逆関数の全微分
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)上に定義されたベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)はそれぞれの\(n\)次元ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の\(n\)次元ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( \boldsymbol{x}\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を値として定めるということです。
関数\(\boldsymbol{f}\)が単射である場合、\(\boldsymbol{f}\)の終集合を値域\(\boldsymbol{f}\left( X\right) \)に制限して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \boldsymbol{f}\left( X\right)
\end{equation*}とすれば全単射になるため、その逆関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}^{-1}:\boldsymbol{f}\left( X\right) \rightarrow X
\end{equation*}が存在することを保証できます。逆関数の定義より、点\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in X\times \boldsymbol{f}\left( X\right) \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) \Leftrightarrow
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{f}^{-1}\left( \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
関数\(\boldsymbol{f}\)が定義域上の点\(\boldsymbol{a}\in X\)において全微分可能である場合、点\(\boldsymbol{a}\)における全微分係数はヤコビ行列\begin{equation*}J_{\boldsymbol{f}}\left( \boldsymbol{a}\right) =\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_{1}\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{1}} & \cdots
& \frac{\partial f_{1}\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{n}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial f_{n}\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{1}} & \cdots
& \frac{\partial f_{n}\left( \boldsymbol{a}\right) }{\partial x_{1}}\end{pmatrix}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}と一致します。\(\boldsymbol{f}\)による点\(\boldsymbol{a}\)の像を、\begin{equation*}\boldsymbol{b}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}で表記します。逆関数\(\boldsymbol{f}^{-1}\left( \boldsymbol{y}\right) \)が点\(\boldsymbol{b}\)において全微分可能である場合、点\(\boldsymbol{b}\)における全微分係数はヤコビ行列\begin{equation*}J_{\boldsymbol{f}^{-1}}\left( \boldsymbol{b}\right) =\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_{1}^{-1}\left( \boldsymbol{b}\right) }{\partial y_{1}} &
\cdots & \frac{\partial f_{1}^{-1}\left( \boldsymbol{b}\right) }{\partial
y_{n}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial f_{n}^{-1}\left( \boldsymbol{b}\right) }{\partial y_{1}} &
\cdots & \frac{\partial f_{n}^{-1}\left( \boldsymbol{b}\right) }{\partial
y_{n}}\end{pmatrix}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}と一致します。
関数\(\boldsymbol{f}\)が点\(\boldsymbol{a}\)において全微分可能である場合、逆関数\(\boldsymbol{f}^{-1}\)は点\(\boldsymbol{b}=\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}\right) \)において全微分可能であることを保証できるのでしょうか。全微分可能である場合、もとの関数\(\boldsymbol{f}\)の点\(\boldsymbol{a}\)におけるヤコビ行列\(J_{\boldsymbol{f}}\left( \boldsymbol{a}\right) \)と、逆関数\(\boldsymbol{f}^{-1}\)の点\(\boldsymbol{b}\)におけるヤコビ行列\(J_{-\boldsymbol{f}}\left( \boldsymbol{b}\right) \)の間に何らかの関係は成立するのでしょうか。
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) \\
f_{2}\left( x_{1},x_{2}\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{2} \\
x_{1}\end{array}\right)
\end{equation*}を値として定めるものとします。点\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(\boldsymbol{f}\)は点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)において全微分可能であるとともに、そこでの全微分係数はヤコビ行列\begin{eqnarray*}J_{\boldsymbol{f}}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{2}} \\
\frac{\partial f_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{2}}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0\end{pmatrix}\end{eqnarray*}と一致します。\(\boldsymbol{f}\)は全単射であるため逆関数\(\boldsymbol{f}^{-1}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が存在します。逆関数\(\boldsymbol{f}^{-1}\)の形状を特定するために、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
y_{2}\end{array}\right) =\boldsymbol{f}\left( x_{1},x_{2}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
y_{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{2} \\
x_{1}\end{array}\right)
\end{equation*}とおいた上で、これを\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)について解くと、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
y_{2} \\
x_{1}\end{array}\right)
\end{equation*}を得るため、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}^{-1}\left( y_{1},y_{2}\right) =\left(
\begin{array}{c}
y_{2} \\
x_{1}\end{array}\right)
\end{equation*}となります。以上より、逆関数\(\boldsymbol{f}^{-1}\)はそれぞれの\(\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( y_{1},y_{2}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{-1}\left( y_{1},y_{2}\right) \\
f_{2}^{-1}\left( y_{1},y_{2}\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
y_{2} \\
x_{1}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。先の点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)の\(\boldsymbol{f}\)による像を\(\left( y_{1},y_{2}\right) \)と表記します。つまり、\begin{eqnarray*}\left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
y_{2}\end{array}\right) &=&\boldsymbol{f}\left( x_{1},x_{2}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x_{2} \\
x_{1}\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義}
\end{eqnarray*}です。\(\boldsymbol{f}\)は点\(\left(y_{1},y_{2}\right) \)において全微分可能であるとともに、そこでの全微分係数はヤコビ行列\begin{eqnarray*}J_{\boldsymbol{f}^{-1}}\left( y_{1},y_{2}\right) &=&\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_{1}^{-1}\left( y_{1},y_{2}\right) }{\partial y_{1}} & \frac{\partial f_{1}^{-1}\left( y_{1},y_{2}\right) }{\partial y_{2}} \\
\frac{\partial f_{2}^{-1}\left( y_{1},y_{2}\right) }{\partial y_{1}} & \frac{\partial f_{2}^{-1}\left( y_{1},y_{2}\right) }{\partial y_{2}}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0\end{pmatrix}\end{eqnarray*}と一致します。
そもそも関数\(\boldsymbol{f}\)は定義域\(X\)上において単射であるとは限らず、したがって逆関数\(\boldsymbol{f}^{-1}\)は存在するとは限りません。このような場合、逆関数\(\boldsymbol{f}^{-1}\)が全微分可能であることを検討できません。
\begin{array}{c}
f_{1}\left( r,\theta \right) \\
f_{2}\left( r,\theta \right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
r\cos \left( \theta \right) \\
r\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を値として定めるものとします。点\(\left( r,\theta\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(\boldsymbol{f}\)は点\(\left( r,\theta \right) \)において全微分可能であるとともに、そこでの全微分係数はヤコビ行列\begin{eqnarray*}J_{\boldsymbol{f}}\left( r,\theta \right) &=&\begin{pmatrix}
\frac{\partial f_{1}\left( r,\theta \right) }{\partial r} & \frac{\partial
f_{1}\left( r,\theta \right) }{\partial \theta } \\
\frac{\partial f_{2}\left( r,\theta \right) }{\partial r} & \frac{\partial
f_{2}\left( r,\theta \right) }{\partial \theta }\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
\cos \left( \theta \right) & -r\sin \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right) & r\cos \left( \theta \right)
\end{pmatrix}\end{eqnarray*}と一致します。その一方で、\(\boldsymbol{f}\)は単射ではありません。実際、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
r \\
\theta
\end{array}\right) \not=\left(
\begin{array}{c}
r \\
\theta +2\pi
\end{array}\right)
\end{equation*}であるにも関わらず、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f}\left( r,\theta +2\pi \right) &=&\left(
\begin{array}{c}
r\cos \left( \theta +2\pi \right) \\
r\sin \left( \theta +2\pi \right)
\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
r\cos \left( \theta \right) \\
r\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right) \\
&=&\boldsymbol{f}\left( r,\theta \right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、\(\boldsymbol{f}\)の終集合を値域に制限しても全単射にならず、逆関数\(\boldsymbol{f}^{-1}\)の存在を保証できません。
逆関数定理
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が一定の性質を満たす場合、その定義域を適切な形で制限することにより、関数\(\boldsymbol{f}\)の局所的な逆関数\(\boldsymbol{f}^{-1}\)の存在を保証できるとともに、\(\boldsymbol{f}^{-1}\)が全微分可能であることも保証できます。
1つ目の条件は、関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)が開集合であるということです。
2つ目の条件は、関数\(\boldsymbol{f}\)は定義域\(X\)上で\(C^{1}\)級であるということです。つまり、ヤコビ行列関数\(J_{\boldsymbol{f}}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が存在するとともに、これが\(X\)上で連続であるということです。以上の事実は、番号\(i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)を任意に選んだとき、偏導関数\(\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(X\)上で連続であることと必要十分です。
3つ目の条件は、定義域上の点\(\boldsymbol{a}\in X\)におけるヤコビ行列\(J_{\boldsymbol{f}}\left( \boldsymbol{a}\right) \in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の行列式の値が非ゼロであること、すなわち、\begin{equation*}\det \left( J_{\boldsymbol{f}}\left( \boldsymbol{a}\right) \right) \not=0
\end{equation*}が成り立つということです。これは、ヤコビ行列\(J_{\boldsymbol{f}}\left( \boldsymbol{a}\right) \)が正則であることを意味します。
以上の諸条件が満たされる場合には、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ \boldsymbol{a}\in V\subset X \\
&&\left( B\right) \ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}\right) \in W \\
&&\left( C\right) \ \boldsymbol{f}:V\rightarrow W\text{は全単射である} \\
&&\left( D\right) \ \text{逆関数}\boldsymbol{f}^{-1}:W\rightarrow V\text{は}C^{1}\text{級である}
\end{eqnarray*}を満たす開集合\(V,W\subset \mathbb{R} ^{n}\)が存在することを保証できます。さらに、\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{y}\)を満たす順序対\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in V\times W\)を任意に選んだとき、\(J_{\boldsymbol{f}}\left( \boldsymbol{x}\right) \)は正則行列であるとともに、以下の関係\begin{equation*}J_{\boldsymbol{f}^{-1}}\left( \boldsymbol{y}\right) =J_{\boldsymbol{f}}\left( \boldsymbol{x}\right) ^{-1}
\end{equation*}が成り立つことも保証できます。つまり、逆関数\(\boldsymbol{f}^{-1}\)の点\(\boldsymbol{y}\)におけるヤコビ行列は、もとの関数\(\boldsymbol{f}\)の点\(\boldsymbol{x}\)におけるヤコビ行列\(J_{\boldsymbol{f}}\left( \boldsymbol{x}\right) \)の逆行列と一致します。これを逆関数定理（inverse function theorem）と呼びます。
\end{equation*}を満たすものとする。このとき、以下の諸条件\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ \boldsymbol{a}\in V\subset X \\
&&\left( B\right) \ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}\right) \in W \\
&&\left( C\right) \ \boldsymbol{f}:V\rightarrow W\text{は全単射である} \\
&&\left( D\right) \ \text{逆関数}\boldsymbol{f}^{-1}:W\rightarrow V\text{は}C^{1}\text{級である}
\end{eqnarray*}を満たす開集合\(V,W\subset \mathbb{R} ^{n}\)が存在する。さらに、\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{y}\)を満たす順序対\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in V\times W\)を任意に選んだとき、\(J_{\boldsymbol{f}}\left( \boldsymbol{x}\right) \)は正則行列であるとともに、以下の関係\begin{equation*}J_{\boldsymbol{f}^{-1}}\left( \boldsymbol{y}\right) =J_{\boldsymbol{f}}\left( \boldsymbol{x}\right) ^{-1}
\end{equation*}が成り立つ。
証明は後ほど行うこととし、まずは具体例を提示します。
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) \\
f_{2}\left( x_{1},x_{2}\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{2} \\
x_{1}\end{array}\right)
\end{equation*}を値として定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は開集合です。先に示したように、点\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}J_{\boldsymbol{f}}\left( x_{1},x_{2}\right) =\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}が成り立ちます。\(J_{\boldsymbol{f}}\)は定数関数であるため連続であり、したがって\(\boldsymbol{f}\)は\(C^{1}\)級です。点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\det \left( J_{\boldsymbol{f}}\left( x_{1},x_{2}\right) \right) &=&\det
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0\end{pmatrix}
\\
&=&-1 \\
&\not=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。そこで、\begin{eqnarray*}
V &=&\mathbb{R} ^{2} \\
W &=&\boldsymbol{f}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) =\mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}に注目します。先に示したように、逆関数\(\boldsymbol{f}^{-1}:W\rightarrow V\)が存在して、これはそれぞれの\(\left( y_{1},y_{2}\right) \in W\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( y_{1},y_{2}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{-1}\left( y_{1},y_{2}\right) \\
f_{2}^{-1}\left( y_{1},y_{2}\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
y_{2} \\
x_{1}\end{array}\right)
\end{equation*}を値として定めます。\(\boldsymbol{f}\)による点\(\left(x_{1},x_{2}\right) \)の像を、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
y_{2}\end{array}\right) =\boldsymbol{f}\left( x_{1},x_{2}\right)
\end{equation*}で表記する場合、先に示したように、\begin{equation*}
J_{\boldsymbol{f}^{-1}}\left( y_{1},y_{2}\right) =\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、\begin{eqnarray*}
J_{\boldsymbol{f}}\left( x_{1},x_{2}\right) ^{-1} &=&\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0\end{pmatrix}^{-1} \\
&=&\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0\end{pmatrix}\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
J_{\boldsymbol{f}^{-1}}\left( y_{1},y_{2}\right) =J_{\boldsymbol{f}}\left(
x_{1},x_{2}\right) ^{-1}
\end{equation*}が成立しています。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
\begin{array}{c}
f_{1}\left( r,\theta \right) \\
f_{2}\left( r,\theta \right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
r\cos \left( \theta \right) \\
r\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を値として定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(\mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} \)は開集合です。先に示したように、点\(\left(r,\theta \right) \in \mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}J_{\boldsymbol{f}}\left( r,\theta \right) =\begin{pmatrix}
\cos \left( \theta \right) & -r\sin \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right) & r\cos \left( \theta \right)
\end{pmatrix}\end{equation*}が成り立ちます。これは連続関数であるため\(\boldsymbol{f}\)は\(C^{1}\)級です。\(r>0\)を選んだ上で、以下の点\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
r \\
\theta
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
r \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}に注目したとき、\begin{eqnarray*}
\det \left( J_{\boldsymbol{f}}\left( r,0\right) \right) &=&\det
\begin{pmatrix}
\cos \left( 0\right) & -r\sin \left( 0\right) \\
\sin \left( 0\right) & r\cos \left( 0\right)
\end{pmatrix}
\\
&=&\det
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & r\end{pmatrix}
\\
&=&r \\
&\not=&0
\end{eqnarray*}となります。\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left( r,0\right) =\left(
\begin{array}{c}
r\cos \left( 0\right) \\
r\sin \left( 0\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
r \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}であることを踏まえると、先の命題より、\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ \left( r,0\right) \in V\subset \mathbb{R} _{++}\times \mathbb{R} \\
&&\left( B\right) \ \left( r,0\right) \in W \\
&&\left( C\right) \ \boldsymbol{f}:V\rightarrow W\text{は全単射である} \\
&&\left( D\right) \ \text{逆関数}\boldsymbol{f}^{-1}:W\rightarrow V\text{は}C^{1}\text{級である}
\end{eqnarray*}を満たす開集合\(V,W\subset \mathbb{R} ^{n}\)が存在します。さらに、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( r,\theta \right) =\left( x,y\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
r\cos \left( \theta \right) \\
r\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right)
\end{equation*}を満たす順序対\(\left( \left(r,\theta \right) ,\left( x,y\right) \right) \in V\times W\)を任意に選んだとき、\(J_{\boldsymbol{f}}\left( r,\theta \right) \)は正則行列であるとともに、逆関数\(\boldsymbol{f}^{-1}\)の点\(\left(x,y\right) \)におけるヤコビ行列は、\begin{eqnarray*}J_{\boldsymbol{f}^{-1}}\left( x,y\right) &=&J_{\boldsymbol{f}}\left(
r,\theta \right) ^{-1} \\
&=&\begin{pmatrix}
\cos \left( \theta \right) & -r\sin \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right) & r\cos \left( \theta \right)
\end{pmatrix}^{-1} \\
&=&\begin{pmatrix}
\cos \left( \theta \right) & \sin \left( \theta \right) \\
-\frac{\sin \left( \theta \right) }{r} & \frac{\cos \left( \theta \right) }{r}\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
\frac{x}{r} & \frac{y}{r} \\
-\frac{y}{r^{2}} & \frac{x}{r^{2}}\end{pmatrix}\end{eqnarray*}となります。
逆関数定理の証明
逆関数定理を証明します。まずは以下の補題を示します。
\end{equation*}が成り立つものとする。このとき、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ \boldsymbol{a}\in U\subset X \\
&&\left( B\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in U:\left\Vert
\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) -\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{y}\right) \right\Vert \geq \alpha \left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert
\end{eqnarray*}を満たす開集合\(U\subset \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\alpha >0\)が存在する。
続いて、以下の補題を示します。
\end{equation*}と表記する。\(\boldsymbol{f}\)が\(X\)上で単射であるとともに、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X:\det \left( J_{\boldsymbol{f}}\left( \boldsymbol{x}\right) \right) \not=0
\end{equation*}が成り立つものとする。このとき、\(Y\)は開集合であるとともに、逆関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}:Y\rightarrow X
\end{equation*}は\(C^{1}\)級となる。
以上の2つの補題を利用して逆関数定理を証明します。
\end{equation*}を満たすものとする。このとき、以下の諸条件\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ \boldsymbol{a}\in V\subset X \\
&&\left( B\right) \ \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a}\right) \in W \\
&&\left( C\right) \ \boldsymbol{f}:V\rightarrow W\text{は全単射である} \\
&&\left( D\right) \ \text{逆関数}\boldsymbol{f}^{-1}:W\rightarrow V\text{は}C^{1}\text{級である}
\end{eqnarray*}を満たす開集合\(V,W\subset \mathbb{R} ^{n}\)が存在する。さらに、\(\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\boldsymbol{y}\)を満たす順序対\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in V\times W\)を任意に選んだとき、\(J_{\boldsymbol{f}}\left( \boldsymbol{x}\right) \)は正則行列であるとともに、以下の関係\begin{equation*}J_{\boldsymbol{f}^{-1}}\left( \boldsymbol{y}\right) =J_{\boldsymbol{f}}\left( \boldsymbol{x}\right) ^{-1}
\end{equation*}が成り立つ。
演習問題
\begin{array}{c}
x_{1}^{2}x_{2} \\
x_{1}x_{2}^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x_{1}\not=0\)かつ\(y_{2}\not=0\)を満たす点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)の周辺において局所的な逆関数\(\boldsymbol{f}^{-1}\)が存在することを示してください。その上で、点\(\left( 2,1\right) \)の周辺における局所的な逆関数\(\boldsymbol{f}^{-1}\)の点\(\boldsymbol{f}\left( 2,1\right) \)におけるヤコビ行列を求めてください。
\begin{array}{c}
x_{1}+x_{2}+x_{3}^{2} \\
x_{1}-x_{2}+x_{3} \\
2x_{1}+x_{2}-x_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( 1,-1,2\right) \)の周辺において局所的な逆関数\(\boldsymbol{f}^{-1}\)が存在することを示してください。その上で、その逆関数\(\boldsymbol{f}^{-1}\)の点\(\boldsymbol{f}\left( 1,-1,2\right) \)におけるヤコビ行列を求めてください。
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