確認テスト I（凸集合）

非空の集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)と正のスカラー\(\lambda_{1},\lambda _{2}>0\)が与えられているものとします。以下の問いに答えてください（各15点）。

1. \(C\)が凸集合である場合には、\begin{equation*}\left( \lambda _{1}+\lambda _{2}\right) C=\lambda _{1}C+\lambda _{2}C\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
2. \(C\)が凸集合ではない場合には、\begin{equation*}\left( \lambda _{1}+\lambda _{2}\right) C=\lambda _{1}C+\lambda _{2}C\end{equation*}は成り立つとは限らないことを示してください。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線は、位置ベクトル\(\boldsymbol{p}\in \mathbb{R} ^{n}\)と方向ベクトル\(\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)を用いて、\begin{equation*}L\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{v}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}+t\boldsymbol{v}\right\}
\end{equation*}と表現されます。以下の問いに答えてください。

1. \(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する任意の直線はアフィン集合であることを証明してください（10点）。
2. ユークリッド空間の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(A\)と\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する任意の直線との共通部分が凸集合であることは、\(A\)が凸集合であるための必要十分であることを証明してください（10点）。
3. ユークリッド空間の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(A\)と\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する任意の直線との共通部分がアフィン集合であることは、\(A\)がアフィン集合であるための必要十分であることを証明してください（10点）。

2次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y\geq e^{x}\right\} \\
B &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y\leq 0\right\}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. 分離超平面定理が要求する条件が満たされることを確認してください。
2. \(A\)と\(B\)を分離する超平面を具体的に特定してください。

2次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y\geq x^{3}\right\} \\
B &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\geq 1\wedge y\leq 1\right\}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. 分離超平面定理が要求する条件が満たされないことを確認してください。
2. \(A\)と\(B\)を分離する超平面が存在しないことを示してください。