AS曲線（総供給曲線）の定義と性質

総供給を分析対象に加える理由

45度線モデルでは財市場だけを分析対象とした上で、閉鎖経済における財市場の総供給関数\(AS\left( Y\right) \)と総需要関数\(AD\left( Y\right) \)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}AS\left( Y\right) &=&Y \\
AD\left( Y\right) &=&C\left( Y-T\right) +I+G
\end{eqnarray*}と定式化した上で、財市場の均衡条件を、\begin{equation*}
AS\left( Y\right) =AD\left( Y\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
Y=C\left( Y-T\right) +I+G
\end{equation*}と定めました。ただし、\begin{eqnarray*}
Y &:&\text{国民所得（内生変数）} \\
T &:&\text{税（外生変数）} \\
C\left( Y-T\right) &:&\text{消費関数} \\
I &:&\text{投資（外生変数）}
\\
G &:&\text{政府支出（外生変数）}
\end{eqnarray*}です。

45度線モデルでは投資\(I\)を外生変数とみなしていますが、実際には投資は実質利子率\(r\)に依存しており、その関係は投資関数\begin{equation*}I=I\left( r\right)
\end{equation*}として表現されます。つまり、45度線モデルは投資と実質利子率の関係を考慮していないため、現実の経済現象を説明する能力に限界があります。利子率は財市場と貨幣市場を結びつける架け橋であり、利子率は貨幣市場の均衡によって決定されます。そのため、財市場の均衡を完全に分析するためには、その前提となる利子率を決定する貨幣市場を同時に分析する必要があります。つまり、財市場と貨幣市場の同時分析を念頭においた場合には、実質利子率\(r\)を内生変数に加えた上で、財市場の総需要関数\(AD\left( Y\right) \)を、\begin{equation*}AD\left( Y,r\right) =C\left( Y\right) +I\left( r\right) +G
\end{equation*}と表現する必要があります。

IS-LMモデルでは財市場に加えて貨幣市場を分析対象とします。財市場の均衡条件は、\begin{equation*}
AS\left( Y\right) =AD\left( Y,r\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
Y=C\left( Y-T\right) +I\left( r\right) +G
\end{equation*}である一方で、貨幣市場の均衡条件は、\begin{equation*}
\frac{M}{P}=L\left( Y,i\right)
\end{equation*}です。ただし、\begin{eqnarray*}
Y &:&\text{国民所得（内生変数）} \\
r &:&\text{実質利子率（内生変数）} \\
T &:&\text{税（外生変数）} \\
C\left( Y-T\right) &:&\text{消費関数} \\
I\left( r\right) &:&\text{投資関数} \\
G &:&\text{政府支出（外生変数）} \\
M &:&\text{名目マネーサプライ（外生変数）} \\
P &:&\text{物価（外生変数）}
\\
i &:&\text{名目利子率（内生変数）} \\
L\left( Y,i\right) &:&\text{実質貨幣需要関数}
\end{eqnarray*}です。実質利子率\(r\)と名目利子率\(i\)の間にフィッシャー方程式\begin{equation*}r=i-\pi ^{e}
\end{equation*}が成り立つものと仮定します。ただし、\(\pi^{e}\)は期待インフレ率です。物価\(P\)が固定された短期において期待インフレ率\(\pi ^{e}\)は定数であるため\(r\)と\(i\)の間には1対1の関係が成り立ち、したがって両者を同一視しても一般性は失われません。この場合、財市場と貨幣市場の同時均衡条件は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
Y=C\left( Y-T\right) +I\left( r\right) +G \\
\frac{M}{P}=L\left( Y,r\right)\end{array}\right.
\end{equation*}となります。

貨幣市場を分析対象に加えることにより、財市場の均衡を完全に分析できるようになったと言えるでしょうか。IS-LMモデルでは短期における数量調整を仮定しているため、財市場において総供給は総需要に完全追随します。したがって、IS曲線は総需要と総供給の均衡条件を記述しているようでいて、実体としては総需要を記述しているにすぎません。では、生産側の制約を明示的に考慮した財市場の均衡を記述するためには、モデルに何を加えればよいでしょうか。

短期における数量調整では、物価がどのような水準であったとしても、総供給は総需要に一致する形で調整される状況を想定します。つまり、生産部門は総需要にあわせていくらでも生産できるということです。大不況で深刻な需要不足が発生している状況では、このような想定は通用します。しかし、多くの場合、生産部門は総需要と一致する量を常に供給できるわけではなく、生産物の価格に相当する物価や、生産のために利用する労働に支払う賃金などを参照しながら、自身が得る利潤を最大化するような量を供給します。そして、そのような総供給は総需要と一致するとは限りません。つまり、IS-LMモデルは生産部門の事情を考慮していないため、現実の経済現象を説明する能力に限界があります。財市場の均衡を完全に分析するためには、その前提として、生産部門が自身の生産技術と労働市場において調達した労働を利用しながら供給を行う様子を分析し、そのような分析を通じて財市場における真の総供給を導出する必要があります。

総供給関数の定義

生産者が労働投入量\(L\)を自由に変更できる一方で資本投入量\(K\)を変更できない短期を想定した上で、生産者が直面する利潤最大化問題を、\begin{equation*}\max_{L}\ P\cdot F\left( L,\overline{K}\right) -WL-R\overline{K}
\end{equation*}と定式化しました。ただし、\begin{eqnarray*}
P &:&\text{物価（外生変数）}
\\
L &:&\text{労働投入量（内生変数）} \\
\overline{K} &:&\text{資本投入量（外生変数）} \\
F\left( L,K\right) &:&\text{生産関数} \\
W &:&\text{名目賃金（外生変数）} \\
R &:&\text{名目レント（外生変数）}
\end{eqnarray*}です。その上で、生産者による意思決定を労働需要関数\begin{equation*}
L^{D}=L^{D}\left( \frac{W}{P},\overline{K}\right)
\end{equation*}として表現しました。つまり、実質賃金と資本投入量\(\left( \frac{W}{P},\overline{K}\right) \)に直面した状況において利潤を最大化する労働投入量が\(L^{D}\left( \frac{W}{P},\overline{K}\right) \)です。さらに、生産関数が一定の条件を満たす場合、労働需要関数\(L^{D}\left( \frac{W}{P},\overline{K}\right) \)は実質賃金\(\frac{W}{P}\)に関する減少関数になることを示しました。

家計が直面する効用最大化問題を、\begin{equation*}
\max_{\left( C,1-L\right) }\ U\left( C,1-L\right) \quad s.t.\quad P^{e}C=WL
\end{equation*}と定式化しました。ただし、\begin{eqnarray*}
C &:&\text{消費（内生変数）}
\\
L &:&\text{労働時間（内生変数）} \\
1-L &:&\text{余暇時間（内生変数）} \\
U\left( C,1-L\right) &:&\text{効用関数} \\
P^{e} &:&\text{期待物価（外生変数）} \\
W &:&\text{名目賃金（外生変数）}
\end{eqnarray*}です。効用最大化問題は制約条件のない最大化問題\begin{equation*}
\max_{L}\ U\left( \left( \frac{W}{P^{e}}\right) L,1-L\right)
\end{equation*}へと言い換え可能であり、家計による意思決定を労働供給関数\begin{equation*}
L^{S}=L^{S}\left( \frac{W}{P^{e}}\right)
\end{equation*}として表現しました。つまり、期待実質賃金\(\frac{W}{P^{e}}\)に直面した状況において効用を最大化する労働時間が\(L^{S}\left( \frac{W}{P^{e}}\right) \)です。さらに、期待実質賃金\(\frac{W}{P^{e}}\)の変化に伴う代替効果が所得効果よりも大きい場合、労働供給関数\(L^{S}\left( \frac{W}{P^{e}}\right) \)は\(\frac{W}{P^{e}}\)に関する増加関数になることを示しました。

労働市場における需要が労働需要関数\(L^{D}\left( \frac{W}{P},\overline{K}\right) \)によって表現され、供給が労働供給関数\(L^{S}\left( \frac{W}{P^{e}}\right) \)によって表現されることが明らかになりました。仮に、生産者と家計の間に物価に関する情報の非対称性が存在しないのであれば、すなわち、\begin{equation*}P=P^{e}
\end{equation*}が成り立つのであれば、\begin{equation*}
L^{D}\left( \frac{W}{P},\overline{K}\right) =L^{S}\left( \frac{W}{P}\right)
\end{equation*}を満たす実質賃金\(\frac{W}{P}\)において労働市場は均衡し、そこでの需要と供給は一致します。しかし、実際には、生産者は物価水準\(P\)を観察できる一方で家計は\(P\)を観察できず、家計が認識する物価\(P^{e}\)は、\begin{equation*}P^{e}\not=P
\end{equation*}を満たす可能性があります。

時点\(t\in \left\{ 0,1,2,\cdots \right\} \)における実際の物価を\(P_{t}\)で表記し、家計が予測する期待物価を\(P_{t}^{e}\)で表記します。その上で、以下の関係\begin{equation*}P_{t+1}^{e}=P_{t}+\left( 1-\lambda \right) \left( P_{t}^{e}-P_{t}\right)
\quad \left( 0<\lambda <1\right)
\end{equation*}が成り立つものと仮定する場合、これを適応的予想形成仮説と呼びます。適応的予想形成仮説を採用する場合には、以下の近似関係\begin{equation*}
F\left( L_{t+1},\overline{K}\right) \approx Y_{F}+\alpha \left(
P_{t+1}-P_{t+1}^{e}\right)
\end{equation*}が成り立つことを明らかにしました。ただし、\(\alpha \in \mathbb{R} \)は\(\alpha >0\)を満たす定数であり、\(L_{t+1}\)は時点\(t+1\)における均衡労働量であり、\(Y_{F}\)は完全雇用国民所得です。時点\(t+1\)における総供給を、\begin{equation*}Y_{t+1}=F\left( L_{t+1},\overline{K}\right)
\end{equation*}と表記するのであれば、先の近似関係を、\begin{equation*}
Y_{t+1}\approx Y_{F}+\alpha \left( P_{t+1}-P_{t+1}^{e}\right)
\end{equation*}と表現できます。このような事情を踏まえた上で、完全雇用国民所得が\(Y_{F}\)であり、物価が\(P\)であり、期待物価が\(P^{e}\)である場合には、財市場における総供給\(Y\)は、何らかの定数\(\alpha >0\)を用いて、以下のような関係\begin{equation*}Y=Y_{F}+\alpha \left( P-P^{e}\right)
\end{equation*}として表されるものと仮定しました。つまり、総供給関数（aggregate supply function）は、完全雇用国民所得\(Y_{F}\)と定数\(\alpha >0\)を用いて、\begin{equation*}Y^{S}\left( P,P^{e}\right) =Y_{F}+\alpha \left( P-P^{e}\right)
\end{equation*}と表現されます。

以上の事実は、実際の物価\(P\)が家計による予想物価\(P^{e}\)を上回る（\(P>P^{e}\)）場合には、生産者は完全雇用国民所得\(Y_{F}\)を上回る生産を行うことを意味します。さらに、物価と期待物価の差\(P-P^{e}>0\)が大きいほど、生産者は生産をより拡大します。逆に、実際の物価\(P\)が家計による予想物価\(P^{e}\)を下回る（\(P<P^{e}\)）場合には、生産者は完全雇用国民所得\(Y_{F}\)を下回る生産を行います。さらに、物価と期待物価の差\(P-P^{e}<0\)が大きいほど、生産者は生産をより縮小します。

家計が過去に形成した期待物価\(P^{e}\)と実際の物価\(P\)をもとに財市場における総供給\(Y^{S}\left(P,P^{e}\right) \)が決まります。これが財市場における総需要と出会い、財市場において均衡物価\(P\)が決定されます。家計の予想\(P^{e}\)は短期的には容易には変わらないため、\(P^{e}\)が固定された短期を分析対象とする場合には、\(P^{e}\)の水準を一定とみなすことになります。予想物価\(P^{e}\)が一定であるという仮定のもと、縦軸に物価水準\(P\)をとり、横軸に国民所得\(Y\)をとった上で描かれる総供給関数\begin{equation*}Y=Y^{S}\left( P,P^{e}\right)
\end{equation*}のグラフを総供給曲線（aggregate supply curve）と呼びます。

任意の物価水準\(P\)について、\begin{eqnarray*}\frac{\partial Y^{S}\left( P,P^{e}\right) }{\partial P} &=&\frac{\partial }{\partial P}\left[ Y_{F}+\alpha \left( P-P^{e}\right) \right] \\
&=&\alpha \\
&>&0
\end{eqnarray*}であるため、総供給関数\(Y^{S}\left( P,P^{e}\right) \)は物価\(P\)に関する狭義単調増加関数です。以上の事実は、期待物価\(P^{e}\)を固定した短期の総供給曲線\begin{equation*}Y=Y^{S}\left( P,P^{e}\right)
\end{equation*}が右上がりの曲線であることを意味します。

長期における総供給曲線

短期において適応的予想形成仮説\begin{equation}
P_{t+1}^{e}=P_{t}+\left( 1-\lambda \right) \left( P_{t}^{e}-P_{t}\right)
\quad \left( 0<\lambda <1\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成立する一方で、経済が長期間に渡り安定した均衡状態にある場合には、時間の経過とともに期待物価と実際の物価の変動が停止し、その結果、何らかの\(P^{e}\)と\(P\)のもとで、\begin{eqnarray}\lim_{t\rightarrow +\infty }P_{t} &=&P \quad \cdots (2) \\
\lim_{t\rightarrow +\infty }P_{t}^{e} &=&P^{e} \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}が成立します。つまり、実際の物価\(P_{t}\)はある定常値\(P\)に収束し、期待物価\(P_{t}^{e}\)もある定常値\(P^{e}\)に収束するということです。\(\left(1\right) \)の左辺の極限をとると、\begin{equation*}\lim_{t\rightarrow +\infty }P_{t+1}^{e}=P\quad \because \left( 2\right)
\end{equation*}となる一方で、\(\left( 1\right) \)の右辺の極限をとると、\begin{eqnarray*}\lim_{t\rightarrow +\infty }\left[ P_{t}+\left( 1-\lambda \right) \left(
P_{t}^{e}-P_{t}\right) \right] &=&P+\left( 1-\lambda \right) \left(
P^{e}-P\right) \quad \because \left( 2\right) ,\left( 3\right) \\
&=&\left( 1-\lambda \right) P^{e}+\lambda P
\end{eqnarray*}となりますが、\(\left( 1\right) \)より両者は一致するため、\begin{equation*}P=\left( 1-\lambda \right) P^{e}+\lambda P
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( 1-\lambda \right) P=\left( 1-\lambda \right) P^{e}
\end{equation*}を得ます。\(0<\lambda <1\)ゆえに、さらに、\begin{equation*}P^{e}=P
\end{equation*}となります。つまり、経済が定常状態にある場合には、家計はいずれ、自身の錯覚を解消するということです。したがって、長期における総供給関数は、\begin{eqnarray*}
Y^{S}\left( P,P^{e}\right) &=&Y_{F}+\alpha \left( P-P^{e}\right) \\
&=&Y_{F}\quad \because P^{e}=P
\end{eqnarray*}となります。つまり、長期における総供給曲線は横軸切片が\(Y_{F}\)であるような垂直線です。

ケインズ派の総供給曲線

総供給関数を、\begin{equation*}
Y=Y^{S}\left( P,P^{e}\right)
\end{equation*}と記述することは、総供給が物価\(P\)に応じて変動するとともに、財市場において総供給が総需要と出会い、価格メカニズムのもとでの均衡物価\(P\)や均衡国民所得\(Y\)が決定されることを想定しています。一方、ケインズ経済学では、そもそも物価\(P\)は市場メカニズムのもとで調整されるべき存在ではありません。市場メカニズムとは異なる何らかの外生的な要因により物価\(P_{0}\)が決定され、物価が固定された状況において数量調整が行われ、財市場が均衡されるものと考えます。したがって、ケインズ経済学のもとでの総供給曲線をあえて描くとすれば、何らかの定数\(P_{0}\)のもとで、\begin{equation*}P=P_{0}
\end{equation*}となります。つまり、ケインズ経済学のもとでの総供給曲線は水平線です。

古典派の総供給曲線

古典派では情報は完全であり、期待は正確であり、誤認は起こらないものと仮定します。したがって、実際の物価\(P\)と家計が予想する期待物価\(P^{e}\)の間には以下の関係\begin{equation*}P^{e}=P
\end{equation*}が成立するため、労働市場の均衡条件は、\begin{equation}
L^{\ast }=L^{D}\left( \frac{W}{P},\overline{K}\right) =L^{S}\left( \frac{W}{P}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。\(L^{\ast }\)は均衡労働量です。労働供給関数および労働需要関数の定義より均衡実質賃金\(\frac{W}{P}\)において生産者は利潤を最大化しており、家計は効用を最大化しています。均衡における総供給は、均衡労働量\(L^{\ast }\)を短期の生産関数\(F\left( L,\overline{K}\right) \)に代入することにより得られる値\begin{equation}Y_{F}=F\left( L^{\ast },\overline{K}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}ですが、これは（資本投入量\(\overline{K}\)が一定という意味において）短期における完全雇用国民所得です。

古典派において、労働市場の均衡は実質賃金にのみ依存します。したがって、物価が\(P\)から\(P^{\prime }\)へと変動した場合、名目賃金も同率で\(W\)から\(W^{\prime }\)へと調整されて、\begin{equation*}\frac{W^{\prime }}{P^{\prime }}=\frac{W}{P}
\end{equation*}となります。これと\(\left( 1\right) \)より、物価変動後の均衡労働量もまた\(L^{\ast }\)であるため、\(\left(2\right) \)より、物価変動後の均衡における総供給もまた完全雇用国民所得\(Y_{F}\)と一致します。

以上の議論から明らかになったように、古典派のもとでの総供給関数は、\begin{equation*}
Y^{S}\left( P,P^{e}\right) =Y_{F}
\end{equation*}となります。つまり、古典派のもとでの総供給曲線は横軸切片が\(Y_{F}\)であり、これは長期の総供給曲線と一致します。

$$\begin{array}{cc}
\hline
短期の総供給曲線 & 右上がり \\ \hline
長期の総供給曲線 & 垂直 \\ \hline
ケインズ派の総供給曲線 & 水平 \\ \hline
古典派の総供給曲線 & 垂直 \\ \hline
\end{array}$$