ほとんど確実に収束する関数列

ほとんど確実に収束する関数列

定義域\(X\subset \mathbb{R} \)を共有する関数からなる関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が与えられている状況を想定します。つまり、この関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)の一般項は\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。定義域上の点\(x\in X\)を選べば関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)から数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right)\right\} \)が得られますが、この数列が有限な実数へ収束する場合には、すなわち、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合には、もとの関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)は点\(x\in X\)において各点収束すると言います。特に、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が\(X\)上の任意の点において各点収束する場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in X:\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合には、もとの関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)は各点収束すると言います。この場合、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であるため、これを関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)の極限関数と呼びます。その上で、関数列の収束概念として各点収束を採用した際に関数\(f\)が関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の極限関数であることを、\begin{equation*}f_{n}\rightarrow f\quad \text{pointwise}
\end{equation*}で表記します。

定義域\(X\subset \mathbb{R} \)を共有する関数からなる関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が各点収束であるためには、\(X\)上の任意の点において\(\left\{ f_{n}\right\} \)が各点収束する必要がありますが、これは要求として厳しすぎます。そこで、\(X\)上のほとんどすべての点において関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が各点収束であれば、この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は収束するものとみなす立場もあります。この場合、「ほとんどすべての点」をどのように定義するかが問題になりますが、具体的にはルベーグ測度を用いて以下のように定義します。

実数空間\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合を集めてできる集合族、すなわちルベーグ可測集合族を\(\mathfrak{M}_{\mu }\)で表記し、ルベーグ測度を\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)で表記します。関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)を構成する関数が共有する定義域\(X\subset \mathbb{R} \)がルベーグ可測集合であるものとします。つまり、\begin{equation*}X\in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}です。加えて、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は集合\(A\subset X\)上の任意の点において各点収束するものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x\in A:\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つということです。この場合、先の集合\(A\)の補集合\(A^{c}=X\backslash A\)上の点において関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は各点収束であるとは限りませんが、この補集合が零集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}\mu \left( A^{c}\right) =0
\end{equation*}が成り立つ場合には、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は\(X\)上のほとんどいたるところにおいて各点収束します。そこで、以上の条件が成り立つ場合には、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)はほとんど確実に収束する（almost sure convergent）とか概収束する（convergent almost surely）などと言います。

改めて整理すると、定義域\(X\subset \mathbb{R} \)を共有する関数からなる関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)がほとんど確実に収束することとは、何らかの部分集合\(A\subset X\)のもとで、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ X\in \mathfrak{M}_{\mu } \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in A:\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left(
x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \mu \left( A^{c}\right) =0
\end{eqnarray*}が成り立つことを意味します。この場合、それぞれの\(x\in A\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める極限関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。その上で、関数列の収束概念としてほとんど確実に収束を採用した際に関数\(f\)が関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の極限関数であることを、\begin{equation*}f_{n}\rightarrow f\quad \text{almostsurely}
\end{equation*}で表記します。

ほとんど確実に収束する関数列の極限関数は一意的ではない

各点収束する関数列の極限関数は一意的に定まる一方で、ほとんど確実に収束する関数列の極限関数は一意的に定まるとは限りません。以下の例より明らかです。

演習問題