イェンゼンの不等式を用いた1変数の狭義準凸関数・狭義準凹関数の特徴づけ

イェンゼンの不等式を用いた狭義準凸関数の特徴づけ

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が狭義準凸関数であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x_{1}\in I,\ \forall x_{2}\in I\backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\
\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :f\left( \lambda x_{1}+\left(
1-\lambda \right) x_{2}\right) <\max \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left(
x_{2}\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つということです。

2以上の自然数\(k\in \mathbb{N} \backslash \left\{ 1\right\} \)を任意に選んだ上で、さらに区間上に存在する\(k\)個の異なる点\(x_{1},\cdots ,x_{k}\in I\)と、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,k\right\} :\lambda _{i}>0
\\
&&\left( b\right) \ \sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}=1
\end{eqnarray*}を満たす\(k\)個のスカラー\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k}\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\(f\)が狭義準凸関数である場合には以下の不等式\begin{equation*}f\left( \sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}x_{i}\right) <\max_{1\leq i\leq k}f\left(
x_{i}\right)
\end{equation*}が必ず成り立ちます。これが狭義準凸関数に関するイェンゼンの不等式です。

逆に、イェンゼンの不等式から関数の狭義準凸性が導かれるため以下を得ます。

イェンゼンの不等式を用いた狭義準凹関数の特徴づけ

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が狭義準凹関数であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x_{1}\in I,\ \forall x_{2}\in I\backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\
\forall \lambda \in \left( 0,1\right) :\min \left\{ f\left( x_{1}\right)
,f\left( x_{2}\right) \right\} <f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda
\right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

\(2\)以上の自然数\(k\in \mathbb{N} \backslash \left\{ 1\right\} \)を任意に選んだ上で、さらに区間上に存在する\(k\)個の異なる点\(x_{1},\cdots ,x_{k}\in I\)と、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,k\right\} :\lambda _{i}>0
\\
&&\left( b\right) \ \sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}=1
\end{eqnarray*}を満たす\(k\)個のスカラー\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k}\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\(f\)が狭義準凹関数である場合には以下の不等式\begin{equation*}\min_{1\leq i\leq k}f\left( x_{i}\right) <f\left( \sum_{i=1}^{k}\lambda
_{i}x_{i}\right)
\end{equation*}が必ず成り立ちます。これが狭義準凹関数に関するイェンゼンの不等式です。

逆に、イェンゼンの不等式から関数の狭義準凹性が導かれるため以下を得ます。

イェンゼンの不等式を用いた拡大実数値をとる狭義準凸関数の特徴づけ

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が狭義準凸関数であることは、\begin{equation*}\forall x_{1}\in \mathrm{dom}\left( f\right) ,\ \forall x_{2}\in \mathrm{dom}\left( f\right) \backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\ \forall \lambda \in
\left( 0,1\right) :f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right)
x_{2}\right) <\max \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right)
\right\}
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、拡大実数値をとる狭義準凸関数もまたイェンゼンの不等式を用いて以下のように表現できます。

イェンゼンの不等式を用いた拡大実数値をとる狭義準凹関数の特徴づけ

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)が狭義準凹関数であることは、\begin{equation*}\forall x_{1}\in \mathrm{dom}\left( f\right) ,\ \forall x_{2}\in \mathrm{dom}\left( f\right) \backslash \left\{ x_{1}\right\} ,\ \forall \lambda \in
\left( 0,1\right) :\min \left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right)
\right\} <f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、拡大実数値をとる準凹関数もまたイェンゼンの不等式を用いて以下のように表現できます。