確認テスト I（関数列）

関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項が関数\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であるものとします。さらに、関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。以上の状況において、それぞれの\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}a_{n}=\sup \left\{ \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}と定義します。以下の条件\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }a_{n}=0
\end{equation*}が成り立つことは、\(\left\{ f_{n}\right\} \)が\(f\)へ一様収束するための必要十分条件であることを証明してください。

関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項である関数\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はそれぞれの\(x\in \left[ 0,2\right] \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =\frac{nx}{e^{nx}}
\end{equation*}を定めるものとします。また、関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,2\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はそれぞれの\(x\in \left[ 0,2\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =0
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. \(\left\{ f_{n}\right\} \)は\(\left( 0,2\right] \)上において\(f\)へ各点収束することを示してください。
2. \(\left\{ f_{n}\right\} \)は\(\left[ 0,2\right] \)上において\(f\)へ一様収束しないことを示してください。

関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項である関数\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =\frac{nx}{1+nx}
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. \(X=\mathbb{R} _{+}\)である場合には、\(\left\{ f_{n}\right\} \)は各点収束することを示してください。その上で、\(\left\{f_{n}\right\} \)の極限関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)を特定してください。
2. \(a>0\)を任意に選んだ上で\(X=[a,+\infty )\)とした場合には、\(\left\{ f_{n}\right\} \)は問1で求めた関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack a,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)へと一様収束することを示してください。
3. \(X=\left[ 0,1\right] \)である場合には、\(\left\{ f_{n}\right\} \)は問1で求めた関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)へと一様収束しないことを示してください。

関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項である関数\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =2x+\frac{x}{n}
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. \(\left\{ f_{n}\right\} \)は各点収束することを示してください。その上で、\(\left\{ f_{n}\right\} \)の極限関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を特定してください。
2. 以下の関係\begin{equation*}\forall x\in \left[ 0,1\right] :\frac{d}{dx}\lim_{n\rightarrow +\infty
   }f_{n}\left( x\right) =\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{df_{n}\left(
   x\right) }{dx}
   \end{equation*}は成り立つでしょうか。議論してください。
3. 以下の関係\begin{equation*}\int_{0}^{1}\lim_{n\rightarrow +\infty }f_{n}\left( x\right)
   dx=\lim_{n\rightarrow +\infty }\int_{0}^{1}f_{n}\left( x\right) dx
   \end{equation*}は成り立つでしょうか。議論してください。