凸集合のスカラー倍

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)のスカラー\(1\)倍は、\begin{eqnarray*}1A &=&\left\{ 1\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{x}\in A\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{x}\in A\right\} \\
&=&A
\end{eqnarray*}であり、スカラー\(0\)倍は、\begin{eqnarray*}0A &=&\left\{ 0\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{x}\in A\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{0}\right\}
\end{eqnarray*}であり、スカラー\(-1\)倍は、\begin{equation*}-A=\left\{ -\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{x}\in A\right\}
\end{equation*}です。

\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{equation*}A=\left\{ \left( 0,0\right) ,\left( 1,1\right) ,\left( -1,-1\right) \right\}
\end{equation*}が与えられたとき、例えば、\begin{eqnarray*}
2A &=&\left\{ \left( 0,0\right) ,\left( 2,2\right) ,\left( -2,-2\right)
\right\} \\
\frac{1}{2}A &=&\left\{ \left( 0,0\right) ,\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) ,\left( -\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right) \right\} \\
-A &=&\left\{ \left( 0,0\right) ,\left( -1,-1\right) ,\left( 1,1\right)
\right\}
\end{eqnarray*}などとなります。

\(\mathbb{R} \)の部分集合である整数集合\begin{equation*}\mathbb{Z} =\left\{ \cdots ,-2,-1,0,1,2,\cdots \right\} \end{equation*}に対して、そのスカラー\(2\)倍である、\begin{equation*}2\mathbb{Z} =\left\{ \cdots ,-4,-2,0,2,4,\cdots \right\}
\end{equation*}はすべての偶数からなる集合です。

\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合の部分集合\begin{equation*}A=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x-1\right) ^{2}+\left( y-1\right) ^{2}\leq 1\right\}
\end{equation*}に注目します。これは、中心が\(\left( 1,1\right) \)であり半径が\(1\)であるような円盤です。スカラー\(\lambda =2\)については、\begin{eqnarray*}2A &=&\left\{ 2\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x,y\right) \in A\right\} \\
&=&\left\{ \left( 2x,2y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x-1\right) ^{2}+\left( y-1\right) ^{2}\leq 1\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( \frac{x}{2}-1\right) ^{2}+\left( \frac{y}{2}-1\right)
^{2}\leq 1\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x-2\right) ^{2}+\left( y-2\right) ^{2}\leq 2^{2}\right\}
\end{eqnarray*}となりますが、これは中心が\(\left( 2,2\right) \)であり半径が\(2\)であるような円盤です。つまり、\(\lambda >0\)の場合には\(A\)は原点を中心に拡大されます。スカラー\(\lambda =\frac{1}{2}\)については、\begin{eqnarray*}\frac{1}{2}A &=&\left\{ \frac{1}{2}\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x,y\right) \in A\right\} \\
&=&\left\{ \left( \frac{x}{2},\frac{y}{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x-1\right) ^{2}+\left( y-1\right) ^{2}\leq 1\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( 2x-1\right) ^{2}+\left( 2y-1\right) ^{2}\leq 1\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x-\frac{1}{2}\right) ^{2}+\left( y-\frac{1}{2}\right)
^{2}\leq \left( \frac{1}{2}\right) ^{2}\right\}
\end{eqnarray*}となりますが、これは中心が\(\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \)であり半径が\(\frac{1}{2}\)であるような円盤です。つまり、\(0<\lambda <1\)の場合には\(A\)は原点を中心に縮小されます。スカラー\(\lambda =-1\)については、\begin{eqnarray*}-A &=&\left\{ -\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x,y\right) \in A\right\} \\
&=&\left\{ \left( -x,-y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x-1\right) ^{2}+\left( y-1\right) ^{2}\leq 1\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( -x-1\right) ^{2}+\left( -y-1\right) ^{2}\leq 1\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x+1\right) ^{2}+\left( y+1\right) ^{2}\leq 1\right\}
\end{eqnarray*}となりますが、これは中心が\(\left( -1,-1\right) \)であり半径が\(1\)であるような円盤です。つまり、\(\lambda <0\)の場合には\(A\)は原点を挟んで反転するとともに、\(\lambda \)の大きさによって拡大ないし縮小されます。スカラー\(\lambda =0\)については、\begin{eqnarray*}0A &=&\left\{ 0\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x,y\right) \in A\right\} \\
&=&\left\{ \left( 0,0\right) \right\}
\end{eqnarray*}となります。

ユークリッド空間の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)とスカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\(A\)が凸集合ならば\(\lambda A\)もまた凸集合である。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が凸集合である場合、先の命題より、以下の集合\begin{equation*}-A=\left\{ -\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{x}\in A\right\}
\end{equation*}もまた凸集合です。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界な開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}をとります。これは\(\mathbb{R} \)上の凸集合であるため、先の命題より、スカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lambda \left( a,b\right) =\left\{ \lambda x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}もまた\(\mathbb{R} \)上の凸集合です。したがって、\begin{eqnarray*}-\left( a,b\right) &=&\left\{ -x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\} =\left( -b,-a\right) \\
\frac{1}{2}\left( a,b\right) &=&\left\{ \frac{1}{2}x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\} =\left( \frac{a}{2},\frac{b}{2}\right) \\
2\left( a,b\right) &=&\left\{ 2x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\} =\left( 2a,2b\right)
\end{eqnarray*}などはいずれも\(\mathbb{R} \)上の凸集合です。

点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)を任意に任意に選んだ上で、\(\boldsymbol{a}\)を中心とする開近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right\Vert <\varepsilon
\right\}
\end{equation*}をとります。これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の凸集合であるため、先の命題より、スカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lambda N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) =\left\{ \lambda
\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right\Vert <\varepsilon
\right\}
\end{equation*}もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)上の凸集合です。

集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\begin{equation*}\forall \lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb{R} :\lambda _{1}\left( \lambda _{2}A\right) =\left( \lambda _{1}\lambda
_{2}\right) A
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)が凸集合であるとともに、\begin{equation*}-A=A
\end{equation*}という関係が成り立つ場合、\(A\)は対称的（symmetric）であると言います。\(A\)が対称的な非空集合である場合には、\begin{equation*}\boldsymbol{0}\in A
\end{equation*}が成り立つことを示してください。ただし、\(\boldsymbol{0}\in \mathbb{R} ^{n}\)です。

本文中で示したように、凸集合のスカラー倍は凸集合です。一方、非凸集合のスカラー倍は凸集合であるとは限らないことを示してください。

集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)が凸集合であるとともに\(\boldsymbol{0}\in A\)を満たすものとします。以下の命題\begin{equation*}\forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda A\subset A
\end{equation*}が成り立つことを示した上で、その意味を説明してください。