フィッシャー方程式（名目利子率と実質利子率）

名目利子率

貨幣市場に関する議論において登場した利子率は名目利子率（nominal interest rate）ですが、マクロ経済学には実質利子率（real interest rate）と呼ばれる概念も登場し、両者を区別する必要があります。以下では名目利子率について簡単に復習した上で、実質利子率と名目利子率の違い、および両者の関係について解説します。

名目利子率とは、債券の取引に対して実際に支払われる金利です。言い換えると、貨幣を保有するかわりに債券を保有することにより得られるリターンの名目値であり、貨幣保有の機会費用を表します。名目利子率を、\begin{equation*}
i
\end{equation*}で表記します。名目利子率が\(i\)であることとは、貨幣を1単位保有することを諦めて今期において市場で債券を購入すれば、来期において、その1単位の貨幣が、\begin{equation*}1\left( 1+i\right) =1+i
\end{equation*}にまで増加することを意味します。債券がもたらすリターンが\(i\)であるということです。逆に、債券を購入せずに1単位の貨幣を保有し続けることは、債券がもたらすリターン\(i\)を諦めることを意味するため、名目利子率\(i\)は貨幣保有の機会費用に相当します。

現時点\(t=0\)において債券を購入すれば将来の各時点\(t\in \left\{ 1,2,\cdots ,T\right\} \)においてキャッシュフロー\(CF_{t}\geq 0\)が得られます。各期において生み出されるキャッシュフローを現在割引価値に換算した上で、その評価額の総和をとれば、債券の現在割引価値\begin{equation*}B=\sum_{t=1}^{T}\frac{CF_{t}}{\left( 1+i\right) ^{t}}
\end{equation*}が得られます。債券市場が機能していれば債券の市場価格\(P_{B}\)は債券の現在割引価値\(B\)と一致する方向へ調整されるため、\begin{equation*}P_{B}=\sum_{t=1}^{T}\frac{CF_{t}}{\left( 1+i\right) ^{t}}
\end{equation*}を得ます。名目利子率\(i\)が上昇すると将来のキャッシュフローをより大きく割り引くため各期のキャッシュフロー\(CF_{t}\)の現在割引価値\(\frac{CF_{t}}{\left( 1+i\right) ^{t}}\)が下がります。したがって、債券価格は名目利子率\(i\)に関する減少関数です。つまり、名目利子率\(i\)が上昇すると債券の相対的な魅力が低下し、債券の価格は下落します。逆に、名目利子率\(i\)が下落すると債券の相対的な魅力が向上し、債券の価格は上昇します。

貨幣需要は国民所得\(Y\)と名目利子率\(i\)に関する関数である貨幣需要関数\begin{equation*}L\left( Y,i\right)
\end{equation*}として表現されます。債券価格は名目利子率\(i\)に関する減少関数であるため、\(i\)が下落すると債券価格が上昇します。これは債券価格の将来的な下落リスクを高めるため、貨幣の投機的需要が増加します。逆に、名目利子率\(i\)が上昇すると債券価格が下落しますが、これは債券価格の将来的な上昇、すなわち貨幣保有の機会費用の上昇を招くため、貨幣の投機的需要が減少します。つまり、貨幣の投機的需要は名目利子率\(i\)に関する減少関数です。

実質利子率

貨幣は利子を生まない資産です。貨幣を保有する代わりに利子の付く債券を持てば名目利子率\(i\)に相当する利息を受け取れます。したがって、貨幣を保有する機会費用は名目利子率によって表現され、それにあわせて貨幣需要関数\(L\left( Y,i\right) \)の変数として名目利子率\(i\)を採用することになります。

その一方で、名目利子率\(i\)は貨幣単位で表された利回りにすぎません。経済主体が貨幣を求める真の目的は、貨幣単位で表された名目的な金額ではなく、その貨幣が持つ実質的な購買力を確保することにあります。物価が変動すれば同額の貨幣によって購入できるものは変化するため、貨幣の真の購買力を評価するためには物価の変動を考慮する必要があります。利子率に関しても同様に、経済主体が消費・貯蓄・投資などの意思決定を行う際に真に重視するのは、貨幣単位で表された名目的な利回り（名目利子率）ではなく、物価の変動を考慮した将来の購買力で評価された実質的な利回り（実質利子率）です。では、実質利子率をどのように定義すればよいでしょうか。

名目利子率を\(i\)で表記し、実質利子率を\(r\)で表記します。今期\(t\)の物価を\(P_{t}\)で表記し、来期\(t+1\)の物価を\(P_{t+1}\)で表記します。\(P_{t}<P_{t+1}\)である状況、すなわち物価上昇を想定します。貨幣を1単位保有することを諦めて今期\(t\)において債券を購入する状況を想定します。名目利子率が\(i\)であれば、来期\(t+1\)に手元に戻ってくる名目的な金額は\(1+t\)倍になるため、\begin{equation*}1\left( 1+i\right) =1+i
\end{equation*}となります。ただし、今期\(t\)において1単位の貨幣で\(\frac{1}{P_{t}}\)単位の財・サービスを購入できますが、来期\(t+1\)において1単位の貨幣で\(\frac{1}{P_{t+1}}\)単位の財・サービスしか購入できないため、物価上昇により1単位の貨幣の購買力が目減りしている割合は、\begin{equation*}\frac{\frac{1}{P_{t+1}}}{\frac{1}{P_{t}}}=\frac{P_{t}}{P_{t+1}}
\end{equation*}です。つまり、債券を購入することにより1単位の貨幣の名目値は\(1+i\)倍に増えますが、物価上昇により1単位の貨幣の購買力は\(\frac{P_{t}}{P_{t+1}}\)倍に目減りするため、実質で考えた場合、以下の関係\begin{equation}1+r=\left( 1+i\right) \cdot \frac{P_{t}}{P_{t+1}} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。

物価上昇率を、\begin{equation*}
\pi _{t+1}=\frac{P_{t+1}-P_{t}}{P_{t}}
\end{equation*}で表記すると、\begin{equation*}
\pi _{t+1}=\frac{P_{t+1}}{P_{t}}-1
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{P_{t}}{P_{t+1}}=\frac{1}{1+\pi _{t+1}}
\end{equation*}を得ます。これを\(\left(1\right) \)に代入すると、\begin{equation*}1+r=\frac{1+i}{1+\pi _{t+1}}
\end{equation*}を得ます。このとき、\begin{eqnarray*}
r &=&\frac{1+i}{1+\pi _{t+1}}-1 \\
&=&\frac{\left( 1+i\right) -\left( 1+\pi _{t+1}\right) }{1+\pi _{t+1}} \\
&=&\frac{i-\pi _{t+1}}{1+\pi _{t+1}}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
r=\frac{i-\pi _{t+1}}{1+\pi _{t+1}}
\end{equation*}を得ます。インフレ率\(\pi _{t+1}\)が十分小さい場合には分母\(1+\pi _{t+1}\)はほぼ\(1\)に等しいため、この場合、以下の近似式\begin{equation*}r\approx i-\pi _{t+1}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、物価上昇率が十分小さい場合、実質利子率は名目利子率と物価上昇率の差と近似的に等しくなります。

物価が下落する場合にも同様の議論が成り立ちます。

フィッシャー方程式

経済主体が今期\(t\)において消費・貯蓄・投資などの意思決定を行うためには、今期\(t\)において実質利子率\(r\)を評価する必要があります。先に導出した近似式\begin{equation*}r\approx i-\pi _{t+1}
\end{equation*}を踏まえると、\(r\)を評価するためには名目利子率\(i\)と物価上昇率\(\pi _{t+1}\)に関する情報が必要です。人々が今期\(t\)において債券を購入することは、金融機関が今期\(t\)において名目利子率\(i\)をすでに決定していることを意味します。他方で、物価変動は今期\(t\)から来期\(t+1\)にかけて起こるため、今期\(t\)の時点において物価上昇率\(\pi _{t+1}\)は観察できません。したがって、人々が今期\(t\)において実質利子率\(r\)を評価する際には物価上昇率\(\pi _{t+1}\)を頼りにできず、自身が現時点において予想する将来の物価上昇率の期待値を採用せざるを得ません。それを期待インフレ率（expected inflation rate）と呼び、\begin{equation*}\pi ^{e}
\end{equation*}で表記します。このような事情を踏まえた上で、以下の関係\begin{equation*}
r\approx i-\pi ^{e}
\end{equation*}が成り立つものと仮定します。これをフィッシャー方程式（Fisher’s equation）と呼びます。これを、\begin{equation*}
r=i-\pi ^{e}
\end{equation*}と表現する場合もあります。

投資の意思決定

財市場に話を戻します。閉鎖経済における総需要関数と総供給関数を、\begin{eqnarray*}
AS\left( Y\right) &=&Y \\
AD\left( Y\right) &=&C\left( Y\right) +I+G
\end{eqnarray*}と定義しました。ただし、\begin{eqnarray*}
Y &:&\text{国民所得} \\
C\left( Y\right) &:&\text{消費関数} \\
I &:&\text{投資} \\
G &:&\text{政府支出}
\end{eqnarray*}です。投資\(I\)とは国民経済計算（SNA）における「総固定資本形成」と「意図した在庫投資」の和に相当します。さらに、総固定資本形成は、家計による投資支出である民間住宅（住宅建設など）、民間企業による投資支出である民間企業設備（工場・事務所・生産設備の建設やソフトウェア開発など）、政府や公的企業による投資支出である公的資本形成（インフラや公共施設の整備など）から構成されます。

財市場だけを分析対象とする場合には投資\(I\)を外生変数とみなしましたが、本来、投資は利子率\(r\)に関する投資関数\begin{equation*}I=I\left( r\right)
\end{equation*}として表現されるとともに、これが利子率\(r\)に関する減少関数であることを明らかにしました。では、ここに登場する利子率\(r\)は名目利子率と実質利子率のどちらでしょうか。

投資関数\(I\left( r\right) \)が利子率\(r\)に関する減少関数であることの根拠は以下のようなものでした。投資に必要な費用は自身が受け取った所得を大きく超えるため、投資を行うためには銀行などから資金を借りる必要があります。その際、利子率が投資資金の調達費用となります。その一方で、追加的な投資から見込まれる収益率のことを投資の限界効率と呼びます。ある投資プロジェクトの投資の限界効率が利子率を上回る場合には採算が合うため、そのプロジェクトは実行されます。逆に、ある投資プロジェクトの投資の限界費用が利子率を下回る場合には採算が合わないため、そのプロジェクトは実行されません。利子率が下がると採算の合う投資プロジェクトが増加するため、実施される投資プロジェクトが増加し、投資が増加します。逆に、利子率が上がると採算の合うプロジェクトが減少するため、実施される投資プロジェクトが減少し、投資が減少します。したがって、投資関数は利子率に関する減少関数です。

自己資金によって投資を行う場合にも同様の議論が成り立ちます。つまり、ある投資プロジェクトの投資の限界効率が利子率を上回る場合には、自己資金を銀行などに預けて利子を得るよりも投資にまわした方が有利であるため、そのプロジェクトは実行されます。逆に、ある投資プロジェクトの投資の限界費用が利子率を下回る場合には、自己資金を投資にまわさずに銀行などに預けて利子を得た方が有利であるため、そのプロジェクトは実行されません。以上より、自己資金で投資を行う場合にも、利子率が下がると投資が増加し、利子率が上がると投資が減少することが明らかになりました。投資関数は利子率に関する減少関数です。

さて、経済主体が投資を行う目的は、将来の生産力を高め、より多くの財・サービスを生み出し、自身の実質的な富すなわち購買力を増やすことにあります。したがって、経済主体が投資プロジェクトを査定する上で重視することは名目的な収益率ではなく、物価変動を考慮した実質的な収益率です。実質的な収益率の比較対象として名目利子率を採用してしまうと、物価変動の影響が一方にしか含まれないため、正しい比較ができません。実質収益率の比較対象は物価変動を考慮した利子率、すなわち実質利子率であるべきです。実質リターンである投資の限界効率と実質コストである実質利子率を比べた上で、経済主体は投資の意思決定を行います。以上より、投資関数\begin{equation*}
I=I\left( r\right)
\end{equation*}の変数\(r\)は名目利子率ではなく実質利子率であることが明らかになりました。

以上の議論を踏まえると、財市場だけではなく貨幣市場も考察対象にする場合には利子率が内生変数になるため、閉鎖経済における総需要関数と総供給関数を、\begin{eqnarray*}
AS\left( Y\right) &=&Y \\
AD\left( Y,r\right) &=&C\left( Y\right) +I\left( r\right) +G
\end{eqnarray*}と表現できます。つまり、貨幣市場も考慮する場合には総需要関数が1変数関数\(AD\left(Y\right) \)から2変数関数\(AD\left(Y,r\right) \)に変化します。

短期における名目利子率と実質利子率の関係

物価上昇率\(\pi _{t+1}=\frac{P_{t+1}-P_{t}}{P_{t}}\)が十分小さい場合には以下の関係\begin{equation}r\approx i-\pi _{t+1} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。短期では物価が変動しないため\(\pi _{t+1}=0\)となり、したがって短期においては、\begin{equation*}r\approx i
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、そもそも実質利子率\(r\)を査定する時点において物価上昇率\(\pi _{t+1}\)を観察することは不可能であり、ゆえに\(\left( 1\right) \)を用いて\(r\)を評価することは不可能です。そこで、物価上昇率\(\pi _{t+1}\)の代わりに期待インフレ率\(\pi ^{e}\)を用いたフィッシャー方程式\begin{equation*}r\approx i-\pi ^{e}
\end{equation*}を採用します。では、フィッシャー方程式を前提とした場合にも、短期においては、\begin{equation*}
r\approx i
\end{equation*}が成り立つのでしょうか。

人々が将来の物価変動に対して抱く期待は、過去の経験・慣行・定着した心理などにもとづくため、期待インフレ率\(\pi ^{e}\)は少しずつ変化していきます。一方、短期とは物価水準\(P\)が固定された期間として定義されます。多くの場合、価格調整のプロセスよりも期待調整のプロセスの方がゆっくり進むため、物価\(P\)が変化しない短期においては期待インフレ率\(\pi ^{e}\)もまた変化せず、ゆえに短期において\(\pi ^{e}\)を定数とみなすことができます。つまり、短期において、フィッシャーの方程式\begin{equation*}r\approx i-\pi ^{e}
\end{equation*}を構成する\(\pi ^{e}\)は定数項となるため、\(r\)と\(i\)の間には1対1の関係が成立し、したがって\(r\)と\(i\)を同一視しても一般性は失われません。特に、\(\pi ^{e}=0\)と仮定する場合には、\begin{equation*}r\approx i
\end{equation*}が成り立ちます。

演習問題