イェンゼンの不等式を用いた1変数の準凸関数・準凹関数の特徴づけ

イェンゼンの不等式を用いた準凸関数の特徴づけ

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が準凸関数であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in I,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :f\left(
\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \leq \max \left\{
f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つということです。

自然数\(k\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、さらに区間上に存在する\(k\)個の点\(x_{1},\cdots ,x_{k}\in I\)と、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,k\right\} :\lambda
_{i}\geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}=1
\end{eqnarray*}を満たす\(k\)個のスカラー\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k}\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\(f\)が準凸関数である場合には以下の不等式\begin{equation*}f\left( \sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}x_{i}\right) \leq \max_{1\leq i\leq
k}f\left( x_{i}\right)
\end{equation*}が必ず成り立ちます。これが準凸関数に関するイェンゼンの不等式です。

逆に、イェンゼンの不等式から関数の準凸性が導かれるため以下を得ます。

イェンゼンの不等式を用いた準凹関数の特徴づけ

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が準凹関数であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in I,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\min
\left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} \leq f\left(
\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

自然数\(k\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、さらに区間上に存在する\(k\)個の点\(x_{1},\cdots ,x_{k}\in I\)と、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,k\right\} :\lambda
_{i}\geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{i=1}^{k}\lambda _{i}=1
\end{eqnarray*}を満たす\(k\)個のスカラー\(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{k}\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\(f\)が準凹関数である場合には以下の不等式\begin{equation*}\min_{1\leq i\leq k}f\left( x_{i}\right) \leq f\left( \sum_{i=1}^{k}\lambda
_{i}x_{i}\right)
\end{equation*}が必ず成り立ちます。これが準凹関数に関するイェンゼンの不等式です。

逆に、イェンゼンの不等式から関数の準凹性が導かれるため以下を得ます。

イェンゼンの不等式を用いた準線型関数の特徴づけ

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が準線型関数であるものとします。つまり、\(f\)は準凸関数かつ準凹関数であるということです。定義より、\(f\)が準線型関数であることは、
\begin{equation*}
\forall x_{1},x_{2}\in I,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\min
\left\{ f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\} \leq f\left(
\lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right) \leq \max \left\{
f\left( x_{1}\right) ,f\left( x_{2}\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

先に示した諸命題を用いると以下が導かれます。

イェンゼンの不等式を用いた拡大実数値をとる準凸関数の特徴づけ

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が準凸関数であることは、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :f\left( \lambda x_{1}+\left(
1-\lambda \right) x_{2}\right) \leq \max \left\{ f\left( x_{1}\right)
,f\left( x_{2}\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、拡大実数値をとる準凸関数もまたイェンゼンの不等式を用いて以下のように表現できます。

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)の有効領域は、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) <+\infty \right\}
\end{equation*}と定義されるとともに、\(f\)が準凸関数である場合には\(\mathrm{dom}\left( f\right) \)は区間になります。拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が準凸関数であることと、\(f\)の定義域を有効領域\(\mathrm{dom}\left(f\right) \)に制限することにより得られる実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset \mathrm{dom}\left( f\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が準凸関数であることは必要十分であるため以下を得ます。

イェンゼンの不等式を用いた拡大実数値をとる準凹関数の特徴づけ

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)が準凹関数であることは、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\min \left\{ f\left( x_{1}\right)
,f\left( x_{2}\right) \right\} \leq f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda
\right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、拡大実数値をとる準凹関数もまたイェンゼンの不等式を用いて以下のように表現できます。

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)の有効領域は、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) >-\infty \right\}
\end{equation*}と定義されるとともに、\(f\)が準凹関数である場合には\(\mathrm{dom}\left( f\right) \)は区間になります。拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)が準凹関数であることと、\(f\)の定義域を有効領域\(\mathrm{dom}\left(f\right) \)に制限することにより得られる実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset \mathrm{dom}\left( f\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が準凹関数であることは必要十分であるため以下を得ます。

演習問題