完全雇用国民所得と失業の分類

短期における財市場での均衡

閉鎖経済における総供給関数\(AS\left( Y\right) \)と総需要関数\(AD\left( Y\right) \)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}AS\left( Y\right) &=&Y \\
AD\left( Y\right) &=&C\left( Y-T\right) +I+G
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。ただし、\begin{eqnarray*}
Y &:&\text{国民所得（内生変数）} \\
T &:&\text{税（外生変数）} \\
C\left( Y-T\right) &:&\text{消費関数} \\
I &:&\text{投資（外生変数）}
\\
G &:&\text{政府支出（外生変数）}
\end{eqnarray*}です。生産主体と消費主体は独立に意思決定を行うため総需要と総供給は一致するとは限りません。つまり、\begin{equation*}
AS\left( Y\right) \not=AD\left( Y\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
Y\not=C\left( Y-T\right) +I+G
\end{equation*}が成り立ち得るということです。価格が硬直的な短期では、企業は超過需要や超過供給を解消するために数量調整（増産ないし減産）によって総供給\(AS\left( Y\right) \)を変化させます。このような数量調整は、総供給\(AS\left( Y\right) \)すなわち\(Y\)が、企業が実際に売れると期待する水準\(AD\left(Y\right) \)と一致するまで行われます。つまり、数量調整の結果、短期における財市場均衡条件\begin{equation*}AS\left( Y\right) =AD\left( Y\right)
\end{equation*}を満たす均衡国民所得\(Y^{\ast }\)が、\begin{equation*}AS\left( Y^{\ast }\right) =Y^{\ast }=AD\left( Y^{\ast }\right)
\end{equation*}として定まります。以上の事実は、経済の生産水準（総供給）が、実際に売れる水準（総需要）によって一方的に決定されることを意味します。以上のような調整メカニズムを有効需要の原理と呼びます。

価格が固定された短期において数量調整の結果として実現する均衡国民所得\(Y^{\ast }\)のもとでは財市場は均衡しますが、均衡国民所得\(Y^{\ast }\)の水準は、経済の供給能力を最大限効率的に活用した際に実現する国民所得であるとは限りません。実際、価格が変化する状況を想定した上で、価格メカニズムによって生産に関する市場が効率的な均衡へ調整され、その結果として実現する国民所得こそが国民所得の最大値の理論値であり、これは価格の固定という制約下で実現する均衡国民所得\(Y^{\ast }\)を上回る可能性があるからです。価格が変動する状況を想定した上で達成される、経済の供給能力を最大限に活用した場合の国民所得を完全雇用国民所得（full employment national income）と呼びます。以下では、完全雇用国民所得がどのような形で導出されるか、簡単なモデルを用いて解説します。

生産関数と利潤最大化

財・サービスを生産するために用いられる資源を生産要素（factor of production）と呼びます。生産要素としては、働き手としての労働（labor）と、原材料や機械、工場、土地などの資本（capital）が存在します。

労働と資本を投入した場合、そこからどれだけの財・サービスが生み出されるかは、その経済全体の生産技術によって決定されます。そこで、経済全体の生産技術を生産関数（production function）と呼ばれる関数を用いて表現します。具体的には、労働を\(L\)だけ投入し、資本を\(K\)だけ投入した場合に、経済全体で実現する産出量の最大値\(Y\)を、\begin{equation*}Y=F\left( L,K\right)
\end{equation*}と表記します。

この生産関数\(F\left( L,K\right) \)は個々の具体的な企業の生産関数ではなく、経済全体を平均的に代表する架空の生産者の生産関数であり、経済全体の生産技術を表す関数であることに注意してください。したがって、生産関数が出力する値\(F\left( L,K\right) \)は特定の具体的な財・サービスの産出量ではありません。便宜上、経済全体で生産される多様な財・サービスをあたかも1つの代表的な財に統合されているものと仮定し、そのような複合財の産出量を、基準年の物価で評価した値を\(F\left(K,L\right) \)で表記します。つまり、\(Y\)は実質GDPであり、生産の文脈ではこれを実質産出（real output）と呼ぶこととします。

生産関数\(F\left( K,L\right) \)は具体的にどのような形状をしているのでしょうか。マクロ経済学の分析において広く用いられる生産関数は、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A>0 \\
&&\left( b\right) \ 0<\alpha <1
\end{eqnarray*}を満たす定数\(A,\alpha \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}F\left( L,K\right) =AK^{\alpha }L^{1-\alpha }
\end{equation*}と表されます。これをコブ・ダグラス型生産関数（Cobb-Douglas production function）と呼びます。コブ・ダグラス型生産関数のもとでは、以下の関係\begin{equation*}
L=AK^{\alpha }L^{1-\alpha }
\end{equation*}が成り立つということです。以下ではコブ・ダグラス型生産関数を用いて議論を行います。

生産要素を調達するためには対価を支払う必要があります。生産要素の価格を要素価格（factor price）と呼びます。

労働市場において労働を調達するためには対価として賃金を支払う必要があります。そこで、労働の要素価格を賃金（wage）と呼び、それを、\begin{equation*}
W
\end{equation*}で表記します。ただし、\(W\)は労働1単位に対して支払われる通貨額、すなわち名目賃金（nominal wage）であることに注意してください。労働の投入量が\(L\)である場合、それを調達するために必要な名目費用は、\begin{equation*}WL
\end{equation*}となります。

資本市場において資本を調達するためには賃料などを対価として支払う必要があります。そこで、資本の要素価格をレント（rent）と呼び、これを、\begin{equation*}
R
\end{equation*}で表記します。ただし、\(R\)は資本1単位に対して支払われる通貨額、すなわち名目レント（nominal rent）であることに注意してください。資本の投入量が\(K\)である場合、それを調達するために必要な名目費用は、\begin{equation*}RK
\end{equation*}となります。

生産部門が労働と資本を\(\left( L,K\right) \)だけ投入した場合の実質産出は\(F\left( L,K\right) \)です。それを物価\(P\)で評価すれば名目収入\begin{equation*}P\cdot F\left( L,K\right) =PAK^{\alpha }L^{1-\alpha }
\end{equation*}が得られます。収入から費用を差し引けば利潤が得られるため、労働と資本を\(\left(L,K\right) \)だけ投入した場合に直面する名目利潤（nominal profit）は、\begin{eqnarray*}\pi \left( L,K\right) &=&P\cdot F\left( L,K\right) -WL-RK \\
&=&PAK^{\alpha }L^{1-\alpha }-WL-RK
\end{eqnarray*}となります。生産部門はこの利潤を最大化するような投入量\(\left( L,K\right) \)を選択するものとします。

短期の生産関数と利潤最大化

これまでは物価水準が固定された期間を短期と呼びましたが、生産の議論では、一部の生産要素の投入量を変更できない期間も短期（short run）と呼びます。

工場や機械労働などの資本ストックは、計画から稼働までに時間がかかるため、資本の投入量\(K\)は容易に調整できません。一方、労働の投入量\(L\)は比較的容易に調整できます。そこで、生産部門が労働の投入量\(L\)を調整できる一方で資本の投入量\(K\)を調整できないようなタイムスパンを分析対象とします。経済に存在する\(K\)の値を表す定数を、\begin{equation*}\overline{K}
\end{equation*}で表記します。その上で、これを生産関数\(F\left( L,K\right) \)に代入することにより得られる\(L\)に関する1変数関数\begin{equation*}F\left( L,\overline{K}\right) =PA\overline{K}^{\alpha }L^{1-\alpha }
\end{equation*}を短期の生産関数（short run production function）と呼びます。生産部門は\(\overline{K}\)の値を所与としながら、\(L\)の値を選択する状況を想定するということです。

なぜ、資本投入量\(K\)を固定した短期の生産関数\(F\left( L,\overline{K}\right) \)を分析対象にするのでしょうか。私たちの目標は完全雇用国民所得を特定することにあります。つまり、価格が変動する状況を想定した上で達成される、経済の供給能力を最大限に活用した場合の国民所得を特定することが目標です。他方で、資本投入量\(K\)が可変であることを認めると、生産部門が資本ストック\(K\)を蓄積することにより経済全体の供給能力そのものが増大していくことになるため、本来の分析対象である、供給能力を最大限活用する状況からは外れてしまいます。

このような事情を踏まえると、完全雇用国民所得の導出を見据えた場合、生産部門が直面する利潤は、\begin{eqnarray*}
\pi \left( L,\overline{K}\right) &=&P\cdot F\left( L,\overline{K}\right)
-WL-R\overline{K} \\
&=&PA\overline{K}^{\alpha }L^{1-\alpha }-WL-R\overline{K}
\end{eqnarray*}となります。価格が変動する状況を想定しますが、ここでの価格とは物価\(P\)に限定されず、労働の価格である名目賃金\(W\)や資本の価格である名目レント\(R\)も含まれます。ただし、資本投入量\(K\)が一定である状況を想定しているため、名目レント\(R\)の水準は生産部門の意思決定に影響を与えません。

生産部門は、完全競争市場において物価\(P\)や名目賃金\(W\)および名目レント\(R\)を受け入れる価格受容者です。このような事情を踏まえると、価格変動を認める場合、完全競争市場において生産部門が直面する問題は、\(\overline{K},P,W,R\)の水準と自身の技術\(F\left( L,K\right) \)を所与としながら利潤を最大化するような\(L\)を選択すること、すなわち、以下の利潤最大化問題\begin{equation*}\max_{L}\ \pi \left( L,\overline{K}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\max_{L}\ PA\overline{K}^{\alpha }L^{1-\alpha }-WL-R\overline{K}
\end{equation*}として定式化されます。

労働市場における需要（労働需要関数）

価格変動を認める場合、完全競争市場において生産部門が直面する問題は、\(\overline{K},P,W,R\)の水準と自身の技術\(F\left( L,K\right) \)のもとで利潤を最大化する最適化問題\begin{equation*}\max_{L}\ PA\overline{K}^{\alpha }L^{1-\alpha }-WL-R\overline{K}
\end{equation*}として定式化されますが、その解は以下の通りです。

名目賃金\(W\)を物価\(P\)で割ることにより得られる、\begin{equation*}\frac{W}{P}
\end{equation*}は物価変動の影響を除いた賃金水準であるため、これを実質賃金（real wage）と呼びます。

実質賃金\(\frac{W}{P}\)は生産部門にとって所与ですが、条件\(\frac{W}{P}\)が変化すれば生産部門が直面する利潤最大化問題\begin{equation}\max_{L}\ PA\overline{K}^{\alpha }L^{1-\alpha }-WL-R\overline{K} \quad \cdots (1)
\end{equation}も変化するため、それに応じて\(\left( 1\right) \)の解\begin{equation*}L^{D}=\left[ \frac{\left( 1-\alpha \right) A}{\frac{W}{P}}\right] ^{\frac{1}{\alpha }}\overline{K}
\end{equation*}も変化します。つまり、\(L^{D}\)を\(\frac{W}{P}\)に関する関数\begin{equation*}L^{D}=L^{D}\left( \frac{W}{P}\right) =\left[ \frac{\left( 1-\alpha \right) A}{\frac{W}{P}}\right] ^{\frac{1}{\alpha }}\overline{K}
\end{equation*}とみなせるということです。このような関数\(L^{D}\)を労働需要関数（labor demand function）と呼びます。労働需要関数\(L^{D}\)が\(\frac{W}{P}\)に対して定める値\(L^{D}\left( \frac{W}{P}\right) \)は、\(\frac{W}{P}\)に直面した場合に利潤を最大化するような労働投入量です。

労働需要関数\(L^{D}\left( \frac{W}{P}\right) \)は実質賃金\(\frac{W}{P}\)に関する減少関数です。

労働市場における供給（労働供給関数）

労働市場における最適な需要量が明らかになりました。では、労働市場における最適な供給量はどのように決定されるのでしょうか。

労働市場において労働を供給するのは家計ですが、家計は労働を通じて得た所得を原資とする消費および余暇から得られる効用を比較し、効用最大化を達成するような最適な労働供給量を決定します。一般に、労働の供給は実質賃金の上昇とともに増加するため、最適な労働供給量\(L^{S}\)を特定する関数\begin{equation*}L^{S}=L^{S}\left( \frac{W}{P}\right)
\end{equation*}は実質賃金\(\frac{W}{P}\)に関する増加関数です。この関数\(L_{s}\left( \frac{W}{P}\right) \)を労働供給関数（labor supply function）と呼びます。

労働市場の均衡と完全雇用国民所得

労働市場における最適な需要は労働需要関数\begin{equation*}
L^{D}=L^{D}\left( \frac{W}{P}\right)
\end{equation*}として表現され、最適な供給は労働供給関数\begin{equation*}
L^{S}=L^{S}\left( \frac{W}{P}\right)
\end{equation*}として表現されることが明らかになりました。価格変動を認める場合、何らかの実質賃金\(\frac{W^{\ast }}{P^{\ast }}\)のもとで労働市場が均衡し、\begin{equation*}L^{\ast }=L_{d}\left( \frac{W^{\ast }}{P^{\ast }}\right) =L_{s}\left( \frac{W^{\ast }}{P^{\ast }}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。\(L^{\ast }\)が均衡における労働量です。労働市場が均衡している状態を完全雇用（full employment）と呼びますが、その理由は後述します。いずれにせよ、完全雇用が実現している場合には労働は適切に配分され、生産部門は利潤最大化を実現し、家計は効用最大化を実現しています。したがって、完全雇用は経済全体として最も効率的な状態であると言えます。

完全雇用を実現する均衡労働量\(L^{\ast }\)を短期生産関数\(F\left( L,\overline{K}\right) \)に代入することにより得られる値\begin{equation*}Y_{F}=F\left( L^{\ast },\overline{K}\right)
\end{equation*}は経済の供給能力を最大限に活用した場合の国民所得であり、これを完全雇用国民所得（full employment national income）と呼びます。

完全雇用の意味（失業の分類）

長期均衡における完全雇用は労働が最適に利用されている状態ですが、それは失業率がゼロであることを必ずしも意味しません。完全雇用の状態でも特定の種類の失業は残存します。以下では失業を分類した上で、完全雇用の状態において解消される失業、および解消されない失業がどのようなものであるかを解説します。

失業は、その原因と性質によっていくつかの種類に分類されます。\begin{equation*}
\text{失業}\left\{
\begin{array}{l}
\text{非自発的失業} \\
\text{自発的失業} \\
\text{摩擦的失業} \\
\text{構造的失業}\end{array}\right.
\end{equation*}

1つ目は、働きたい意志と能力があるにもかかわらず、職がない状態です。特に、景気後退時に総需要が不足し、企業が労働者を解雇することで発生します。これを非自発的失業（involuntary unemployment）と呼びます。

2つ目は、現行の賃金水準では働かないことを選択している人々の失業です。仕事はあるが、その賃金や労働条件が自分にとって不十分であると判断し、労働供給を自ら差し控えている状態を指します。これを自発的失業（voluntary unemployment）と呼びます。

3つ目は、転職活動や新卒の就職活動など、労働者が新しい職を見つけるまでの探索期間に発生する一時的な失業です。これは労働者と企業が常に最適なマッチングを求めている限り不可避です。これを摩擦的失業（frictional unemployment）と呼びます。

4つ目は、労働者のスキルや所在地と、企業が求めるスキルや所在地がミスマッチしているために発生する失業です。産業構造の変化や技術革新などにより職を失った労働者が、新しい産業で求められるスキルを持っていない場合に発生します。これを構造的失業（structural unemployment）と呼びます。

長期均衡における完全雇用、すなわち労働市場の均衡が達成されている場合、労働市場では均衡実質賃金において調整されているため、その賃金水準において生産部門が需要したい労働がすべて供給されるとともに、その賃金水準において家計が供給したい労働がすべて需要されているため、そこでは非自発的失業が存在しません。つまり、完全雇用とは、均衡実質賃金のもとで働きたいすべての人が雇われているという意味において非自発的失業が存在しない状態を指します。完全雇用では、均衡実質賃金のもとで働きたい人が全員働いているため、完全雇用国民所得を経済全体の生産能力の上限とみなすことができます。

一方、自発的失業、摩擦的失業、および構造的失業は、その定義上、完全雇用が達成されている場合にも存在し続けます。そこで、これら3種類の失業をまとめて自然失業（natural unemployment）と呼びます。完全雇用が達成されている状態の失業率、すなわち労働人口に占める自然失業の割合を自然失業率（natural rate of unemployment）と呼びます。

演習問題