\right) }{ki_{1}+h\left( 1-c_{1}\right) } \\
r^{\ast } &=&\frac{k\left( c_{0}-c_{1}T+i_{0}+G\right) +\left( L_{0}-\frac{M}{P}\right) \left( 1-c_{1}\right) }{ki_{1}+h\left( 1-c_{1}\right) }
\end{eqnarray*}と特定できます。この場合、金融政策乗数は、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial Y^{\ast }}{\partial \frac{M}{P}} &=&\frac{\partial }{\partial
\frac{M}{P}}\left[ \frac{h\left( c_{0}-c_{1}T+i_{0}+G\right) -i_{1}\left(
L_{0}-\frac{M}{P}\right) }{ki_{1}+h\left( 1-c_{1}\right) }\right] \\
&=&\frac{i_{1}}{ki_{1}+h\left( 1-c_{1}\right) }
\end{eqnarray*}となります。\(c_{1},k,i_{1},h\)は定数であるため金融政策乗数\(\frac{i_{1}}{ki_{1}+h\left( 1-c_{1}\right) }\)もまた定数です。

乗数の減衰

同時均衡\(\left( Y^{\ast },r^{\ast }\right) \)を出発点とした上で実質マネーサプライ\(\frac{M}{P}\)を\(\Delta \frac{M}{P}>0\)だけ増やすと貨幣市場は超過供給になります。つまり、\begin{equation*}\frac{M}{P}+\Delta \frac{M}{P}>L\left( Y^{\ast },r^{\ast }\right)
\end{equation*}が成り立つということです。すると人々は債券を購入し、その結果、債券価格が上昇し、それが利子率\(r\)を下落させます。利子率\(r\)が下落すると投資\(I\left( r\right) \)が増加しますが、それは有効需要の増加を意味します。その結果、乗数効果により国民所得\(Y\)が増加します。

話はここで終わりません。国民所得\(Y\)の増加によって貨幣需要\(L\left( Y,r\right) \)は増加するため、利子率\(r\)は当初の下落から反発して上昇します。この利子率\(r\)の上昇が、せっかく増加した投資\(I\left( r\right) \)を減少させるため（クラウディングアウト）、先の有効需要の増分の一部が相殺されてしまいます。

以上の議論より、金融緩和によって引き起こされた国民所得の増加が再び利子率を押し上げることで、最終的な国民所得の増加幅を抑制してしまうことが明らかになりました。

金融政策乗数を左右する要因

消費関数と投資関数および貨幣需要関数として、\begin{eqnarray*}
C\left( Y\right) &=&c_{0}+c_{1}\left( Y-T\right) \\
I\left( r\right) &=&i_{0}-i_{1}r \\
L\left( Y,r\right) &=&kY-hr+L_{0}
\end{eqnarray*}を採用する場合の金融政策乗数が、\begin{equation*}
\frac{\partial Y^{\ast }}{\partial \frac{M}{P}}=\frac{i_{1}}{ki_{1}+h\left(
1-c_{1}\right) }
\end{equation*}であることが明らかになりましたが、定数\(i_{1},h,k\)の水準は金融政策乗数に対してどのように影響を与えるのでしょうか。先の条件のもとで財市場均衡条件は、\begin{equation*}r=-\frac{1-c_{1}}{i_{1}}Y+\frac{c_{0}-c_{1}T+i_{0}+G}{i_{1}}
\end{equation*}であり、貨幣市場均衡条件は、\begin{equation*}
r=\frac{k}{h}Y+\frac{1}{h}\left( L_{0}-\frac{M}{P}\right)
\end{equation*}であるため、IS曲線の傾きの大きさが\(\frac{1-c_{1}}{i_{1}}\)であり、LM曲線の傾きの大きさが\(\frac{k}{h}\)であることに注意してください。また、両者を解くことにより同時均衡\(\left( Y^{\ast },r^{\ast }\right) \)が、\begin{eqnarray*}Y^{\ast } &=&\frac{h\left( c_{0}-c_{1}T+i_{0}+G\right) -i_{1}\left( L_{0}-\frac{M}{P}\right) }{ki_{1}+h\left( 1-c_{1}\right) } \\
r^{\ast } &=&\frac{k\left( c_{0}-c_{1}T+i_{0}+G\right) +\left( L_{0}-\frac{M}{P}\right) \left( 1-c_{1}\right) }{ki_{1}+h\left( 1-c_{1}\right) }
\end{eqnarray*}として得られますが、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial r^{\ast }}{\partial \left( \frac{M}{P}\right) } &=&\frac{\partial }{\partial \left( \frac{M}{P}\right) }\frac{k\left(
c_{0}-c_{1}T+i_{0}+G\right) +\left( L_{0}-\frac{M}{P}\right) \left(
1-c_{1}\right) }{ki_{1}+h\left( 1-c_{1}\right) } \\
&=&-\frac{\left( 1-c_{1}\right) }{ki_{1}+h\left( 1-c_{1}\right) } \\
&<&0
\end{eqnarray*}であるため、金融緩和によって均衡利子率は下落することに注意してください。

定数\(i_{1}>0\)の増加が金融政策乗数に与える影響を調べるために乗数を\(i_{1}\)で偏微分すると、\begin{eqnarray*}\frac{\partial }{\partial i_{1}}\frac{i_{1}}{ki_{1}+h\left( 1-c_{1}\right) }
&=&\frac{1\cdot \left[ ki_{1}+h\left( 1-c_{1}\right) \right] -i_{1}k}{\left[
ki_{1}+h\left( 1-c_{1}\right) \right] ^{2}} \\
&=&\frac{h\left( 1-c_{1}\right) }{\left[ ki_{1}+h\left( 1-c_{1}\right) \right] ^{2}} \\
&>&0
\end{eqnarray*}を得ます。以上より、\(i_{1}\)が大きいほど金融政策乗数は大きくなることが明らかになりました。なぜでしょうか。まず、\begin{eqnarray*}\frac{\partial I\left( r\right) }{\partial r} &=&\frac{\partial }{\partial r}\left( i_{0}-i_{1}r\right) \\
&=&-i_{1} \\
&<&0
\end{eqnarray*}であるため、\(i_{1}\)は投資の利子率に対する感度を表す指標です。実質マネーサプライの増加による利子率\(r\)の下落は投資を押し上げる一方で、その後の国民所得\(Y\)の増加がもたらす利子率\(r\)の上昇は投資を減少させるものの、トータルでは金融緩和によって利子率\(r\)は下落するため、\(i_{1}\)が大きいほど金融政策の効果は大きくなります。したがって\(i_{1}\)が大きいほど金融政策乗数は大きくなります。

定数\(h>0\)の増加が金融政策乗数に与える影響を調べるために乗数を\(h\)で偏微分すると、\begin{eqnarray*}\frac{\partial }{\partial h}\frac{i_{1}}{ki_{1}+h\left( 1-c_{1}\right) } &=&\frac{0\cdot \left[ ki_{1}+h\left( 1-c_{1}\right) \right] -i_{1}\left(
1-c_{1}\right) }{\left[ ki_{1}+h\left( 1-c_{1}\right) \right] ^{2}} \\
&=&\frac{-i_{1}\left( 1-c_{1}\right) }{\left[ ki_{1}+h\left( 1-c_{1}\right) \right] ^{2}} \\
&<&0
\end{eqnarray*}を得ます。以上より、\(h\)が小さいほど金融政策乗数は大きくなることが明らかになりました。なぜでしょうか。まず、\begin{eqnarray*}\frac{\partial L\left( Y,r\right) }{\partial r} &=&\frac{\partial }{\partial
r}\left( kY-hr+L_{0}\right) \\
&=&-h \\
&<&0
\end{eqnarray*}であるため、\(h\)は投機的貨幣需要の利子率に対する感度を表す指標です。したがって、\(h\)が小さいことは、利子\(r\)率の変化に対して貨幣需要の動きが鈍いことを意味します。そのような状況において市場がマネーサプライを吸収するためには利子率\(r\)の大幅な下落が要求されます。利子率\(r\)が大きく下落すれば投資も大きく変化するため、有効需要も大きく増えます。その後の国民所得\(Y\)の増加がもたらす利子率\(r\)の上昇は投資を減少させますが、トータルでは金融緩和によって利子率\(r\)は下落するため、\(h\)が小さいほど金融政策の効果は大きくなります。したがって\(h\)が小さいほど金融政策乗数は大きくなります。

定数\(k>0\)の増加が金融政策乗数に与える影響を調べるために乗数を\(k\)で偏微分すると、\begin{eqnarray*}\frac{\partial }{\partial k}\frac{i_{1}}{ki_{1}+h\left( 1-c_{1}\right) } &=&\frac{0\cdot \left[ ki_{1}+h\left( 1-c_{1}\right) \right] -i_{1}^{2}}{\left[
ki_{1}+h\left( 1-c_{1}\right) \right] ^{2}} \\
&=&-\frac{i_{1}^{2}}{\left[ ki_{1}+h\left( 1-c_{1}\right) \right] ^{2}} \\
&<&0
\end{eqnarray*}を得ます。以上より、\(k\)が小さいほど金融政策乗数は大きくなることが明らかになりました。なぜでしょうか。まず、\begin{eqnarray*}\frac{\partial L\left( Y,r\right) }{\partial Y} &=&\frac{\partial }{\partial
Y}\left( kY-hr+L_{0}\right) \\
&=&k \\
&>&0
\end{eqnarray*}であるため、\(k\)は取引・予備的貨幣需要の国民所得に対する感度を表す指標です。実質マネーサプライ\(\frac{M}{P}\)の拡大により国民所得\(Y\)が増加すると貨幣需要が増加するためクラウディングアウトが発生します。ただし、\(k\)が小さい場合には貨幣需要の増加幅が小さくなるため債券価格の下落幅が限定的であり、利子率の上限幅も限定的なものに留まります。クラウディングアウトの効果、すなわち投資の減少幅が小さくて済むため、\(k\)が小さいほど金融政策乗数は大きくなります。