確認テスト II（関数列）

関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項である関数は、\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =\frac{n}{nx+1}
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください（各5点）。

1. \(X=\left( 0,1\right) \)である場合には\(\left\{ f_{n}\right\} \)は有界であることを示してください。
2. \(X=\left( 0,1\right) \)である場合には\(\left\{ f_{n}\right\} \)は各点収束することを示した上で、その極限関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)を求めてください。
3. 問2において求めた極限関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が有界ではないことを示してください。
4. \(X=\left( 0,1\right) \)である場合には\(\left\{ f_{n}\right\} \)は一様収束しないことを示してください。
5. \(0<a<1\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で\(X=[a,1)\)とした場合には\(\left\{f_{n}\right\} \)は有界であることを示してください。
6. \(0<a<1\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で\(X=[a,1)\)とした場合には\(\left\{f_{n}\right\} \)は各点収束することを示した上で、その極限関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack a,1)\rightarrow \mathbb{R} \)を求めてください。
7. \(0<a<1\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で\(X=[a,1)\)とした場合には\(\left\{f_{n}\right\} \)は問6において求めた極限関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack a,1)\rightarrow \mathbb{R} \)に一様収束することを示してください。
8. 問6において求めた極限関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack a,1)\rightarrow \mathbb{R} \)が有界であることを示してください。

以下の問いに答えてください（各10点）。

1. 関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項である関数は、\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であり、これはそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =\frac{1}{1+\left( nx-1\right) ^{2}}\end{equation*}を定めるものとします。\(\left\{ f_{n}\right\} \)は一様収束するでしょうか。判定してください。
2. 関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項である関数は、\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であり、これはそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =nx^{n}\left( 1-x\right) \end{equation*}を定めるものとします。\(\left\{ f_{n}\right\} \)は一様収束するでしょうか。判定してください。
3. 関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項である関数は、\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であり、これはそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =\arctan \left( \frac{2x}{x^{2}+n^{3}}\right) \end{equation*}を定めるものとします。\(\left\{ f_{n}\right\} \)は一様収束するでしょうか。判定してください。

関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項である関数\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =\frac{1}{1+x^{n}}
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. \(X=\left[ 0,1\right] \)である場合には、\(\left\{ f_{n}\right\} \)は各点収束することを示してください。その上で、\(\left\{ f_{n}\right\} \)の極限関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を特定してください。
2. \(a\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだ上で\(X=\left[ 0,a\right] \)とした場合には、\(\left\{ f_{n}\right\} \)は問1で求めた関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,a\right] \rightarrow \mathbb{R} \)へと一様収束することを示してください。
3. \(X=\left[ 0,1\right] \)である場合には、\(\left\{ f_{n}\right\} \)は問1で求めた関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)へと一様収束しないことを示してください。