非分割財の交換経済におけるメカニズム

インセンティブの問題

非分割財の交換経済が環境\begin{equation*}
\left( I,\left\{ h_{i}\right\} _{i\in I},\left\{ \succsim _{i}\right\}
_{i\in I},A,\left\{ \succsim _{i}^{A}\left[ \succsim _{I}\right] \right\}
_{i\in I}\right)
\end{equation*}として表現されているものとします。ただし、\(I\)はプレイヤー集合、\(h_{i}\)はプレイヤー\(i\in I\)が初期時点において保有する商品、\(\succsim _{i}\)はプレイヤー\(i\)が商品どうしを比較する選好関係、\(A\)は配分集合、\(\succsim _{i}\left[ \succsim _{I}\right] \)はプレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好関係です。特に、任意のプレイヤー\(i\in I\)に関して非外部性と私的価値を仮定する（私的価値モデル）場合には、任意の2つの配分\(a_{I},a_{I}^{\prime }\in A\)に対して以下の関係\begin{equation*}a_{I}\succsim _{i}^{A}[\succsim _{I}]\ a_{I}^{\prime }\Leftrightarrow
a_{i}\succsim _{i}a_{i}^{\prime }
\end{equation*}が成り立つため、プレイヤー\(i\)が配分どうしを比較する選好\(\succsim_{i}^{A}[\succsim _{I}]\)について考えるかわりに、プレイヤー\(i\)が商品どうしを比較する選好\(\succsim _{i}\)について考えても一般性は失われません。

非分割財の交換経済を以上のように定式化しましたが、続いて問題になるのは、プレイヤーたちがどのようなルールにもとづいて商品を交換するか、その最適な結果を特定し実行することです。ただ、話はそう単純ではないことを以下で解説します。

それぞれのプレイヤーは商品どうしを比較する選好を持っていますが、これは自分だけが知っている情報であり、他のプレイヤーたちはそれを事前に観察できません。仮に、交換が行われる前にあるプレイヤーが他のプレイヤーたちに対して自身の選好を打ち明けた状況を想定します。しかし、それを聞いた他のプレイヤーたちは、その発言の真偽を確認する術がありません。そのプレイヤーは嘘をついているかもしれないし、本当のことを言っているかもしれない。プレイヤーにとって選好はその人の頭の中に情報であるため、その人の発言が嘘であるか見破ることは原理的に不可能です。すべてのプレイヤーについて同様の議論が成り立ちます。このとき、それぞれのプレイヤーにとって自身の選好は私的情報（private information）であると言います。それぞれのプレイヤーが考える選好はその人だけが私的に持っている情報であり、他のプレイヤーたちはそれを事前に知ることはできないということです。一般に、市場参加者の中に私的情報を持つプレイヤーが存在する場合、その市場では情報の非対称性（asymmetric information）が成立していると言います。非分割財の交換経済ではプレイヤーの間に情報の非対称性が成立しています。

商品の交換ルールを設計するマッチメイカー（match maker）は、何らかの意味において社会的に望ましい配分を実現しようとします。仮にマッチメイカーがプレイヤーたちの真の選好を観察できるのであれば、観察した真の選好の組を基準に社会的に望ましい配分を特定し、それを遂行すればよいことになります。しかし、実際には、先に解説したような情報の非対称性が成立しているため、マッチメイカーはプレイヤーたちの真の選好を観察できず、したがって社会的に望ましい配分を事前に特定できません。マッチメイカーはプレイヤーたちに自身の選好を申告させた上で、申告された選好を基準に社会的に望ましい配分を特定し、それを遂行せざるを得ません。ただ、それぞれのプレイヤーが申告する選好は、そのプレイヤーの真の選好と一致するとは限りません。プレイヤーは望ましい商品を手に入れるために戦略的に行動しますが、その一環として、偽りの選好を申告する可能性があるからです。プレイヤーの選好は私的情報であるため、プレイヤーが嘘をついて真の選好とは異なる選好を申告しても、マッチメイカーはそれが嘘であるかどうかを知る術がありません。プレイヤーたちが偽りの選好を表明する場合、マッチメイカーは偽りの選好を基準に配分を決定することとなり、それは真の意味で社会的に望ましい配分とは異なるものになってしまう可能性があります。情報の非対称性に起因するこのような問題をインセンティブの問題（incentive problem）と呼びます。

インセンティブの問題を引き起こす原因が情報の非対称性である以上、問題を解決するためには何らかの方法を通じて情報の非対称性を解消する必要があります。つまり、何らかの方法を通じて、それぞれのプレイヤーの真の選好を特定する必要があります。ただ、繰り返しになりますが、プレイヤーは選好を正直に申告するとは限りませんし、そもそも正直に答えているかどうかを判別する術が存在しません。

ただ、それぞれのプレイヤーにとって、自分の真の選好を正直に申告することが最も得であるような商品交換ルールを設計すれば、そのようなルールのもと、プレイヤーたちは自分の真の選好を自ら進んで正直に申告するため、結果として情報の非対称性は解消されます。さらに、その交換ルールが同時に、申告された選好を基準に社会的に望ましい配分を導くような形で設計されていれば、真の意味で社会的に望ましい配分を遂行できることになります。では、そのような商品交換ルールを設計することは可能なのでしょうか。また、可能である場合、具体的にはどのようなルールがそのような要件を満たすのでしょうか。このような問題への解を得ることが私たちの目標です。

情報の非対称性が成立する市場において、私的情報を持っている参加者をエージェント（agent）と呼びます。市場において情報の非対称性が成立する場合、エージェントが自身の利益を最大化するために戦略的に振る舞う結果、その市場ではインセンティブの問題が発生します。インセンティブの問題を解消することを目的として設計される資源配分ルールをメカニズム（mechanism）と呼び、メカニズムを設計する主体をプリンシパル（principal）と呼びます。プリンシパルは適切なメカニズムを設計することを通じて、エージェントたちの行動を社会的に望ましい方向へ誘導しようとします。非分割財の交換経済におけるエージェントは商品を交換しようとしているプレイヤーたちです。プレイヤーは選好を私的情報として持っています。プレイヤーたちがより望ましい商品を手に入れるために真の選好とは異なる選好を申告する結果、非分割財の交換経済ではインセンティブの問題が発生します。そこで、マッチメイカーはプリンシパルとして適切なメカニズム、すなわち商品交換ルールを設計し、プレイヤーたちの行動を社会的に望ましい方向へ誘導しようとします。以上の視点を踏まえた上で、非分割財の交換経済を描写するモデルを見直します。

タイプと状態

非分割財の交換経済において、それぞれのプレイヤーは選好を私的情報として持つエージェントです。そこで、以降ではプレイヤーのことをエージェントと呼びます。エージェント\(i\in I\)が持つ私的情報をエージェント\(i\)のタイプ（type）と呼びます。具体的には、それぞれのエージェント\(i\)のタイプは、自身が商品どうしを比較する商品集合\(H\)上に定義された選好関係\(\succsim _{i}\)として集約的に表現できるものとみなします。

エージェント\(i\)の真のタイプ、すなわち真の選好は1つだけですが、それを観察できるのはエージェント\(i\)自身だけであり、他の任意のエージェントやマッチメイカーはそれを事前に観察できません。このような事情をモデル化するために、エージェント\(i\)の選好\(\succsim _{i}\)は様々な値を取り得るものとし、その中の真の値を知っているのはエージェント\(i\)自身だけであるものとみなします。具体的には、エージェント\(i\)の選好がとり得る値からなる集合を、\begin{equation*}\mathcal{R}_{i}
\end{equation*}で表記し、これをエージェント\(i\)の選好集合（preference set）やタイプ集合（type set）などと呼びます。\(\succsim _{i}\in \mathcal{R}_{i}\)です。エージェント\(i\)の選好\(\succsim _{i}\)は選好集合\(\mathcal{R}_{i}\)に属する様々な値を取り得ますが、\(\succsim _{i}\)の真の値を知っているのはエージェント\(i\)だけです。他の任意のエージェントやマッチメイカーは、\(\succsim _{i}\)のとり得る値の範囲\(\mathcal{R}_{i}\)を知っていますが、その中のどの値が真の値であるかは知らないものと仮定することにより、エージェント\(i\)の選好が私的情報であるという状況を表現するということです。

すべてのエージェントの選好関係からなる組を、\begin{equation*}
\succsim _{I}=(\succsim _{i})_{i\in I}
\end{equation*}で表記し、これを選好プロファイル（preference profile）やタイププロファイル（type profile）などと呼びます。エージェント\(i\)以外のエージェントたちの選好関係からなる組を、\begin{equation*}\succsim _{-i}=\left( \succsim _{j}\right) _{j\in I\backslash \left\{
i\right\} }
\end{equation*}で表記します。\(\succsim_{I}=\left( \succsim _{i},\succsim _{-i}\right) \)です。

すべてのエージェントの選好集合からなる直積を、\begin{equation*}
\mathcal{R}_{I}=\prod_{i\in I}\mathcal{R}_{i}
\end{equation*}で表記します。\(\succsim _{I}\in \mathcal{R}_{I}\)です。また、エージェント\(i\)以外のエージェントたちの選好集合の直積を、\begin{equation*}\mathcal{R}_{-i}=\prod_{j\in I\backslash \{i\}}\mathcal{R}_{j}
\end{equation*}で表記します。\(\succsim _{-i}\in \mathcal{R}_{-i}\)です。

エージェントたちの選好からなる組\(\succsim _{I}\)は、問題としている非分割財の交換経済の状態（state of the world）とも呼ばれます。すべてのエージェントたちの真の選好から構成される状態\(\succsim _{I}\)は、その交換経済の真の状態（true state）に相当します。ただ、それぞれのエージェント\(i\)が知っているのは自身の真の選好\(\succsim _{i}\)だけであり、交換経済の真の状態\(\succsim _{I}\)を構成する残りの要素\(\succsim _{-i}\)については正確に知らず、\(\succsim _{-i}\)がとり得る値の範囲\(\mathcal{R}_{-i}\)だけを知っています。つまり、選好\(\succsim _{i}\)を持つエージェント\(i\)が直面し得る状態からなる集合は、\begin{equation*}\left\{ \left( \succsim _{i},\succsim _{-i}\right) \right\} _{\succsim
_{-i}\in \mathcal{R}_{-i}}
\end{equation*}であり、エージェント\(i\)はこのことを認識しています。他の任意のエージェントについても同様の議論が成り立ちます。

メカニズム

仮にマッチメイカーが問題としている交換経済の真の状態\(\succsim_{I}\)を観察できるならば、観察した\(\succsim _{I}\)を基準に社会的に望ましい配分を配分集合\(A\)の中から選び取ることが原理的に可能であるため、インセンティブの問題は発生しません。しかし、実際には、マッチメイカーは真の状態\(\succsim _{I}\)を事前に観察できず、状態がとり得る値の範囲\(\mathcal{R}_{I}\)だけを知っています。このような状況においてインセンティブの問題を解消するために、マッチメイカーは何らかの商品交換ルール、すなわちメカニズム設計する必要があります。

具体的には、マッチメイカーはエージェントたちに選好を申告させると同時に、申告された選好の組に応じて特定の配分を選択するルールをあらかじめ設計します。これをメカニズム（mechanism）や直接メカニズム（direct mechanism）などと呼びます。より正確には、メカニズムとは、エージェントたちが申告する選好からなる組\(\hat{\succsim}_{I}\in \mathcal{R}_{I}\)に対して、何らかの配分\begin{equation*}\phi \left( \hat{\succsim}_{I}\right) =\left( \phi _{i}\left( \hat{\succsim}_{I}\right) \right) _{i\in I}\in A
\end{equation*}を1つずつ写像\begin{equation*}
\phi :\mathcal{R}_{I}\rightarrow A
\end{equation*}として定式化されます。ただし、\(\phi _{i}\left( \hat{\succsim}_{I}\right) \)はメカニズムが定める配分\(\phi \left( \hat{\succsim}_{I}\right) \)においてエージェント\(i\)に割り当てられる商品であるため、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in I:\phi _{i}\left( \hat{\succsim}_{I}\right)
\in H \\
&&\left( b\right) \ \bigcup\limits_{i\in I}\left\{ \phi _{i}\left( \hat{\succsim}_{I}\right) \right\} =H \\
&&\left( c\right) \ \forall i,j\in I:\left( i\not=j\Rightarrow \phi
_{i}\left( \hat{\succsim}_{I}\right) \not=\phi _{j}\left( \hat{\succsim}_{I}\right) \right)
\end{eqnarray*}を満たす必要があります。ただし、\(H=\left\{h_{i}\right\} _{i\in I}\)は商品集合です。

マッチメイカーはメカニズム\(\phi :\mathcal{R}_{I}\rightarrow A\)を利用して以下の流れのもとで資源配分を行います。

1. マッチメイカーはメカニズム\(\phi :\mathcal{R}_{I}\rightarrow A\)を設計し、それをエージェントたちに提示する。
2. それぞれのエージェント\(i\in I\)は提示されたメカニズム\(\phi \)に同意すれば次のステップへ進む。同意しない場合には商品交換に参加せず、自身が初期保有する商品\(h_{i}\in H\)をそのまま需要する。
3. メカニズム\(\phi \)に同意したそれぞれのエージェント\(i\)は、自身の選好\(\hat{\succsim}_{i}\in \mathcal{R}_{i}\)をマッチメイカーへ申告する。その際、他のエージェントたちが申告する選好を観察することはできない。また、エージェント\(i\)は真の選好\(\succsim _{i}\in \mathcal{R}_{i}\)を正直に申告するとは限らない。
4. 仮にすべてのエージェントがメカニズム\(\phi \)に同意する場合、マッチメイカーは全員が申告してきた選好からなる組\(\hat{\succsim}_{I}\in \mathcal{R}_{I}\)を得るため、それに対して先に提示したメカニズム\(\phi \)にもとづいて配分\(\phi \left( \hat{\succsim}_{I}\right) \in A\)を選び取り、これを遂行する。その結果、それぞれのエージェント\(i\)は商品\(\phi _{i}\left( \hat{\succsim}_{I}\right) \in H\)を入手する。

ここでの1つ目のポイントは、マッチメイカーはエージェントたちに交渉の余地のないオファー（take-it-or-leave-it offer）をしているという点です。つまり、エージェントたちは提示されたメカニズムに同意するか否かの二択に直面しており、メカニズムの内容に対してマッチメイカーと交渉する余地はありません。

2つ目のポイントは、マッチメイカーは自身が最初に提示したメカニズムを後で撤回し、別のメカニズムを再提示することはできないという点です。このとき、マッチメイカーは自身が提示したメカニズムにコミット（commit）していると言います。なお、メカニズムに同意しないエージェントは自身が初期保有する商品をそのまま需要するため、自身が初期保有する商品への満足度はそのエージェントにとっての留保効用（reservation utility）に相当します。

3つ目のポイントは、マッチメイカーはエージェントたちの真の選好\(\succsim _{I}\)を事前に観察できないため、メカニズムはエージェントたちが申告してきた選好からなる組\(\hat{\succsim}_{I}\)に対して配分を定める形にならざるを得ないということです。それぞれのエージェント\(i\)が申告する選好\(\hat{\succsim}_{i}\)は真の選好\(\succsim _{i}\)と一致するとは限りません。エージェントは偽りの選好を申告することが得であると判断するならば戦略的に嘘をつく可能性があるからです。しかも、真の選好はエージェントの私的情報である以上、エージェントが嘘をついているか第三者は判定できません。ただ、マッチメイカーがメカニズムを巧みに設計すれば、エージェントたちが真の選好をそのまま正直に申告するように誘導できるとともに、社会的に望ましい配分を実現できる可能性があります。この点については後述します。

4つ目のポイントは、契約不履行（breach of contract）の可能性を考慮する必要があるという点です。例えば、エージェントが事後的に商品の交換を拒否などの問題が発生し得るため、事前に対策を講じておく必要があります。メカニズムが定める結果の履行が裁判所など第三者によって強制され得るのであれば、契約不履行の可能性は排除されているものとみなすこともできます。

演習問題